洛必达法则使用中的 5 种常见错误求极限是微积分中的一项非常基础和重要的工作。
在建立了极限的四则运算法则，反函数求导法则，以及复合函数极限运算法则和求导证明之后，对于 普通的求极限问题，都可以通过上述法则来解决，但是对于形如：0 ,∞ 0 ∞, ∞ − ∞,0 ⋅ ∞, ∞0 ,1∞ ,00 （其中后面 3 种可以通过 A = e ln A 进行转换） 的 7 种未定型，上述法则往往显得力不从心，而有时只能是望尘莫及。
17 世纪末期的法国数学家洛必达给出了一种十分有效的解决方案， 我们称之为洛必达法则 （L,Hospital Rule ）。
虽然这个法则实际上是瑞士数学家约翰第一.伯努力在通信中告诉洛必达的。
在使用洛必达法则解题过程中，可能会遇到的一些常见误区和盲点。
本文的目的不是为了追求解题技 巧，而是为了培养一种好的解题习惯。
以减少在用洛必达法则解题过程中可能出现的失误。
首先，复述洛必达法则的其中一种情形：11 1′ ′错误： lim xe x = lim x ⋅ (e x ) = lim 1⋅ e x ⋅ (− ) = −∞ x →0+1x →0+1 e x1 e x⋅ ( x →0+x 21 )′ 正确： lim xe x= lim = lim x = +∞ x →0+x →0+1 x →0+( 1 )′x x例：错解limx3 − 3x + 2= l im 3x 2 − 3 = l im6x = lim 6 = 1 x →1 2x 3 − x 2 − 4x + 3 x 3 − 3x + 2 x →1 6x 2 − 2x − 4 3x 2 − 3 x →1 12x −26x 3x →1 12 2 正确解： lim x →1 2x 3 − x 2 − 4x + 3 = l imx →1 6x 2 − 2x − 4= lim = x →1 12x − 2 5lim = e x− c os x = l im e x+ s in x = l ime x + c os x = 2 = 1 x →0x sin xx →0 sin x + x cos x x →0 cos x + cos x − x sin x 2正确解： lim = e x − c os x = l im e x+ sin x = ∞ x →0 x sin xx →0 sin x + x cos x更好的解法： lim = x →0e x − cos x x sin x= l im x →0e x− cos x x2= l im x →0e x +s in x = ∞2x经验：先考虑无穷小代换(与“0”结合)，后考虑洛必达法则█ 失误一 不预处理 Hospital Rule ：1 lim f (x ) = lim g (x ) = 0x →ax →a2 在某U (a ,δ) 内， f ′(x ), g ′(x ) 存在，且 g ′(x ) ≠ 0 03 limf ′(x )存在（或者 ∞ ）x →a g ′(x )则limf (x ) f ′(x ) x →ag (x ) x →a g ′(x )= l im█ 失误二 急躁蛮干1xx2 − 上面的例子启发我们，在应用洛必达法则之前要进行预处理，以简化计算1 − cos2 x − 1x sin 2xlim x →02x 2 (e x− 1)= l im x →0 sin 2x − x sin x cos x x 2 ⋅ x 2 = l im x →0 sin x (sin x − x cos x ) x 4＝ limx →0 sin x − x cos x x 3 = l im x →0 x sin x = 13x 2 3lim n n求n →+∞错解：属于 ∞ 0型，先进行变形lim n n = n →+∞1 lim n n= n →+∞ 1 ln n lim enn →+∞limln n= en →+∞ n1 lim n= e n→+∞ 1= e 0 = 1错误原因： f (n ) = n n 是离散的点列，是一系列孤立的点，连续都谈不上，更不用说可导。
正确的解：11 ln xlimln x1lim xlim x →+∞x x = lim x xx →+∞ = lim exx →+∞= ex →+∞ x= ex →+∞ 1= e 0 = 1lim= 1lim n n = 1因为x → +∞所以 n →∞（这是“一般”到“特殊”的过程）limx + sin x = lim 1 + c os x ，而 lim 1+ c os x 不存在，所以 lim x + sin x不存在 正确解： limx →∞xx →∞ xlim 2x + cos x = l im 2 − s in x ，因为 lim 2 − s in x不存在，所以 lim 2x + cos x 不存在 x →∞3x − sin xx →∞3 − c os x2 + cos xx →∞3 − c os xx →∞3x − s in x正确解： lim 2x + cos x= lim x =2 x →∞ 3x − s in x x →∞ sin x3 x设 f ′(x ) 在某U (0,δ) 存在，且 f (0) = 1, f ′(0) = 2 求lim− x错解： lim− x = lim − 1= 1 = 1 x →0 1 − f (x )x →0 1 − f (x ) x →0 − f ′(x ) f ′(0) 2█ 失误五 滥用导函数的连续性 lim f ′(x )█ 失误四g ′(x )异常（既不是常数 A ，也不是∞ ）█ 失误三 对离散点列求导3x →∞ x x →∞ 1 x →∞ 1 x →∞ xx + sin x = lim (1 + sin x ⋅ 1 ) = 1 存在1 1 错误原因： f ′(x ) 在 x=0 处未必连续。
（选择题可以用此解法，这是一种策略）正确解： lim− x= lim1= lim 1 = 1 = 1（导数定义） x →01 − f (x )x →0f (x ) − 1 xx →0 f (x ) − f (0) x − 0 f ′(0) 2f (x ) 在 x 处二阶可导，求limh →0f (x + h ) − 2 f (x ) + f (x − h )h 2错解 1： limh →0f (x + h ) − 2 f (x ) + f (x − h )h 2= l imh →0f ′(x + h ) − 2 f ′(x ) + f ′(x − h )2h＝ 1limf ′(x + h ) − f ′(x ) + f ′(x − h ) − f ′(x ) = 1 lim ⎡ f ′(x + h ) − f ′(x ) −f ′(x − h ) − f ′(x ) ⎤2 h →0h 2 h →0 ⎢⎣ h− h⎢⎦＝ lim [f ′ (x ) − f ′′(x )]＝0 2 h →0错误原因：没有分清在极限过程中 h 和 x 谁是变量，谁是常量错解 2 ： limh →0f (x + h ) − 2 f (x ) + f (x − h )h 2= l im h →0f ′(x + h ) − f ′(x − h ) 2h ＝ l imf ′ (x + h ) + f ′′(x − h ) = 1lim [f ′′(x ) + f ′′(x )]= f ′′(x )h →0 2 2 h →0错误原因：二阶导函数未必连续，即： lim f ′ (x + h ) = f ′′(x ) 不一定成立h →0注：由 f ′ (x ) 存在，但 f ′′(x ) 不一定连续，所以第 2 个等号后面不符合罗必达法则的条件 正确解： limh →0f (x + h ) − 2 f (x ) + f (x − h ) h 2= l im h →0f ′(x + h ) − f ′(x − h ) 2h1 f ′(x + h ) − f ′(x ) + f ′(x ) − f ′(x − h )1 ⎡ f ′(x +h ) − f ′(x ) f ′(x − h ) − f ′(x ) ⎤ ＝ lim 2 h →0 = lim h 2 h →0 ⎣ h+ − h ⎢⎦＝[ f ′ (x ) + f ′′(x )] = f ′′(x ) （这是由导数定义得到的） 20 ∞ limf ′(x ) 是不是0 , ∞f(x),g(x)是不是可导 g ′(x ) 是不是一个确定的常数或者 ∞对于侧重于计算的填空题和选择题，我们主要验证 1 ，一般可以不必去验证 2 ， 3 的验证级别最低。
这并不是思维的漏洞，而是一种策略，因为题目对于一般函数都成立，则对于特殊函数一定成立； 对于侧重于概念的计算题和证明题，要特别注意验证条件。
习题： lim( 1− c ot 2 x )答案 2/3x →0 x 21 2 3。