中考几何模型解题法 研修课论文 宋海平第一讲 以中招真题为例讲解在几何题中，与角平分线的四类模型：夹角模型、角平分线加垂直模型、角平分线加平行线模型、四边形对角互补角平分线模型。

第二讲 弦图是证明勾股定理时所构造出来的图形。

本讲将从弦图出发，抽离出相似模型，及通过变形得到的高级相似模型，培养学生利用模型快速解决几何证明题的能力。

第三讲 在熟悉A 字型相似、8字型相似及各自变形的基础上，培养学生从题目中寻找相似基本模型的能力，从而使其能够灵活利用模型来解决几何证明题。

第四讲 中考数学题中，求线段和最大值、线段差最小值的题目出现频率较高。

本讲通过作图，利用轴对称的性质将线段进行转移，利用奶站模型、天桥模型帮助学生找到解题的突破口，提高做题效率。

第五讲 几何题目中经常会出现大角中间夹着一个半角的条件（如90度角，中间夹一个45度角），用来求线段或图形的数量关系。

本讲把这一条件总结为大角夹半角模型，帮助学生从题目特征入手，按照模型不同的特征采取不同的处理方法，快速找到题目的突破口，提升解题的效率。

第六讲 本讲重点讲解根据题目条件，通过构造圆，把问题放到圆的背景下，利用圆的性质解决问题。

培养学生把几何的三大板块：三角形，四边形和圆统一起来解决问题，做到融会贯通。

一、角平分线模型一、 精讲精练【模型一】夹角模型OA 、OC 分别是∠BAC 、∠BCA 的角平分线，则：∠AOC=90°+12∠B ．BP 、CP 分别是∠ABC 、∠ACD 的角平分线，则：∠P=12∠A ．AD 、CD 分别是∠EAC 、∠FCA 的角平分线，图1则： ∠D=90°-12∠B ．1. 如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠A 、∠C 的角平分线AE 、CF 相交于O ．求证：OE ＝OF ．2. （2011湖北黄冈）如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 平分线BP 交于点P ，若∠BPC =40°，则∠CAP =_______________.3. （2011年山东临沂）如图，△ABC 中，AB =AC ，AD 、CD 分别是两个外角的平分线.（1）求证：AC =AD ；（2）若∠B =60°，求证：四边形ABCD 是菱形.FE DC B A【模型二】角平分线加垂直AB ⊥AC ，AB =AC ，CE 是∠ACB 的平分线，BE ⊥CE ，则: BE =12CF ．AC图2O FECBABAN4. （2011大连）在△ABC 中，∠A ＝90°，点D 在线段BC 上，∠EDB ＝12∠C ，BE ⊥DE ，垂足为E ，DE 与AB 相交于点F ． （1）当AB ＝AC 时（如图1），①∠EBF ＝_______°；②探究线段BE 与FD 的数量关系，并加以证明；（2）当AB ＝kAC 时（如图2），求BEFD的值（用含k 的式子表示）．【模型三】角平分线加平行线OP 是∠MON 的角平分线，AB ∥ON ， 则：OA=AB ．5. （2011江苏宿迁）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠ADC 的平分线与∠BCD 的平分线的交点E恰在AB 上．若AD ＝7cm ，BC ＝8cm ，则AB 的长度是 _____cm ．ED CBA6. （2011山东滨州）如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上（端点除外）的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC .设MN 交∠BCA 平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ，连接AE 、AF .那么当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论.【模型四】四边形对角互补模型∠A +∠C =180°，BD 是∠ABC 的平分线， 则:AD =CD ．7. （2011年山东临沂前两问）如图1，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点E 与正方形ABCD 的顶点A 重合，三角板的一边交CD 于点F ，另一边交CB 的延长线于点G .（1）求证：EF =EG ；（2）如图2，移动三角板，使顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线AC 上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．弦图模型。

一、 知识提要图2EABCDFG图1GFD CBE(A )1. 弦图基本模型 模型一：cba模型二：2. 弦图模型之变形二、 专项训练【板块一】弦图基本模型1. 如图，Rt △ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥AC ，垂足为E ，求证：22AC AEBC CE．2. 如图，梯形ABCD 中，AB //DC ，∠B =90°，E 为BC 上一点，且AE ⊥ED ．若BC =12，DC=7，ca bBE：EC=1：2，则AB的长为____________．3.在△ABC中，AB=AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长.【板块二】弦图模型之变形4.（2011乌鲁木齐）如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1，点D为AC边上一点，若∠APD=60°，则CD的长为.5.（2011锦州）如图，四边形ABCD，M为BC边的中点．若∠B=∠AMD=∠C=45°，AB=8，CD=9，则AD的长为（）A．3 B．4 C．5 D．66.（2011荆州）如图，P为线段AB上一点，AD与BC交干E，∠CPD=∠A=∠B，BC交PD于F，AD交PC于G，则图中相似三角形有（）A．1对B．2对C．3对D．4对7.在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点，求证：MC：NC=AP：PB．1111相似基本模型三、知识提要1.相似基本模型1：“A”字型相似及其变形2.相似基本模型2：“8”字型相似及其变形四、专项训练1.四边形EFGH是△ABC内接正方形，BC=21cm，高AD=15cm，则内接正方形边长EF=______.2.如图，在△ABC中，∠AED=∠B，DE=6，AB=10，AE=8，则BC的长度为（）A .B.C.3D .3.如图，直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AD∥BC，BC=CD，E为梯形内一点，且∠BEC=90°，将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连接EF交CD 于M．已知BC=5，CF=3，则DM：MC的值为（）A.5：3B.3：5C.4：3D.3：44.如图，在平行四边形ABCD中，M，N为BD的三等分点，连接CM并延长交AB于E点，连接EN并延长交CD于F点，则DF：AB等于（）A.1：3B.1：4C.2：5D.3：85.如图，半圆O的直径AB=7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD=27，且BD=5，则DE等于_________.6.已知：如图，△ABC中，AE＝CE，BC＝CD，求证：ED＝3EF.7.已知：如图，梯形ABCD中，AB∥DC，E是AB的中点，直线ED分别与对角线AC和BC的延长线交于M、N点，求证：MD：ME＝ND：NE.巧用轴对称解线段和差最值【板块一】线段和最小1. 如图，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD+PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A．B ．C．3 D2. 如图，在五边形ABCDE 中，∠BAE =120°，∠B =∠E =90°，AB =BC ，AE =DE ，在BC ，DE 上分别找一点M ，N ，使得△AMN 周长最小时，则∠AMN + ∠ANM 的度数为（ ）A . 100°B . 110°C . 120°D . 130°N ME D CB A3.如图， 在锐角△ABC 中， AB =，∠BAC =45°,∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M ，N 分别是AD ，AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是___________.MD C BA4.（2011福州）已知，如图，二次函数223(0)y ax ax a a=+-≠图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线:l y x=+.（3）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK的最小值.x5.已知四边形P ABQ在坐标系中的位置如图所示，则当四边形P ABQ的周长最小时，a= ．【板块二】线段差最大CA BE MN 6. （2009四川眉山）如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)． (3)在抛物线的对称轴上找一点M ，使MA MC -的值最大，求出点M 的坐标．大角夹半角模型原题剖析： 如图，已知在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，若有∠EAF =45°，求证：BE +DF =EF ．模型提取：题型对比：1.（2008天津）已知Rt △ABC 中，︒=∠90ACB ，CB CA =，有一个圆心角为︒45，半径的长等于CA 的扇形CEF 绕点C 旋转，且直线CE ，CF 分别与直线AB 交于点M ，N ． （Ⅰ）当扇形CEF 绕点C 在ACB ∠的内部旋转时，如图①，求证：222BN AM MN +=；（Ⅱ）当扇形CEF 绕点C 旋转至图②的位置时，关系式222BN AM MN +=是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．实战训练2. （2010重庆改编）边长为2的等边△ABC 的两边AB 、AC 上有两点M 、N ，D 为△ABC 外一点，且∠MDN =60°，∠BDC =120°，BD =DC . 探究：当M 、N 分别在AB 、AC 上移动时，△AMN 的周长是否为定值？典型特例：3.如图，点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形，且∠APB =120°，CD =3，设AC =x 、BD =y ，求y 关于x 的表达式．4.如图，在△ABC 中，AB =AC =2，∠BAC =20°．动点P 、Q 分别在直线BC 上运动，且始终保持∠P AQ =100°．设BP =x ，CQ =y ， 求y 与x 之间的函数关系式.CABEFMN 图②5.如图，将两个全等的等腰直角三角形ABC与AFG摆放在一起，A为公共端点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC 的交点分别为D、E（D、E不与B、C重合），设BE=m，CD=n.（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一组进行证明；（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量的取值范围．6. 如图，在△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=2，DC=3，求△ABC的面积．四点共圆【板块一】对角互补1.2.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DN⊥AC于N，DM⊥AB于M，求证：∠ANM=∠B．3.如图，在四边形ABCD中，已知∠BAD=60°，∠ABC=90°，∠BCD=120°，对角线AC，BD交于点S，且DS=2SB，P为AC的中点．求证：（1）∠PBD=30°；（2）AD=DC．【板块二】同线段同侧所张的角相等4.如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，A在BC的垂直平分线上，D在AC的垂直平分线上，且∠CAD=∠ABD，则∠ABC+∠ADC=（）A．90°B．120°C．150°D．180°5.6.正方形ABCD的中心为O，面积为1989cm2．P为正方形内一点，且∠OPB=45°，P A：PB=5：14．则PB=_________．7.如图，在△ABC中，已知AD⊥BC，BE⊥AC，AD与BE相交于点H，P为边AB的中点，过点C作CQ⊥PH，垂足为Q，求证：PE2=PH•PQ．8.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．求证：∠CFD=∠CAD．。