第1讲 比较大小在平时数学学习，尤其是数学竞赛中，我们经常遇到一些题目：（1）比较这几个分数的大小： 52、73、2310、2912、3715（2）试比较77755和7777555，那个分数大？……如果我们不去研究其中的规律，相信大家一定会很难解决这样的题目。

本讲，我们主要来讲一讲有关比较大小的一些知识和方法。

例1： 已知A 321⨯=B ÷43 = C 109⨯= D 54⨯=E 511÷(ABCDE 都不等于0)，将A 、、B 、C 、D 、E 按从大倒小的顺序排叠起来。

分析与解 为了方便比较，我们首先将这五个算式统一写成乘法形式，这样原来的算式就变成A 321⨯=B 311⨯=C 109⨯=D 54⨯=E 65⨯。

下面我们可以运用倒数的知识来解决这一问题。

首先我们可以假设所有算式的运算结果等于1。

那么，A 就是321的倒数，即53；同理，B 应是43，C 是911，D 是411，E 是511。

这样，我们很容易就能比较出这五个数的大小。

因为411＞511＞911＞43＞53,所以D ＞E ＞C ＞B ＞A.随堂练习一：如果a=b 521⨯=65c=d 54⨯(a 、b 、c 、d 均不等于0)，a 、b 、c 、d 四个数中，谁最大?谁最小？例2：将下列分数从小到大排列起来：52 、73、2310、2912、3715。

分析与解 比较几个分数的大小，课本上介绍的主要方法是先通分，再比较大小。

就本题而言，如果用通分再比较，太麻烦，我们可以根据“同分子的分数，分母大的分数反而小”这一性质，把这几个分数先化成同分子的分数，在进行比较就比较容易了。

因为2、3、10、12、15、的最小公倍数是60，根据分数的基本性质，可以把它们分别化为：15060、14060、13860、14560、14860。

由150＞148 ＞145＞ 140＞ 138，可以得到：15060﹤14860﹤14560﹤14060﹤13860，即52﹤3715﹤2912﹤73﹤2310。

方法点评 如果几个分数的公分母比较大时，采用先通分、再比较的方法比较复杂。

我们可以考虑将这些分数先化成同分子的分数，再比较大小。

随堂练习二：把下列分数按从小到大的顺序排列起来。

175、196、4615、3310、3730 例3：已知A=55555555555553，B=666663666661。

试比较A 与B 的大小。

分析与解 这两个分数的分子与分母的值都比较大，无论采用“先同分、再比较”，还是“先化成同分子的分数，再比较”的方法，都不容易。

但仔细观察，可以发现：这两个分数的分子都比分母小2。

我们可以根据这一特点，先比较这两个分数与1的差，再确定这两个分数的大小，这种比较方法我们把它称为“间接比较法”。

因为比A 比1少55555552，B 比1少6666632，而55555552﹤6666632，所以A ﹥B 。

方法点评 如果两分数的分子与分母的差相等时，我们可以用间接比较法，即先比较这两个分数与1的差，再确定这两个数的大小。

随堂练习三：试比较下列两个分数的大小。

445443和559557例4：比较77755和7777555，那个分数大？ 分析与解 这道题中的两个分数与上面几个题中的分数有所不同，虽然也可以采用通分或化成同分子的分数的方法，但显然不是最佳方法。

仔细分析这两个数，可以发现这两个数的分母都比分子的14倍多7，所以我们可以线比较它们的倒数的大小，倒数大的那个分数的值比较小。

想一想，这是为什么？77755的倒数是55714，7777555的倒数是555714，因为55714﹥555714，所以77755﹤7777555。

方法点评 从本题可以看出，如果两个分数的分子与分母具有相同的倍数关系，而且余数相同，采用比较倒数的方法比较简便。

随堂练习四：试比较19219和17217的大小。

例5：试比较下面两个分数的大小。

10061207和20062207分析与解 观察这两个分数，你会发现用上面的几种方法无法解答。

但分析其中的数据，你会发现，第二个分数的分子2207=1207+1000，分母2006=1006+1000，即第一个分数10061207的分子与分母都加上同一个数：1000，就正好等于第二个分数20062207。

方法点评 当a ﹥b 时， b a ﹥k b ka ++,即一个分数的分子和分母都加上同一个数，得到的新分数比原分数小，所以10061207﹥20062207。

同理，一个真分数的分子和分母都加上同一个数，得到的分数比原分数大。

随堂练习五：比较2329与123129的大小 拓展训练1、把下面及格分数按照从大到小的顺序起来。

1918、3736、3231、4847、1615 2、比较下面两个分数的大小。

999499和1001501 3、比较332221和665443的大小。

4、比较123456789987654321与20091234567892009654321987+++的大小。

5、比较83837171与838383717171的大小。

第2讲 速算与巧算专题简析：学习数学离不开数的计算，而学习数学的最终目的在于运用所学的数学知识、技能来解决实际问题。

因此，要学好数学，就必须做到计算准确而又迅速。

本讲就介绍一些速算与巧算的技巧。

例1：计算下面各题。

（1）17164÷9 （2）2003÷200420032003分析与解 同学们都会计算带分数除法，但相信同学们看了这两道题目后，都会感到计算太麻烦，如果我们开动脑筋想一想，就会发现：可以把（1）17164分成一个9的倍数与另一个较小得数，再利用除法的性质就可以使计算简便；把例（2）中的被除数和除数利用商不变的性质，同时除以2003后，计算就很简便了。

（1）17164÷9 （2）2003÷200420032003=（63+1711）÷9 =（2003÷2003）÷（200420032003÷2003）=63 ÷9 + 1711÷9 =1÷（2003÷2003+20042003÷2003） =7+911718⨯ =1÷200411=1727 =20052004方法点评：有些分数四则运算用一般的方法既麻烦又费时，而且有容易出错，这时可以通过款差题目中的数据特点，把一个数拆成几个数，在计算，往往可以达到事半功倍的效果。

随堂练习一：计算：（1）555655⨯（2）167168167167÷例2：计算：（1+61514131+++）⨯（1+5141+）—（1+5141+）⨯（61514131+++）分析与解 这道题虽然算式很长，但仔细分析其中的数据，可以发现组成这个算式的数并不多，我们可以把重复出现的数用字母表示，这样可以简化题意，方便简算。

设61514131+++=A 1+5141+=B ，原来的算式可以转化成： （1+A ）⨯B-B ⨯A=B+AB-AB =B所以本题的结果为：1+5141+=2091 方法点评：用字母是可以使复杂的算式变得简洁，有助于我们发现规律。

随堂练习二：计算：（1+978573++）×（52+978573++）-（1+52+978573++）×（978573++）例3：计算 (31)3233323121222111+++++++++501502...50485049505050495048...503502501+++++++++++ 分析与解 这组分数的特点是：分母为1的分数有1个，分母为2的分数有3个，分母为3的分数有5个……且同分母的分数的和依次为1，2，3，4，5…这是一个扥差数列，可以直接利用等差数列求和公式来计算，即（首项+末项）×项数÷2=数列的和。

原式=1+2+3+4+…+49+50 =（1+50）×50÷2 =1275方法点评：在数列求和中，发现与研究数列规律是解决有关问题的前提，灵活选用合适的方法是基本策略，转化与分组是主要方法和技巧。

随堂练习三： 计算：...313233323121222111++++++++++201..202.201920202019...203202201++++++++ 例4：计算：（1）（1321111213+）÷（135115+） （2）032003200320200320032003022002200220200220022002++++分析与解 （1）被除数与除数中两个分数的分母分别相同，经试验发现：1321111213+=1314511145+=145×(131111+),135115+=5×(131111+).所以， 原式=（1314511145+）÷（135115+）=145×(131111+)÷5×(131111+)=145÷5=29 （2）我们注意到，这个分数的分子与分母尽管数据很长，但每个数据分别是由2002和2003组成。

因而我们可以先采用分解质因数，找出其中的规律，再进行简便计算。

因为2002=2002×120022002=2002×10001200220022002=2002×1000110001所以2002+20022002+200220022002=2002×（1+10001+100010001） 同理2003+20032003+200320032003=2003×（1+10001+100010001） 原式=)100010001100011(2003)100010001100011(2002++⨯++⨯=20032002随堂练习四：计算：（1）（91111119+）÷（94114+） （2）2323232323232323232317171717171717171717++++++例5：计算 20191...431321211⨯++⨯+⨯+⨯ 分析与解 这道题的加数很多，如果采用同分后计算公分母一定很大，这显然不切合实际。

下面我们来分析一下：211⨯=1-21，321⨯=3121-，….20191⨯=201191- 20191...431321211⨯++⨯+⨯+⨯=1-21+3121-+…+201191- =1-201 =2019 方法点评：这种把一个分数拆成两个分数的差或和的方法，叫做裂项法。

但是需要指出的是，题中每个分数的分母是两个连续自然数的乘积，如果不是，方法就不同了，裂项法的主要计算方法可以用下面公式来概括。