高等数学基础形考作业1答案：第1章函数第2章 极限与连续（一）单项选择题⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等． A. 2)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f =，x x g =)(C. 3ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，11)(2--=x x x g 分析：判断函数相等的两个条件（1）对应法则相同（2）定义域相同A 、2()f x x ==，定义域{}|0x x ≥；x x g =)(，定义域为R定义域不同，所以函数不相等；B 、()f x x ==，x x g =)(对应法则不同，所以函数不相等；C 、3()ln 3ln f x x x ==，定义域为{}|0x x >，x x g ln 3)(=，定义域为{}|0x x >所以两个函数相等D 、1)(+=x x f ，定义域为R ；21()11x g x x x -==+-，定义域为{}|,1x x R x ∈≠ 定义域不同，所以两函数不等。

故选C⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称．A. 坐标原点B. x 轴C. y 轴D. x y =分析：奇函数，()()f x f x -=-，关于原点对称偶函数，()()f x f x -=，关于y 轴对称()y f x =与它的反函数()1y f x -=关于y x =对称，奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称设()()()g x f x f x =+-，则()()()()g x f x f x g x -=-+=所以()()()g x f x f x =+-为偶函数，即图形关于y 轴对称故选C⒊下列函数中为奇函数是（B ）．A. )1ln(2x y += B. x x y cos = C. 2xx a a y -+= D. )1ln(x y += 分析：A 、()()()()22ln(1)ln 1y x x x y x -=+-=+=，为偶函数B 、()()()cos cos y x x x x x y x -=--=-=-，为奇函数或者x 为奇函数，cosx 为偶函数，奇偶函数乘积仍为奇函数C 、()()2x xa a y x y x -+-==，所以为偶函数 D 、()ln(1)y x x -=-，非奇非偶函数故选B⒋下列函数中为基本初等函数是（C ）．A. 1+=x yB. x y -=C. 2x y =D. ⎩⎨⎧≥<-=0,10,1x x y 分析：六种基本初等函数（1） y c =（常值）———常值函数（2） ,y x αα=为常数——幂函数（3） ()0,1x y a a a =>≠———指数函数（4） ()log 0,1a y x a a =>≠———对数函数（5） sin ,cos ,tan ,cot y x y x y x y x ====——三角函数（6） [][]sin ,1,1,cos ,1,1,tan ,cot y arc x y arc x y arc x y arc x=-=-==——反三角函数分段函数不是基本初等函数，故D 选项不对对照比较选C⒌下列极限存计算不正确的是（D ）． A. 12lim 22=+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0=+→x x C. 0sin lim =∞→x x x D. 01sin lim =∞→xx x分析：A 、已知()1lim 00nx n x →∞=> 2222222211lim lim lim 1222101x x x x x x x x x x x→∞→∞→∞====++++ B 、0limln(1)ln(10)0x x →+=+= 初等函数在期定义域内是连续的C 、sin 1lim lim sin 0x x x x xx →∞→∞== x →∞时，1x是无穷小量，sin x 是有界函数， 无穷小量×有界函数仍是无穷小量D 、1sin1lim sin lim 1x x x x x x →∞→∞=，令10,t x x =→→∞，则原式0sin lim 1t t t →== 故选D⒍当0→x 时，变量（C ）是无穷小量． A.x x sin B. x1 C. x x 1sin D. 2)ln(+x 分析；()lim 0x af x →=，则称()f x 为x a →时的无穷小量 A 、0sin lim1x x x→=，重要极限 B 、01lim x x→=∞，无穷大量 C 、01lim sin 0x x x →=，无穷小量x ×有界函数1sin x 仍为无穷小量 D 、()0limln(2)=ln 0+2ln 2x x →+= 故选C⒎若函数)(x f 在点0x 满足（A ），则)(x f 在点0x 连续。

A. )()(lim 00x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义 C. )()(lim 00x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 00x f x f x x x x -+→→= 分析：连续的定义：极限存在且等于此点的函数值，则在此点连续即()()00lim x x f x f x →=连续的充分必要条件()()()()()00000lim lim lim x x x x x x f x f x f x f x f x →→+→-=⇔== 故选A（二）填空题 ⒈函数)1ln(39)(2x x x x f ++--=的定义域是}3|{>x x ． 分析：求定义域一般遵循的原则（1） 偶次根号下的量0≥（2） 分母的值不等于0（3） 对数符号下量（真值）为正（4） 反三角中反正弦、反余弦符号内的量，绝对值小于等于1（5） 正切符号内的量不能取()0,1,22k k ππ±=然后求满足上述条件的集合的交集，即为定义域)1ln(39)(2x x x x f ++--=要求 2903010x x x ⎧-≥⎪-≠⎨⎪+>⎩得3331x x x x ≥≤-⎧⎪≠⎨⎪>⎩或－定义域为 {}|3x x >⒉已知函数x x x f +=+2)1(，则=)(x f x x -2． 分析：法一，令1t x =+得1x t =-则()()22()11f t t t t t =-+-=-则()2f x x x =- 法二，()()(1)(1)111f x x x x x +=+=+-+所以()()1f t t t =-⒊=+∞→x x x)211(lim 21e ． 分析：重要极限1lim 1x x e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭，等价式()10lim 1x x x e →+= 推广()lim x af x →=∞则()()1lim(1)f x x a e f x →+= ()lim 0x a f x →=则()()1lim(1)f x x a f x e →+=1122211lim(1)lim(1)22x x x x e x x⨯→∞→∞+=+= ⒋若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+=0,0,)1()(1x k x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k e ．分析：分段函数在分段点0x 处连续()()()000lim lim x x x x f x f x f x →+→-⇔== ()()()()00100lim lim 0lim lim 1x x xx x f x x k k k f x x e →+→+→-→-=+=+==+= 所以k e =⒌函数⎩⎨⎧≤>+=0,sin 0,1x x x x y 的间断点是0x =(为第一类间断点)． 分析：间断点即定义域不存在的点或不连续的点初等函数在其定义域范围内都是连续的分段函数主要考虑分段点的连续性（利用连续的充分必要条件）()()()0000lim lim 1011lim lim sin 0x x x x f x x f x x →+→+→-→-=+=+===不等，所以0x =为其间断点⒍若A x f x x =→)(lim 0，则当0x x →时，A x f -)(称为无穷小量． 分析：000lim(())lim ()lim 0x x x x x x f x A f x A A A →→→-=-=-= 所以A x f -)(为0x x →时的无穷小量（三）计算题⒈设函数⎩⎨⎧≤>=0,0,e )(x x x x f x求：)1(,)0(,)2(f f f -．解：()22f -=-，()00f =，()11f e e == ⒉求函数21lg x y x-=的定义域． 解：21lg x y x -=有意义，要求2100x x x -⎧>⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩解得1020x x x ⎧⎪⎪><⎨⎪≠⎪⎩或则定义域为1|02x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或 ⒊在半径为R 的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数．解：设梯形ABCD 即为题中要求的梯形，设高为h ，即OE=h ，下底CD ＝2R （其中，AB 为梯形上底，下底CD 与半园直径重合，O 为园心，E 为AB 中点）直角三角形AOE 中，利用勾股定理得AE ==则上底AB＝2AE =故((222h S R R h R =+= ⒋求xx x 2sin 3sin lim 0→． （第4，5，6，7，9的极限还可用洛贝塔法则做） 解：000sin3sin33sin3333lim lim lim sin 2sin 2sin 22222x x x x x x x x x x x x x x x →→→⨯==⨯⨯＝133122⨯= ⒌求)1sin(1lim 21+--→x x x ． 解：21111(1)(1)111lim lim lim 2sin(1)sin(1)sin(1)11x x x x x x x x x x x →-→-→---+---====-++++ ⒍求xx x 3tan lim 0→． 解：000tan3sin31sin311limlim lim 3133cos33cos31x x x x x x x x x x x →→→==⨯⨯=⨯⨯=⒎求xx x sin11lim 20-+→． 解：20001lim sinx x x x →→→-== ()00lim 0sin 1111)x x xx →===+⨯⒏求x x x x )31(lim +-∞→． 解：1143331111(1)[(1)]1lim()lim()lim lim 33311(1)[(1)]3x x x x x x x x x x x e x x x e x e x x x----→∞→∞→∞→∞--+--=====++++ ⒐求4586lim 224+-+-→x x x x x ． 解：()()()()2244442682422lim lim lim 54411413x x x x x x x x x x x x x →→→---+--====-+---- ⒑设函数⎪⎩⎪⎨⎧-<+≤≤->-=1,111,1,)2()(2x x x x x x x f讨论)(x f 的连续性，并写出其连续区间．解：分别对分段点1,1x x =-=处讨论连续性（1）()()()1111lim lim 1lim lim 1110x x x x f x x f x x →-+→-+→--→--==-=+=-+= 所以()()11lim lim x x f x f x →-+→--≠，即(f x 在1x =-处不连续（2）()()()()()221111lim lim 2121lim lim 111x x x x f x x f x x f →+→+→-→-=-=-====所以()()()11lim lim 1x x f x f x f →+→-==即(f x 在1x =处连续 由（1）（2）得()f x 在除点1x =-外均连续故()f x 的连续区间为()(),11,-∞--+∞。