导数中“不等式”相关的几个问题
f (x )＝ln(1＋ax )
－2x
x ＋2
.
专题二：不等式两边“变量”相同且不含参
1. （2016年山东高考）已知.当时，证明对于任意的成立.
2. （2016年全国II 高考）讨论函数的单调性，并证明当时，；
专题三：不等式两边不同“变量”的任意存在组合型
1. 已知函数f (x )＝x －1
x ＋1
，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若对于任意x 1∈[0,1]，存在x 2∈[1,2]，使
f (x 1)≥
g (x 2)，则实数a 的取值范围是__________
2. 已知函数.设当时，若()2
21
()ln ,R x f x a x x a x
-=-+
∈1a =()3
()'2
f x f x +＞[]1,2x ∈x
x 2f (x)x 2
-=
+e 0x >(2)20x x e x -++>1()ln 1a f x x ax x -=-+
-()a R ∈2()2 4.g x x bx =-+1
4
a =
对任意，存在，使，求实数取值范围.
专题四：不等式两边不同“变量”的对等构造、齐次消元型
类型1：对称变量，构造法求解
1. 已知函数f(x)=
2
1x 2
-ax+(a-1)ln x ，1a >。

（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）证明：若5a <，则对任意x 1，x 2∈(0,)+∞，x 1≠x 2，有
1212
()()
1f x f x x x ->--。

2. 已知函数 （I ）讨论函数的单调性；
（II ）设.如果对任意，，求的
取值范围。

3. 设函数f (x )＝ln x ＋m
x
，m ∈R .
(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值； (2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x
3
零点的个数；
(3)若对任意b ＞a ＞0，f （b ）－f （a ）
b －a ＜1恒成立，求m 的取值范围．
4. 当()1,,n m n m Z >>∈，时，证明：(
)()m
n
n m mn
nm >
1(0,2)x ∈[]21,2x ∈12()()f x g x ≥b 1ln )1()(2
+++=ax x a x f )(x f 1-<a ),0(,21+∞∈x x ||4)()(|2121x x x f x f -≥-a
类型2：齐次变量，消元法求解
1. 已知函数()ln ,f x x mx m m R =-+∈
（1）已知函数()f x 在点()()
1,1f 处与x 轴相切，求实数m 的取值，（m=1） （2）求函数()f x 的单调区间
（3）在（1）的结论下，对于任意的0<,a b <，证明：()()1
1f b f a b a
a
-<
--
2. 已知函数()=ln ,f x x 当0a b <<时，求证：22
2()
()()a b a f b f a a b -->
+
3. 已知函数()()()2
=ln ,,f x x g x f x ax bx
=++其中()g x 的图象在点()()
1,1M g 处的切线平行与x 轴
（1）确定a 与b 的关系
（2）若，讨论函数()g x 的单调性
（3）设斜率为k 的直线与函数()f x 的图象交于两点()()()112212,,,,A x y B x y x x <，
证明：
21
11k x x << 专题五：证明含有“ln(())f n ”的不等式
类型1：对数式未出现在“+…+”中 1. 已知函数()ln ()1a f x x a x =+
∈+R ．求证：1
21
715131)1ln(+++++>+n n （n *N ∈）．
2. 已知，求证：对大于1的任意正整数
类型2：对数式出现在“+…+”中 1. 已知函数 （1）求函数的单调区间； （2）若不等式在区间上恒成立，求实数k 的取值范围；
（3）求证：
1()ln x f x x ax -=
+1111
,ln 234n n n
>++++ (x)
x
x g kx x f ln )(,)(==x
x
x g ln )(=
)()(x g x f ≥),0(+∞e n
n 21
ln 33ln 22ln 444<+⋅⋅⋅++
2. 已知函数，
（1）求函数的单调区间；
（2）若 恒成立，试确定实数的取值范围； （3）证明：（且）
3. 已知函数f (x )=
2
1x 2
－ax + (a －1)ln x ，1a >． (Ⅰ) 若2a >，讨论函数()f x 的单调性；
（II ）已知a =1，3
()2()g x f x x =+，若数列{a n }的前n 项和为()n S g n =，证明：
231111
(2,)3
n n n N a a a ++++<≥∈ ．
4. 设函数()()2
ln 10f x x b x b =++≠，其中.
（1）当1b =时，求曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性；
（3）当2n N n *
∈≥，且时证明不等式：3311111
ln 1112323
n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅
⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 311121
n n +
>-+.
型式3：不等号两边均无“+…+”
1. 设函数2()ln(1)f x x b x =++，其中0b ≠．
（I ）当1
2
b >
时，判断函数()f x 在定义域上的单调性； （II ）求函数()f x 的极值点；
（III ）证明对任意的正整数n ，不等式23
111
ln(1)n n n +>-都成立．
()ln(1)(1)1f x x k x =---+()f x ()0f x ≤k ln 2ln 3ln 4ln (1)34514
n n n n -+++<+ *
n N ∈1n >。