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洛必达法则5种常见错误(1)

洛必达法则使用中的 5 种常见错误求极限是微积分中的一项非常基础和重要的工作。

在建立了极限的四则运算法则,反函数求导法则,以及复合函数极限运算法则和求导证明之后,对于 普通的求极限问题,都可以通过上述法则来解决,但是对于形如:0 ,∞ 0 ∞, ∞ − ∞,0 ⋅ ∞, ∞0 ,1∞ ,00 (其中后面 3 种可以通过 A = e ln A 进行转换) 的 7 种未定型,上述法则往往显得力不从心,而有时只能是望尘莫及。

17 世纪末期的法国数学家洛必达给出了一种十分有效的解决方案, 我们称之为洛必达法则 (L,Hospital Rule )。

虽然这个法则实际上是瑞士数学家约翰第一.伯努力在通信中告诉洛必达的。

在使用洛必达法则解题过程中,可能会遇到的一些常见误区和盲点。

本文的目的不是为了追求解题技 巧,而是为了培养一种好的解题习惯。

以减少在用洛必达法则解题过程中可能出现的失误。

首先,复述洛必达法则的其中一种情形:11 1′ ′错误: lim xe x = lim x ⋅ (e x ) = lim 1⋅ e x ⋅ (− ) = −∞ x →0+1x →0+1 e x1 e x⋅ ( x →0+x 21 )′ 正确: lim xe x= lim = lim x = +∞ x →0+x →0+1 x →0+( 1 )′x x例:错解limx3 − 3x + 2= l im 3x 2 − 3 = l im6x = lim 6 = 1 x →1 2x 3 − x 2 − 4x + 3 x 3 − 3x + 2 x →1 6x 2 − 2x − 4 3x 2 − 3 x →1 12x −26x 3x →1 12 2 正确解: lim x →1 2x 3 − x 2 − 4x + 3 = l imx →1 6x 2 − 2x − 4= lim = x →1 12x − 2 5lim = e x− c os x = l im e x+ s in x = l ime x + c os x = 2 = 1 x →0x sin xx →0 sin x + x cos x x →0 cos x + cos x − x sin x 2正确解: lim = e x − c os x = l im e x+ sin x = ∞ x →0 x sin xx →0 sin x + x cos x更好的解法: lim = x →0e x − cos x x sin x= l im x →0e x− cos x x2= l im x →0e x +s in x = ∞2x经验:先考虑无穷小代换(与“0”结合),后考虑洛必达法则█ 失误一 不预处理 Hospital Rule :1 lim f (x ) = lim g (x ) = 0x →ax →a2 在某U (a ,δ) 内, f ′(x ), g ′(x ) 存在,且 g ′(x ) ≠ 0 03 limf ′(x )存在(或者 ∞ )x →a g ′(x )则limf (x ) f ′(x ) x →ag (x ) x →a g ′(x )= l im█ 失误二 急躁蛮干1xx2 − 上面的例子启发我们,在应用洛必达法则之前要进行预处理,以简化计算1 − cos2 x − 1x sin 2xlim x →02x 2 (e x− 1)= l im x →0 sin 2x − x sin x cos x x 2 ⋅ x 2 = l im x →0 sin x (sin x − x cos x ) x 4= limx →0 sin x − x cos x x 3 = l im x →0 x sin x = 13x 2 3lim n n求n →+∞错解:属于 ∞ 0型,先进行变形lim n n = n →+∞1 lim n n= n →+∞ 1 ln n lim enn →+∞limln n= en →+∞ n1 lim n= e n→+∞ 1= e 0 = 1错误原因: f (n ) = n n 是离散的点列,是一系列孤立的点,连续都谈不上,更不用说可导。

正确的解:11 ln xlimln x1lim xlim x →+∞x x = lim x xx →+∞ = lim exx →+∞= ex →+∞ x= ex →+∞ 1= e 0 = 1lim= 1lim n n = 1因为x → +∞所以 n →∞(这是“一般”到“特殊”的过程)limx + sin x = lim 1 + c os x ,而 lim 1+ c os x 不存在,所以 lim x + sin x不存在 正确解: limx →∞xx →∞ xlim 2x + cos x = l im 2 − s in x ,因为 lim 2 − s in x不存在,所以 lim 2x + cos x 不存在 x →∞3x − sin xx →∞3 − c os x2 + cos xx →∞3 − c os xx →∞3x − s in x正确解: lim 2x + cos x= lim x =2 x →∞ 3x − s in x x →∞ sin x3 x设 f ′(x ) 在某U (0,δ) 存在,且 f (0) = 1, f ′(0) = 2 求lim− x错解: lim− x = lim − 1= 1 = 1 x →0 1 − f (x )x →0 1 − f (x ) x →0 − f ′(x ) f ′(0) 2█ 失误五 滥用导函数的连续性 lim f ′(x )█ 失误四g ′(x )异常(既不是常数 A ,也不是∞ )█ 失误三 对离散点列求导3x →∞ x x →∞ 1 x →∞ 1 x →∞ xx + sin x = lim (1 + sin x ⋅ 1 ) = 1 存在1 1 错误原因: f ′(x ) 在 x=0 处未必连续。

(选择题可以用此解法,这是一种策略)正确解: lim− x= lim1= lim 1 = 1 = 1(导数定义) x →01 − f (x )x →0f (x ) − 1 xx →0 f (x ) − f (0) x − 0 f ′(0) 2f (x ) 在 x 处二阶可导,求limh →0f (x + h ) − 2 f (x ) + f (x − h )h 2错解 1: limh →0f (x + h ) − 2 f (x ) + f (x − h )h 2= l imh →0f ′(x + h ) − 2 f ′(x ) + f ′(x − h )2h= 1limf ′(x + h ) − f ′(x ) + f ′(x − h ) − f ′(x ) = 1 lim ⎡ f ′(x + h ) − f ′(x ) −f ′(x − h ) − f ′(x ) ⎤2 h →0h 2 h →0 ⎢⎣ h− h⎢⎦= lim [f ′ (x ) − f ′′(x )]=0 2 h →0错误原因:没有分清在极限过程中 h 和 x 谁是变量,谁是常量错解 2 : limh →0f (x + h ) − 2 f (x ) + f (x − h )h 2= l im h →0f ′(x + h ) − f ′(x − h ) 2h = l imf ′ (x + h ) + f ′′(x − h ) = 1lim [f ′′(x ) + f ′′(x )]= f ′′(x )h →0 2 2 h →0错误原因:二阶导函数未必连续,即: lim f ′ (x + h ) = f ′′(x ) 不一定成立h →0注:由 f ′ (x ) 存在,但 f ′′(x ) 不一定连续,所以第 2 个等号后面不符合罗必达法则的条件 正确解: limh →0f (x + h ) − 2 f (x ) + f (x − h ) h 2= l im h →0f ′(x + h ) − f ′(x − h ) 2h1 f ′(x + h ) − f ′(x ) + f ′(x ) − f ′(x − h )1 ⎡ f ′(x +h ) − f ′(x ) f ′(x − h ) − f ′(x ) ⎤ = lim 2 h →0 = lim h 2 h →0 ⎣ h+ − h ⎢⎦=[ f ′ (x ) + f ′′(x )] = f ′′(x ) (这是由导数定义得到的) 20 ∞ limf ′(x ) 是不是0 , ∞f(x),g(x)是不是可导 g ′(x ) 是不是一个确定的常数或者 ∞对于侧重于计算的填空题和选择题,我们主要验证 1 ,一般可以不必去验证 2 , 3 的验证级别最低。

这并不是思维的漏洞,而是一种策略,因为题目对于一般函数都成立,则对于特殊函数一定成立; 对于侧重于概念的计算题和证明题,要特别注意验证条件。

习题: lim( 1− c ot 2 x )答案 2/3x →0 x 21 2 3。

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