导数与函数放缩问题之切线法放缩一、典型的不等式：sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为，其几何意义为上的的点与原点连线斜率小于1.（放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥， 以直线1y x =-为切线的函数ln y x =，11x y e -=-，2y x x =-，11y x=-，ln y x x =. 二、典型例题1:()ln 1,()0x f x ae x a f x e =--≥≥例1已知证明时，21()ln ,().x f x ex x x f x xe e =-<+例2：已知求证：例3：已知函数()()()(0)x f x x b e a b =+->在(1,(1))f --处的切线方程为(1)10e x ey e -++-=.（1）求,a b ；（2）若方程()f x m =有两个实数根12,x x ，且12x x <，证明：21(12)11m e x x e--≤+-.例4：已知函数()ln f x x x =，()()22a x x g x -=.（1）若()()f x g x <在()1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；（2）求证：()()()22212111111n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦sin ,(0,)y x x π=∈三、巩固练习练习1：已知函数f (x )＝e x －a .(1)若函数f (x )的图象与直线l ：y ＝x －1相切，求a 的值； (2)若f (x )－ln x >0恒成立，求整数a 的最大值．练习:2：已知函数()2x f x e x =-.（1）求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （2）求证：当0x >时，()21ln 1x e e x x x+--≥+.练习3：函数的图像与直线相切．（1）求的值；（2）证明：对于任意正整数，()1122!!n n nnn n n en en ++⋅<<⋅.()()ln 1f x x ax =++2y x =a n导数与函数放缩问题之切线法放缩一、典型的不等式：sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为，其几何意义为上的的点与原点连线斜率小于1.（放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥， 以直线1y x =-为切线的函数ln y x =，11x y e -=-，2y x x =-，11y x=-，ln y x x =. 二、典型例题1:()ln 1,()0x f x ae x a f x e =--≥≥例1已知证明时，1ln 1x e x x x ≥+≤-考虑：，放缩-11()ln 1ln 1x x ef x ae x e x ≥=--≥--≥证明如下：因为a 所以x-(x-1)-1=0 21()ln ,().x f x ex x x f x xe e =-<+例3：已知求证：1()ln 0x g x e x ex ex =+-+>⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅即证：①-0x x e ex e ex ≥≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅考虑：，即②1ln 1,x x ≥-11ln 1,ln +0ex x ex ex ⇒≥-≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅即③由②③相加，且不能同时取等，即可得①式成立，即证。

例3：已知函数()()()(0)x f x x b e a b =+->在(1,(1))f --处的切线方程为(1)10e x ey e -++-=.（1）求,a b ；（2）若方程()f x m =有两个实数根12,x x ，且12x x <，证明：21(12)11m e x x e--≤+-. 【解析】（1）1a b ==；（2）由（1）可知()()()11x f x x e =+-， (0)0,(1)0f f =-=，()()21x f x x e '=+-， 设()f x 在()1,0-处的切线方程为()h x ，易得()1()11h x x e ⎫⎛=-+ ⎪⎝⎭，sin ,(0,)y x x π=∈令()()()F x f x h x =-， ()()()1()1111x F x x e x e ⎫⎛=+---+ ⎪⎝⎭，则()1()2x F x x e e'=+-，当2x ≤-时，()11()20x F x x e ee'=+-≤-<， 当2x >-时，设()1()()2x G x F x x e e'==+-，则()()30x G x x e '=+>， 故函数()F x '在()2,-+∞上单调递增，又(1)0F '-=，所以当(),1x ∈-∞-时，()0F x '<，当()1,x ∈-+∞时，()0F x '>， 所以函数()F x 在区间(),1-∞-上单调递减，在区间()1,-+∞上单调递增， 故()(1)0F x F ≥-=，即()()f x h x ≥，所以11()()f x h x ≥， 设()h x m =的根为1x '，则111mex e'=-+-， 又函数()h x 单调递减，故111()()()h x f x h x '=≥，故11x x '≤，再者，设()y f x =在()0,0处的切线方程为()y t x =，易得()t x x =， 令，， 当时，()()2220x T x x e '=+-≤-<， 当时，令()()()22x H x T x x e '==+-，则()()30x H x x e '=+>， 故函数在上单调递增，又，所以当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以()(0)0T x T ≥=，即()()f x t x ≥，所以22()()f x t x ≥， 设的根为，则，又函数单调递增，故，故，又，所. ()()()()()11x T x f x t x x e x =-=+--()()22x T x x e '=+-2x ≤-2x >-()T x '()2,-+∞(0)0T '=(),0x ∈-∞()0T x '<()0,x ∈+∞()0T x '>()T x (),0-∞()0,+∞()t x m =2x '2x m '=()t x 222()()()t x f x t x '=≥22x x '≥11x x '≤2121(12)1111me m e x x x x m e e-⎛⎫''-≤-=--+=+⎪--⎝⎭【能力提升】结合函数的凸凹性应用切线放缩法证明不等式 必须做到“脑中有形”，结合示意图易得1122x x x x ''≤<≤，显然2121x x x x ''-≤-.脑海中有这样的示意图，我们的思路不就清晰了吗？ 例4：已知函数()ln f x x x =，()()22a x x g x -=.（1）若()()f x g x <在()1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；（2）求证：()()()22212111111n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦【解析】（1）()()f x g x <等价于()2ln 02a x x x x --<，即()1ln 02a x x x -⎡⎤-<⎢⎥⎣⎦， 记()()1ln 2a x h x x -=-，则()1222a axh x x x -'=-=，当0a ≤时，()0h x '>，()h x 在()1,+∞上单调递增，由()10h =，()()10h x h >=， 所以()0xh x >，即()()f x g x <不恒成立；当02a <<时，221,1,x a a⎫⎛>∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 单调递增，()()f x g x <不恒成立；当2a ≥时，()1,x ∈+∞，()0h x '<，()h x 在()1,+∞上单调递减，()()10h x h <=，所以()0xh x <，即()()f x g x <恒成立；故()()f x g x <在()1,+∞上恒成立，实数a 的取值范围是[)2,+∞；（2）当2a =时，()()f x g x <在()1,+∞上成立，即ln 1x x <-， 令()21,1,2,,1kx k n n =+=+，则()()22ln 111kkn n ⎡⎤+<⎢⎥++⎢⎥⎣⎦， 所以()()()()2222112ln 1ln 1111111nk kn n n n n =⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑ ()()()()()()2222112121211121n n nn n n n n n +<+++==<+++++，所以()()()22212111111n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦【方法归纳】当2a =时，ln y x =，由于1y x'=在()0,+∞上单调递减，所以ln y x =为凸函数，则切线在函数ln y x =的图象的上方，所以ln 1x x <-.三、巩固练习练习1：已知函数f (x )＝e x －a .(1)若函数f (x )的图象与直线l ：y ＝x －1相切，求a 的值； (2)若f (x )－ln x >0恒成立，求整数a 的最大值．解 (1)f ′(x )＝e x ，因为函数f (x )的图象与直线y ＝x －1相切，所以令f ′(x )＝1， 即e x ＝1，得x ＝0，即f (0)＝－1，解得a ＝2. (2)先证明e x ≥x ＋1，设F (x )＝e x －x －1， 则F ′(x )＝e x －1，令F ′(x )＝0，则x ＝0，当x ∈(0，＋∞)时，F ′(x )>0，当x ∈(－∞，0)时，F ′(x )<0， 所以F (x )在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减， 所以F (x )min ＝F (0)＝0，即F (x )≥0恒成立， 即e x ≥x ＋1，即e x －2≥x －1， 当且仅当x ＝0时等号成立，同理可得ln x ≤x －1，当且仅当x ＝1时等号成立， 所以e x －2>ln x ，当a ≤2时，ln x <e x －2≤e x －a ， 即当a ≤2时，f (x )－ln x >0恒成立．当a ≥3时，存在x ＝1，使e x －a <ln x ，即e x －a >ln x 不恒成立． 综上，整数a 的最大值为2.练习:2：已知函数()2x f x e x =-.（1）求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （2）求证：当0x >时，()21ln 1x e e x x x+--≥+.【解析】（1）()2x f x e x =-，()2x f x e x '=-， 由题设得()()12,11f e f e '=-=-，所以曲线()f x 在1x =处的切线方程为()()211y e x e =--+-，即()21y e x =-+； （2）令()()g x f x '=，则()2x g x e '=-，当ln2x <时，()0g x '<，当ln2x >时，()0g x '>，所以函数()()g x f x '=在(),ln 2-∞上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增， ()()()min ln 2ln 222ln 20g x g f '===->，所以函数()2x f x e x =-在()0,+∞上单调递增，由于曲线()f x 在1x =处的切线方程为()21y e x =-+，()11f e =-，可猜测函数()f x 的图象恒在切线()21y e x =-+的上方.先证明当0x >时，()()21f x e x ≥-+.设()()()()210h x f x e x x =--->，则()()()22,2x x h x e x e h x e '''=---=-， 当ln2x <时，()0h x ''<，当ln2x >时，()0h x ''>， 所以()h x '在()0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增， 由()()030,10,0ln 21h e h ''=->=<<，所以()ln 20h '<， 所以存在()00,ln 2x ∈，使得()00h x '=， 所以当()()00,1,x x ∈+∞时，()0h x '>，当()0,1x x ∈时，()0h x '<，所以()h x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在()1,+∞上单调递增. 因为()()010h h ==，所以()0h x ≥，即()()21f x e x ≥-+，当且仅当1x =时取等号， 所以当0x >时，()221x e x e x -≥-+， 变形可得()21x e e x x x+--≥，又由于ln 1x x ≥+，当且仅当1x =时取等号（证明略）， 所以()21ln 1x e e x x x+--≥+，当且仅当1x =时取等号.【审题点津】切线放缩法值得认真探究，若第一小题是求曲线的切线方程，就要注意是否运用切线放缩法进行放缩解决问题.练习3：函数的图像与直线相切．（1）求的值；（2）证明：对于任意正整数，()1122!!n n nnn n n en en ++⋅<<⋅.【解析】（1）． 设直线与曲线相切于点．依题意得： ()0000002ln 1121y x y x ax a x ⎧⎪=⎪⎪=++⎨⎪⎪+=+⎪⎩，整理得，，……（*） 令，． 所以，当时，，单调递增；当时，，单调递减．当时，取得最小值，所以，即()ln 11xx x +≥+. 故方程（*）的解为，此时． （2）①要证明()12!!n nn n n en +⋅<，即证()()()112n n n n e n n n n +⋅<+++，()()ln 1f x x ax =++2y x =a n ()f x '11a x =++2y x =()y f x =()00,P x y ()000ln 101x x x +-=+()()ln 11x g x x x =+-+()()()2211111xg x x x x '=-=+++0x >()0g x '>()g x 10x -<<()0g x '<()g x 0x =()g x ()00g =()0g x ≥00x =1a =只需证11212ln ln ln1n n n n n n n n n n nen n n n n nn+++++++<⋅⇔<++++. 由（1）知，，即， 因此，，…，． 上式累加得：，得证； ②要证明()122!!n nn n en +<⋅，即证()()()1212n nn n n n n e++++<⋅，只需证1212121ln ln ln2n n n n n n n n n n e n nn n nn ++++++++⋅<⇔+++<. 令，则()1111xh x x x -'=-=++． 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.当时，取得最大值，即，．由得：，，…，． 上式累加得：，得证；【审题点津】第（2）小题待证不等式的证明途径只有从第（1）小题的探究切线的过程中挖掘，这是切线放缩法的拓展运用.()0g x ≥()ln 11xx x +≥+11ln 11⎛⎫+> ⎪+⎝⎭n n 221ln 121⎛⎫+>> ⎪++⎝⎭n n n 1ln 11⎛⎫+>> ⎪++⎝⎭n n n n n n 12ln 1111⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅⋅+>⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦n n n n n n ()()ln 1=+-x x h x 0x >()0h x '<()h x 10x -<<()0h x '>()h x 0x =()h x ()00h =()0h x ≤()ln 1+≤x x ()ln 1+≤x x 11ln 1⎛⎫+< ⎪⎝⎭n n 22ln 1⎛⎫+< ⎪⎝⎭n n ln 1⎛⎫+< ⎪⎝⎭n nn n12121ln 1112⎡⎤++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅⋅+<=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦n n n n n n n。