数字信号处理期末试卷
一、填空题：（每空1分，共18分）
1、
数字频率ω是模拟频率Ω对采样频率s f 的归一化，其值是 连续 （连续还是离散？）。
2、
双边序列z 变换的收敛域形状为 圆环或空集 。
3、 某序列的DFT 表达式为∑-==1
0)()(N n kn M W n x k X ，由此可以看出，该序列时域的长度为 N ，变换后数字频域上相
邻两个频率样点之间的间隔是
M π2 。
4、 线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为2
52)1(8)(22++--=z z z z z H ，则系统的极点为 2,2121-=-=z z ；系统的稳定性为 不稳定 。
系统单位冲激响应)(n h 的初值4)0(=h ；终值)(∞h 不存在 。
5、 如果序列)(n x 是一长度为64点的有限长序列)630(≤≤n ，序列)(n h 是一长度为128点的有限长序列)1270(≤≤n ，记)()()(n h n x n y *=（线性卷积），则)(n y 为 64+128-1＝191点 点的序列，如果采用基FFT 2算法以快速卷积的方
式实现线性卷积，则FFT 的点数至少为 256 点。
6、 用冲激响应不变法将一模拟滤波器映射为数字滤波器时，模拟频率Ω与数字频率ω之间的映射变换关系为T
ω=Ω。
用双线性变换法将一模拟滤波器映射为数字滤波器时，模拟频率Ω与数字频率ω之间的映射变换关系为)2
tan(2ωT =Ω或)2
arctan(2T Ω=ω。
7、当线性相位FIR 数字滤波器满足偶对称条件时，其单位冲激响应)(n h 满足的条件为)1()(n N h n h --= ，此时对应系统的频率响应)()()(ωϕωωj j e H e H =，则其对应的相位函数为ωωϕ2
1)(--=N 。
8、请写出三种常用低通原型模拟滤波器 巴特沃什滤波器 、 切比雪夫滤波器 、 椭圆滤波器 。
二、判断题（每题2分，共10分）
1、 模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，只要加一道采样的工序就可以了。
（╳）
2、
已知某离散时间系统为)35()]([)(+==n x n x T n y ，则该系统为线性时不变系统。
(╳) 3、
一个信号序列，如果能做序列的傅里叶变换（DTFT ），也就能对其做DFT 变换。
（╳） 4、 用双线性变换法进行设计IIR 数字滤波器时，预畸并不能消除变换中产生的所有频率点的非线性畸变。
（√）
5、 阻带最小衰耗取决于窗谱主瓣幅度峰值与第一旁瓣幅度峰值之比。
（╳）
三、（15分）、已知某离散时间系统的差分方程为
系统初始状态为1)1(=-y ，2)2(=-y ，系统激励为)()3()(n u n x n =，
试求：（1）系统函数)(z H ，系统频率响应)(ωj e H 。
（2）系统的零输入响应)(n y zi 、零状态响应)(n y zs 和全响应)(n y 。
解：（1）系统函数为2
3223121)(22211+-+=+-+=
---z z z z z z z z H 系统频率响应232)()(22+-+===ωωω
ωωωj j j j e z j e e e e z H e H j
解一：（2）对差分方程两端同时作z 变换得 即：)(231)
21(231)
2(2)1(2)1(3)(211211z X z z z z z y y z y z Y ------+-+++------=
上式中，第一项为零输入响应的z 域表示式，第二项为零状态响应的z 域表示式，将初始状态及激励的z 变换3)(-=
z z
z X 代入，得零输入响应、零状态响应的z 域表示式分别为
将)(),(z Y z Y zs zi 展开成部分分式之和，得
即 2413)(--+-=z z z z z Y zi 3
21528123)(-+--+-=z z z z z z z Y zs 对上两式分别取z 反变换，得零输入响应、零状态响应分别为
故系统全响应为
解二、（2）系统特征方程为0232=+-λλ，特征根为：11=λ，22=λ；
故系统零输入响应形式为 k zi c c k y )2()(21+=
将初始条件1)1(=-y ，2)2(=-y 带入上式得
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-=+=-2)41()2(1)21()1(2121c c y c c y zi zi 解之得
31=c ，42-=c ， 故系统零输入响应为：
k zi k y )2(43)(-= 0≥k 系统零状态响应为
即 3
21528123)(-+--+-=z z z z z z z Y zs 对上式取z 反变换，得零状态响应为
)(])3(215)2(823[)(k k y k k zs ε+-= 故系统全响应为
四、回答以下问题：
（1） 画出按时域抽取4=N 点基FFT 2的信号流图。
（2） 利用流图计算4点序列)4,3,1,2()(=n x （3,2,1,0=n ）的DFT 。
（3） 试写出利用FFT 计算IFFT 的步骤。
解：（1）
4点按时间抽取FFT 流图 加权系数
（2） ⎩⎨⎧-=-=-==+=+=112)2()0()1(532)2()0()0(00x x Q x x Q ⎩⎨⎧-=-=-==+=+=341)3()1()1(541)3()1()0(1
1x x Q x x Q 即： 3,2,1,0),31,0,31,10()(=--+-=k j j k X
（3）1）对)(k X 取共轭，得)(k X *；
2）对)(k X *做N 点FFT ；
3）对2）中结果取共轭并除以N 。
五、（12分）已知二阶巴特沃斯模拟低通原型滤波器的传递函数为
试用双线性变换法设计一个数字低通滤波器，其3dB 截止频率为πω5.0=c rad ，写出数字滤波器的系统函数，并用正准型结构实现之。
（要预畸，设1=T ）
解：（1）预畸
（2）反归一划
（3） 双线性变换得数字滤波器
（4）用正准型结构实现
六、（12分）设有一FIR 数字滤波器，其单位冲激响应)(n h 如图1所示：
图1
试求：（1）该系统的频率响应)(ωj e H ；
（2）如果记)()()(ωϕωωj j e H e H =，其中，)(ωH 为幅度函数（可以取负值），)(ωϕ为相位函数，试求)(ωH 与)(ωϕ；
（3）判断该线性相位FIR 系统是何种类型的数字滤波器？（低通、高通、带通、带阻），说明你的判断依据。
（4）画出该FIR 系统的线性相位型网络结构流图。
解：（1）)2,1,0,1,2()(--=n h
（2）)]sin(2)2sin(4[)]sin(2)2sin(4[)()22(22ωωωωωπ
π
ωω+=+=--j j j j e e e e H
)sin(2)2sin(4)(ωωω+=H ， ωπ
ωϕ22)(-=
（3）)()sin(2)2sin(4)2sin(2)]2(2sin[4)2(ωωωωπωπωπH H -=--=-+-=-
故 当0=ω时，有)0()0()2(H H H =-=π，即)(ωH 关于0点奇对称，0)0(=H ；
当πω=时，有))()(ππH H -=，即)(ωH 关于π点奇对称，0)(=πH
上述条件说明，该滤波器为一个线性相位带通滤波器。
（4）线性相位结构流图
八、（15分）简答题
（1）试写出双线性变换法设计IIR数字高通滤波器的主要步骤。
（2）简述利用窗函数来设计FIR滤波器时，对理想低通滤波器加矩形窗处理后的影响。
为了改善FIR滤波器的性能，尽可能的要求窗函数满足哪两个条件？
解：（1）1）将数字高通滤波器的频率指标转换为模拟高通滤波器的频率指标(其中将高通截止频率通过预畸转换为模拟高通滤波器的截止频率)
2）将模拟高通滤波器技术指标转换为模拟低通滤波器技术指标
3）设计模拟低通原型滤波器
4）将模拟低通原型滤波器通过双线性映射为数字低通原型滤波器
5）将数字低通原型滤波器通过频域变换为数字高通滤波器
（3）理想低通滤波器加窗后的影响有3点：
1）幅频特性的陡直的边沿被加宽，形成一个过渡带，过渡带的带宽取决于窗函数频响的主瓣宽度。
2）渡带的两侧附近产生起伏的肩峰和纹波，它是由窗函数频响的旁瓣引起的，旁瓣相对值越大起伏就越强。
3）截取长度N，将缩小窗函数的主瓣宽度，但却不能减小旁瓣相对值。
只能减小过渡带带宽，而不能改善滤波器通带内的平稳性和阻带中的衰减。
为了改善滤波器的性能，尽可能要求窗函数满足：
1）主瓣宽度窄，以获得较陡的过渡带
2）值尽可能小，以改善通带的平稳度和增大阻带中的衰减。