2009年全国中考数学压轴题精选精析（四）41.（09年湖北恩施州）24.如图，在ABC ∆中，∠A 90=°，10=BC ,ABC ∆的面积为25，点D 为AB 边上的任意一点(D 不与A 、B 重合)，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ．设x DE =以DE 为折线将△ADE 翻折，所得的DE A '∆与梯形DBCE 重叠部分的面积记为y.（1）．用x 表示∆ADE 的面积; （2）．求出0﹤x ≤5时y 与x 的函数关系式； （3）．求出5﹤x ﹤10时y 与x 的函数关系式； （4）．当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？（09年湖北恩施州24题解析）解:(1)∵ D E ∥BC ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C ∴△ADE ∽△ABC ∴2)(BC DE S S ABC ADE =∆∆即241x S ADE =∆ 3分 (2)∵BC=10 ∴BC 边所对的三角形的中位线长为5 ∴当0﹤5≤x 时 241x S y ADE ==∆ 6分 （3）x ≤5﹤10时，点A '落在三角形的外部,其重叠部分为梯形∵S △A 'DE =S △ADE =241x∴DE 边上的高AH=AH '=x 21 由已知求得AF=5 ∴A 'F=AA '-AF=x-5 由△A 'MN ∽△A 'DE 知2DE A'MN A')HA'F A'(=∆∆S SCBA2MN A')5(-=∆x S∴251043)5(41222-+-=--=x x x x y 9分 （4）在函数241x y =中∵0﹤x ≤5∴当x=5时y 最大为：42510分 在函数2510432-+-=x x y 中当3202=-=a b x 时y 最大为：32511分 ∵425﹤325∴当320=x 时，y 最大为：32512分39.（09年黑龙江绥化）28．(本小题满分lO 分)（09年黑龙江绥化28题解析）40.（09年湖北鄂州）27．如图所示，将矩形OABC 沿AE 折叠，使点O 恰好落在BC 上F处，以CF 为边作正方形CFGH ，延长BC 至M ，使CM ＝｜CF —EO ｜，再以CM 、CO 为边作矩形CMNO(1)试比较EO 、EC 的大小，并说明理由 (2)令；四边形四边形CNMN CFGHS S m，请问m 是否为定值？若是，请求出m 的值；若不是，请说明理由(3)在(2)的条件下，若CO ＝1，CE ＝31，Q 为AE 上一点且QF ＝32，抛物线y ＝mx 2+bx+c 经过C 、Q 两点，请求出此抛物线的解析式.(4)在(3)的条件下，若抛物线y ＝mx 2+bx+c 与线段AB 交于点P ，试问在直线BC 上是否存在点K ，使得以P 、B 、K 为顶点的三角形与△AEF 相似?若存在，请求直线KP 与y 轴的交点T 的坐标?若不存在，请说明理由。

（09年湖北鄂州27题解析）（1）EO ＞EC ，理由如下：由折叠知，EO=EF ，在Rt △EFC 中，EF 为斜边，∴EF ＞EC ， 故EO ＞EC …2分 （2）m 为定值∵S 四边形CFGH =CF 2=EF 2－EC 2=EO 2－EC 2=(EO+EC)(EO ―EC)=CO ·(EO ―EC)S 四边形CMNO =CM ·CO=|CE ―EO|·CO=(EO ―EC)·CO ∴1==CMNO CFGHS S m 四边形四边形……………………………………………………4分（3）∵CO=1，3231==QF CE ，∴EF=EO=QF ==-32311 ∴cos ∠FEC=21∴∠FEC=60°， ∴︒=∠∠=︒=︒-︒=∠3060260180EAO OEA FEA ，∴△EFQ 为等边三角形，32=EQ …………………………………………5分作QI ⊥EO 于I ，EI=3121=EQ ，IQ=3323=EQ ∴IO=313132=-∴Q 点坐标为)31,33(……………………………………6分∵抛物线y=mx 2+bx+c 过点C(0，1)， Q )31,33(，m=1 ∴可求得3-=b ，c=1∴抛物线解析式为132+-=x x y ……………………………………7分（4）由（3），3323==EO AO当332=x 时，3113323)332(2=+⨯-=y ＜AB ∴P 点坐标为)31,332(…………………8分 ∴BP=32311=-AO 方法1：若△PBK 与△AEF 相似，而△AEF ≌△AEO ，则分情况如下：①3323232=BK 时，932=BK ∴K 点坐标为)1,934(或)1,938( ②3232332=BK 时，332=BK ∴K 点坐标为)1,334(或)1,0(…………10分故直线KP 与y 轴交点T 的坐标为)1,0()31,0()37,0()35,0(或或或--…………………………………………12分方法2：若△BPK 与△AEF 相似，由（3）得：∠BPK=30°或60°，过P 作PR ⊥y 轴于R ，则∠RTP=60°或30° ①当∠RTP=30°时，23332=⨯=RT ②当∠RTP=60°时，323332=÷=RT∴)1,0()31,0()35,0()37,0(4321T T T T ，，，--……………………………12分42.（09年湖北黄冈）20．(满分14分)如图,在平面直角坐标系xoy 中,抛物线21410189y x x =--与x 轴的交点为点B ,过点B 作x 轴的平行线BC ,交抛物线于点C ,连结AC ．现有两动点P ,Q 分别从O,C 两点同时出发,点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动,点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动,点P 停止运动时,点Q 也同时停止运动,线段OC ,PQ 相交于点D ,过点D 作DE ∥OA ,交CA 于点E ,射线QE 交x 轴于点F ．设动点P ,Q 移动的时间为t (单位:秒)(1)求A,B,C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标; (2)当t 为何值时,四边形PQCA 为平行四边形?请写出计算过程;(3)当0＜t ＜92时,△PQ F 的面积是否总为定值?若是,求出此定值,若不是,请说明理由;(4)当t 为何值时,△PQF 为等腰三角形?请写出解答过程．（09年湖北黄冈20题解析）解：（1）21(8180)18y x x =--，令0y =得281800x x --=，()()18100x x -+=∴18x =或10x =-∴(18,0)A ；………………………1′在21410189y x x =--中，令0x =得10y =即(0,10)B -；………………2′ 由于B C ∥OA ，故点C 的纵坐标为－10，由2141010189x x -=--得8x =或0x = 即(8,10)C -且易求出顶点坐标为98(4,)9-……………………………………3′于是，(18,0),(0,10),(8,10)A B C --，顶点坐标为98(4,)9-。

…………………4′（2）若四边形PQCA 为平行四边形，由于Q C ∥PA 。

故只要QC=PA 即可，而184,PA t CQ t =-=故184t t -=得185t =；……………………7′ （3）设点P 运动t 秒，则4,OP t CQ t ==，0 4.5t <<，说明P 在线段OA 上，且不与点OA 、重合，由于Q C ∥OP 知△QD C ∽△PDO ，故144QD QC t DP OP t === ∴4AF t OP ==∴18PF PA AF PA OP =+=+=…………………9′又点Q 到直线PF 的距离10d =，∴1118109022PQF S PF d ∆==⨯⨯=g g ，于是△PQF 的面积总为90。

…………………………10′（4）由上知，(4,0),(184,0),(8,10)P t F t Q t +--，0 4.5t <<。

构造直角三角形后易得2222(48)10(58)100PQ t t t =-++=-+，2222(1848)10(510)100FO t t t =+-++=++① 若FP=PQ ，即2218(58)100t =-+，故225(2)224t +=，∵22 6.5t +≤≤∴25t +==∴25t =-……………………11′ ② 若QP=QF ，即22(58)100(510)100t t -+=++，无0 4.5t ≤≤的t 满足条件；……………12′③ 若PQ=PF ，即22(58)10018t -+=，得2(58)224t -=，∴8 4.55t +=>或805t -=<都不满足0 4.5t ≤≤，故无0 4.5t ≤≤的t 满足方程；………………………13′综上所述：当25t =-时，△PQR 是等腰三角形。

…………………………14′ 43.（09年湖北黄石）25．（本小题满分10分）正方形ABCD 在如图所示的平面直角坐标系中，A 在x 轴正半轴上，D 在y 轴的负半轴上，AB 交y 轴正半轴于E BC ，交x 轴负半轴于F ，1OE =，抛物线24y ax bx =+-过A D F 、、三点．（1）求抛物线的解析式；（3分）（2）Q 是抛物线上D F 、间的一点，过Q 点作平行于x 轴的直线交边AD 于M ，交BC 所在直线于N ，若32FQN AFQM S S =△四边形，则判断四边形AFQM 的形状；（3分） （3）在射线DB 上是否存在动点P ，在射线CB 上是否存在动点H ，使得AP PH ⊥且AP PH =，若存在，请给予严格证明，若不存在，请说明理由．（4分）（09年湖北黄石25题解析）解：（1）依条件有(04)D -，，(01)E ，．由OEA ADO △∽△知24OA OE OD ==g． ∴(20)A ，由Rt Rt ADE ABF △≌△得DE AF =． ∴(30)F -，．将A F 、的坐标代入抛物线方程， 得42409340a b a b +-=⎧⎨--=⎩23a b ⇒==．∴抛物线的解析式为222433y x x =+-． ···························································· 3分 （2）设QM m =，1(5)||2Q AFQM S m y =+g 四边形，1(5)||2FQN Q S m y =-g △．∴3(5)||(5)||12Q Q m y m y m +=-⇒=g g设()Q a b ，，则(1)M a b +，∴222432(1)4b a a ab a ⎧=+-⎪⎨⎪=+-⎩2230a a ⇒--=，1a ∴=-（舍去3a =） 此时点M 与点D 重合，QF AM =，AF QM >，AF QM ∥，则AFQM 为等腰梯形． ·················································································· 3分 （3）在射线DB 上存在一点P ，在射线CB 上存在一点H ． 使得AP PH ⊥，且AP PH =成立，证明如下：当点P 如图①所示位置时，不妨设PA PH =，过点P 作PQ BC ⊥，PM CD ⊥，（第25题图）PN AD ⊥，垂足分别为Q M N 、、．若PA PH =．由PM PN =得：AN PQ =，Rt Rt PQH APN ∴△≌△ HPQ PAN ∴∠=∠．又90PAN APN ∠+∠=°90APN HPQ ∴∠+∠=°AP PH ∴⊥． ······························································································ 2分 当点P 在如图②所示位置时，过点P 作PM BC ⊥，PN AB ⊥， 垂足分别为M N ，．同理可证Rt Rt PMH PAN △≌△． MHP NAP ∠=∠． 又MHP HPN ∠=∠，90HPA NPA HPN MHP HPM ∠=∠+∠=∠+∠=°，PH PA ∴⊥． ······························································································ 1分 当P 在如图③所示位置时，过点P 作PN BH ⊥，垂足为N ，PM AB ⊥延长线，垂足为M ．同理可证Rt Rt PHM PMA △≌△．PH PA ∴⊥． ······························································································ 1分 注意：分三种情况讨论，作图正确并给出一种情况证明正确的，同理可证出其他两种情况的给予4分；若只给出一种正确证明，其他两种情况未作出说明，可给2分，若用四点共圆知识证明且证明过程正确的也没有讨论三种情况的．只给2分．44.（09年湖北荆门）25．(本题满分12分)一开口向上的抛物线与x 轴交于A (m －2，0)，B (m ＋2，0)两点，记抛物线顶点为C ，且AC ⊥BC ． (1)若m 为常数，求抛物线的解析式；(2)若m 为小于0的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？ (3)设抛物线交y 轴正半轴于D 点，问是否存在实数m ，使得△BCD 为等腰三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．B A N D MC Q HP ① HNAD CB M P ③BADM C QHP ②N（09年湖北荆门25题解析）解：(1)设抛物线的解析式为：y ＝a (x －m ＋2)(x －m －2)＝a (x －m )2－4a ．…………2分∵AC ⊥BC ，由抛物线的对称性可知：△ACB 是等腰直角三角形，又AB ＝4， ∴C (m ，－2)代入得a ＝12．∴解析式为：y ＝12(x －m )2－2．…………………………5分 (亦可求C 点，设顶点式)(2)∵m 为小于零的常数，∴只需将抛物线向右平移－m 个单位，再向上平移2个单位，可以使抛物线y ＝12(x －m )2－2顶点在坐标原点．………………………………………7分 (3)由(1)得D (0，12m 2－2)，设存在实数m ，使得△BOD 为等腰三角形． ∵△BOD 为直角三角形，∴只能OD ＝OB ．……………………………………………9分 ∴12m 2－2＝|m ＋2|，当m ＋2＞0时，解得m ＝4或m ＝－2(舍)． 当m ＋2＜0时，解得m ＝0(舍)或m ＝－2(舍)；当m ＋2＝0时，即m ＝－2时，B 、O 、D 三点重合(不合题意，舍)综上所述：存在实数m ＝4，使得△BOD 为等腰三角形．……………………………12分 45.（09年湖北十堰）25．（12分）如图①， 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ． (1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE第25题图BDACO xy面积的最大值，并求此时E 点的坐标．（09年湖北十堰25题解析）解:(1)由题知:⎩⎨⎧=+-=++033903b a b a ……………………………………1 分 解得: ⎩⎨⎧-=-=21b a ……………………………………………………………2分∴所求抛物线解析式为: 322+=x －－x y ……………………………3分(2)存在符合条件的点P, 其坐标为P (－1, 10)或P(－1,－10)或P (－1, 6) 或P (－1, 35)………………………………………………………7分 (3)解法①：过点E 作EF ⊥x 轴于点F , 设E ( a ,-2a -2a ＋3 )( －3< a < 0 )∴EF =-2a -2a ＋3，BF =a ＋3，OF =－a ………………………………………………8分∴S 四边形BOCE =21BF ·EF + 21(OC +EF )·OF =21( a ＋3 )·(－2a －2a ＋3) + 21(－2a －2a ＋6)·（－a ）……………………………9分 =2929232+--a a ………………………………………………………………………10分=－232)23(+a +863∴当a =－23时，S 四边形BOCE 最大, 且最大值为863．……………………………11 分此时，点E 坐标为 (－23，415)……………………………………………………12分 解法②：过点E 作EF ⊥x 轴于点F ，设E ( x , y )( －3< x < 0 ) …………………………8分则S 四边形BOCE =21(3 + y )·(－x ) + 21( 3 + x )·y ………………………………………9分 = 23( y －x )= 23(332+x －－x ) …………………………………10 分= －232)23(+x + 863∴当x =－23时，S 四边形BOCE 最大，且最大值为863． …………………………11分此时，点E 坐标为 (－23，415)……………………………………………………12分说明:（1）抛物线解析式用其它形式表示，只要正确不扣分.（2）直接应用公式法求抛物线顶点坐标或最大值不扣分． （3）其它解法请参照评分说明给分. 46.（09年湖北武汉）25．（本题满分12分）如图，抛物线24y ax bx a =+-经过(10)A -，、(04)C ，两点，与x 轴交于另一点B ． （1）求抛物线的解析式；（2）已知点(1)D m m +，在第一象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点的坐标； （3）在（2）的条件下，连接BD ，点P 为抛物线上一点，且45DBP ∠=°，求点P 的坐标．37.（09年黑龙江牡丹江）28．（本小题满分8分）如图，ABCD Y在平面直角坐标系中，6AD =，若OA 、OB 的长是关于x 的一元二次方程27120x x -+=的两个根，且OA OB >． （1）求sin ABC ∠的值．（2）若E 为x 轴上的点，且163AOE S =△，求经过D 、E 两点的直线的解析式，并判断AOE △与DAO △是否相似？（3）若点M 在平面直角坐标系内，则在直线AB 上是否存在点F ，使以A 、C 、F 、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F 点的坐标；若不存在，请说明理由．（09年黑龙江牡丹江28题解析）解：（1）解27120x x -+=得1243x x ==，OA OB >Q43OA OB ∴==， ·············································································· 1分 在Rt AOB △中，由勾股定理有5AB =4sin 5OA ABC AB ∴∠== ········································································ 1分 （2）∵点E 在x 轴上，163AOE S =△11623AO OE ∴⨯= 83OE ∴=880033E E ⎛⎫⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，或， ········································································ 1分由已知可知D （6，4）设DE y kx b =+，当803E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，时有 46803k b k b =+⎧⎪⎨=+⎪⎩解得65165k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴61655DE y x =- ················································································ 1分 同理803E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，时，6161313DE y x =+ ······················································· 1分28题图在AOE △中，89043AOE OA OE ∠===°，， 在AOD △中，9046OAD OA OD ∠===°，， OE OAOA OD=Q AOE DAO ∴△∽△ ············································································ 1分 （3）满足条件的点有四个123475224244(38)(30)1472525F F F F ⎛⎫⎛⎫----- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，；，；，；， ····························· 4分说明：本卷中所有题目，若由其它方法得出正确结论，可参照本评分标准酌情给分. 38.（09年黑龙江齐齐哈尔）28．（本小题满分10分） 直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．（09年黑龙江齐齐哈尔28题解析）（1）A （8，0）B （0，6） ································· 1分 （2）86OA OB ==Q ， 10AB ∴=Q 点Q 由O 到A 的时间是881=（秒）∴点P 的速度是61028+=（单位/秒） · 1分当P 在线段OB 上运动（或03t ≤≤）时，2OQ t OP t ==，2S t = ·········································································································· 1分当P 在线段BA 上运动（或38t <≤）时，6102162OQ t AP t t ==+-=-，,如图，作PD OA ⊥于点D ，由PD AP BO AB =，得4865tPD -=， ······························ 1分 21324255S OQ PD t t ∴=⨯=-+ ······································································· 1分 （自变量取值范围写对给1分，否则不给分．）（3）82455P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ···························································································· 1分12382412241224555555I M M 2⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，， ···················································· 3分注：本卷中各题，若有其它正确的解法，可酌情给分．（09年湖北武汉25题解析）解：（1）Q 抛物线24y ax bx a =+-经过(10)A -，，(04)C ，两点，404 4.a b a a --=⎧∴⎨-=⎩，解得13.a b =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为234y x x =-++．（2）Q 点(1)D m m +，在抛物线上，2134m m m ∴+=-++，即2230m m --=，1m ∴=-或3m =．Q 点D 在第一象限，∴点D 的坐标为(34)，．由（1）知45OA OB CBA =∴∠=，°． 设点D 关于直线BC 的对称点为点E ．(04)C Q ，，CD AB ∴∥，且3CD =，45ECB DCB ∴∠=∠=°，E ∴点在y 轴上，且3CE CD ==．1OE ∴=，(01)E ∴，． 即点D 关于直线BC 对称的点的坐标为（0，1）．（3）方法一：作PF AB ⊥于F ，DE BC ⊥于E ． 由（1）有：445OB OC OBC ==∴∠=，°， 45DBP CBD PBA ∠=∴∠=∠Q °，．(04)(34)C D Q ，，，，CD OB ∴∥且3CD =．45DCE CBO ∴∠=∠=°，2DE CE ∴==． 4OB OC ==Q，BC ∴=2BE BC CE ∴=-=， 3tan tan 5DE PBF CBD BE ∴∠=∠==． 设3PF t =，则5BF t =，54OF t ∴=-，(543)P t t ∴-+，．P Q 点在抛物线上，∴23(54)3(54)4t t t =--++-++，0t ∴=（舍去）或2225t =，266525P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，． 方法二：过点D 作BD 的垂线交直线PB 于点Q ，过点D 作DH x ⊥轴于H ．过Q 点作QG DH ⊥于G ．45PBD QD DB ∠=∴=Q °，． QDG BDH ∴∠+∠90=°，又90DQG QDG ∠+∠=°，DQG BDH ∴∠=∠．QDG DBH ∴△≌△，4QG DH ∴==，1DG BH ==．由（2）知(34)D ，，(13)Q ∴-，．(40)B Q ，，∴直线BP 的解析式为31255y x =-+．解方程组23431255y x x y x ⎧=-++⎪⎨=-+⎪⎩，，得1140x y =⎧⎨=⎩，；222566.25x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴点P 的坐标为266525⎛⎫- ⎪⎝⎭，．47.（09年湖北襄樊）26．（本小题满分13分）如图13，在梯形ABCD 中，24AD BC AD BC ==∥，，，点M 是AD 的中点，MBC △是等边三角形．（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形；（2）动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动，且60MPQ =︒∠保持不变．设PC x MQ y ==，，求y 与x 的函数关系式； （3）在（2）中：①当动点P 、Q 运动到何处时，以点P 、M 和点A 、B 、C 、D 中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数； ②当y 取最小值时，判断PQC △的形状，并说明理由．（09年湖北襄樊26题解析）（1）证明：∵MBC △是等边三角形∴60MB MC MBC MCB ===︒，∠∠ ········ 1分 ∵M 是AD 中点 ∴AM MD = ∵AD BC ∥∴60AMB MBC ==︒∠∠， 60DMC MCB ==︒∠∠ ∴AMB DMC △≌△ ······················ 2分 ∴AB DC =∴梯形ABCD 是等腰梯形． ························································ 3分（2）解：在等边MBC △中，4MB MC BC ===，60MBC MCB ==︒∠∠，60MPQ =︒∠∴120BMP BPM BPM QPC +=+=︒∠∠∠∠∴BMP QPC =∠∠ ··········································································· 4分 ∴BMP CQP △∽△∴PC CQBM BP= ······················································· 5分 ∵PC x MQ y ==，∴44BP x QC y =-=-， ······································ 6分A DC B PM Q60°图13∴444x y x -=-∴2144y x x =-+ ···························································· 7分 （3）解：①当1BP =时，则有BP AM BP MD∥∥， 则四边形ABPM 和四边形MBPD 均为平行四边形 ∴211333444MQ y ==⨯-+= ··················································· 8分 当3BP =时，则有PC AM PC MD∥∥， 则四边形MPCD 和四边形APCM 均为平行四边形∴11311444MQ y ==⨯-+= ····················································· 9分 ∴当1314BP MQ ==，或1334BP MQ ==，时，以P 、M 和A 、B 、C 、 D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形．此时平行四边形有4个． ·························································· 10分 ②PQC △为直角三角形 ··························································· 11分 ∵()21234y x =-+ ∴当y 取最小值时，2x PC == ················································ 12分 ∴P 是BC 的中点，MP BC ⊥，而60MPQ =︒∠，∴30CPQ =︒∠，∴90PQC =︒∠ ·············································· 13分48.（09年湖北孝感）25．（本题满分12分）如图，点P 是双曲线11(00)k y k x x=<<，上一动点，过点P 作x 轴、y 轴的垂线，分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，交双曲线y =xk 2（0＜k 2＜|k 1|）于E 、F 两点． （1）图1中，四边形PEOF 的面积S 1=▲(用含k 1、k 2的式子表示)；（3分） （2）图2中，设P 点坐标为（－4，3）．①判断EF 与AB 的位置关系，并证明你的结论；（4分）②记2PEF OEF S S S ∆∆=-，S 2是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由．（5分）（09年湖北孝感25题解析）解：（1）21k k -；… ………………………3分（2）①EF ∥AB ． ……………………………………4分 证明：如图，由题意可得A （–4，0），B （0，3），2(4,)4k E --，2(,3)3k F ．∴P A=3，PE =234k +，PB =4，PF =243k+． ∴223121234PA k PEk ==++，224121243PB k PFk ==++∴PA PBPE PF=．………………………… 6分 又∵∠APB =∠EPF ．∴△APB ∽△EPF ，∴∠P AB =∠PEF ．∴EF ∥AB ．…………………………… 7分 ②S 2没有最小值，理由如下：过E 作EM ⊥y 轴于点M ，过F 作FN ⊥x 轴于点N ，两线交于点Q ． 由上知M （0，24k -），N （23k ，0），Q （23k ，24k -）．………………8分而S △EFQ = S △PEF ，∴S 2＝S △PEF －S △OEF ＝S △EFQ －S △OEF ＝S △EOM ＋S △FON ＋S 矩形OMQN＝4321212222kk k k ⋅++ ＝222112k k +=221(6)312k +-． …………………………10分当26k >-时，S 2的值随k 2的增大而增大，而0＜k 2＜12．……………11分 ∴0＜S 2＜24，s 2没有最小值． ……………………………12分说明：1．证明AB ∥EF 时，还可利用以下三种方法．方法一：分别求出经过A 、B 两点和经过E 、F 两点的直线解析式，利用这两个解析式中x 的系数相等来证明AB ∥EF ；方法二：利用tan PAB ∠＝tan PEF ∠来证明AB ∥EF ；方法三：连接AF 、BE ，利用S △AE F ＝S △BFE 得到点A 、点B 到直线EF 的距离相等，再由A 、B 两点在直线EF 同侧可得到AB ∥EF ．2．求S 2的值时，还可进行如下变形：S 2＝ S △PEF －S △OEF ＝S △PEF －（S 四边形PEOF －S △PEF ）＝2S △PEF －S 四边形PEOF ，再利用第（1）题中的结论．注意：1．按照评分标准分步评分，不得随意变更给分点；2．第19题至第25题的其它解法，只要思路清晰，解法正确，都应按步骤给予相应分数．。