必修4《第二章平面向量》单元测试卷（答案）必修4《第二章平面向量》单元测试卷（答案）20 单元测试卷时间：90分钟满分150分班级________ 姓名________ 分数________一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知A(1,2)，B(3,4)，C(－2,2)，D(－3,5)，则向量→(AB)在向量→(CD)上的投影为( )A.5(10)B.5(10)C.5(10)D.5(10)答案：B解析：→(AB)＝(2,2)，→(CD)＝(－1,3)，|→(CD)|＝，→(AB)·→(CD)＝－2＋6＝4，向量→(AB)在向量→(CD)上的投影为|(CD)＝10(4)＝5(10)，故选B.2．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝( )A．5 B．25C. D.答案：A解析：因为|a＋b|＝5，所以a2＋2a·b＋b2＝50，即5＋2×10＋b2＝50，所以|b|＝5.3．已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1，－2)，则c＝( )A．－2(1)a－2(3)b B．－2(1)a＋2(3)bC.2(3)a－2(1)b D．－2(3)a＋2(1)b答案：D4．若非零向量a，b满足|a－b|＝|b|，则( )A．|2b|＞|a－2b| B．|2b|＜|a－2b|C．|2a|＞|2a－b| D．|2a|＜|2a－b|答案：A5．已知平面上不共线的四点O、A、B、C.若→(OA)－4→(OB)＋3→(OC)＝0，则|(CB)＝( )A.3(1)B.2(1)C．2 D．3答案：D解析：∵→(OA)－4→(OB)＋3→(OC)＝0，∴(→(OA)－→(OB))－3→(OB)＋3→(OC)＝0，即→(OA)－→(OB)＝3(→(OB)－→(OC))，∴→(BA)＝3→(CB)，∴|(CB)＝3.6．在△ABC中，若|→(AB)|＝1，|→(AC)|＝，|→(AB)＋→(AC)|＝|→(BC)|，则|(BC)＝( )A．－2(3) B．－2(1)C.2(1)D.2(3)答案：B解析：由向量的平行四边形法则，知当|→(AB)＋→(AC)|＝|→(BC)|时，∠A＝90°.又|→(AB)|＝1，|→(AC)|＝，故∠B＝60°，∠C＝30°，|→(BC)|＝2，所以|(BC)＝|(BC)＝－2(1).7．已知a＝(3,4)，b＝(－1,2m)，c＝(m，－4)，满足c⊥(a＋b)，则m＝( )A．－3(8) B.3(8)C.3(4) D．－3(4)答案：A解析：a＋b＝(2,4＋2m)，c⊥(a＋b)⇒c·(a＋b)＝(m，－4)·(2,4＋2m)＝2m－4(4＋2m)＝0，解得m＝－3(8).8．已知平面向量a＝(1，)，|a－b|＝1，则|b|的取值范围是( )A．[0,1] B．[1,3]C．[2,4] D．[3,4]答案：B解析：由于＝1，所以向量b对应的点在以(1，)为圆心，1为半径的圆上，由于圆心到原点的距离为2，所以的取值范围是[1,3]．9．已知向量→(OA)＝(2,2)，→(OB)＝(4,1)，在x轴上的一点P使→(AP)·→(BP)取得最小值，则点P的坐标为( )A．(3,0) B．(－3,0)C．(2,0) D．(4,0)答案：A解析：设P(x,0)，则→(AP)＝(x－2，－2)，→(BP)＝(x－4，－1)，∴→(AP)·→(BP)＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，∴当x＝3时，→(AP)·→(BP)取得最小值，此时P(3,0)．10．已知O是三角形ABC所在平面内一点，且满足→(BA)·→(OA)＋|→(BC)|2＝→(AB)·→(OB)＋|→(AC)|2，则O点( )A．在过点C且垂直于AB的直线上B．在∠C平分线所在的直线上C．在AB边中线所在的直线上D．是△ABC的外心答案：A解析：由题意有→(AB)·→(OB)＋→(AB)·→(OA)＋→(CA)2－→(CB)2＝0.即→(AB)·→(OB)＋→(AB)·→(OA)＋(→(CA)－→(CB))·(→(CA)＋→(CB))＝→(AB)·(→(OA)＋→(OB)－→(CO)－→(OA)－→(CO)－→(OB))＝－2→(AB)·→(OC)＝0，所以→(OC)⊥→(AB).二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上．11．若向量→(OA)＝(1，－3)，|→(OB)|＝|→(OA)|，→(OA)·→(OB)＝0，则|→(AB)|＝________.答案：2解析：因为|→(AB)|2＝|→(OB)－→(OA)|2＝|→(OB)|2＋|→(OA)|2－2→(OA)·→(OB)＝10＋10－0＝20，所以|→(AB)|＝＝2.12．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，a＋b＝(，1)，则向量a＋b与向量a－b 的夹角是________．答案：3(2π)解析：因为|a－b|2＋|a＋b|2＝2|a|2＋2|b|2，所以|a－b|2＝2|a|2＋2|b|2－|a＋b|2＝2＋6－4＝4，故|a－b|＝2，因为cos〈a－b，a＋b〉＝|a－b|·|a＋b|((a－b)·(a ＋b))＝4(1－3)＝－2(1)，故所求夹角是3(2π).13．已知在△ABC中，向量→(AB)与→(BC)的夹角为6(5π)，|→(AC)|＝2，则|→(AB)|的取值范围是________．答案：(0,4]解析：∵|→(AC)|＝|→(AB)＋→(BC)|＝6(5π)，∴|→(AB)|2＋|→(BC)|2－|→(AB)||→(BC)|＝4，把|→(BC)|看作未知量，得到一个一元二次方程|→(BC)|2－|→(AB)||→(BC)|＋(|AB|2－4)＝0，这个方程的判别式Δ＝(－|→(AB)|)2－4(|→(AB)|2－4)＝16－|→(AB)|2≥0，∴－4≤|→(AB)|≤4，根据实际意义，知0 |→(AB)|≤4.14．已经△ABC为等边三角形，AB＝2，设点P，Q满足→(AP)＝λ→(AB)，→(AQ)＝(1－λ)→(AC)，λ∈R，若→(BQ)·→(CP)＝－2(3)，则λ＝__________.答案：2(1)解析：→(AB)·→(AC)＝→(AB)·→(AC)cos3(π)＝2，→(BQ)＝→(AQ)－→(AB)＝(1－λ)→(AC)－→(AB)，同理→(CP)＝λ→(AB)－→(AC)，则→(BQ)·→(CP)＝(1－λ)λ→(AC)·→(AB)－(1－λ)→(AC)2－λ→(AB)2＋→(AB)·→(AC)＝2λ(1－λ)－4(1－λ)－4λ＋2＝－2λ2＋2λ－2＝－2(3)，解得λ＝2(1).15．如图，在正方形ABCD中，已知AB＝2，M为BC的中点，若N为正方形内(含边界)任意一点，则→(AM)·→(AN)的最大值为__________．答案：6解析：以AB，AD所在的直线为坐标轴建立坐标系，则M(2,1)，A(0,0)，设N(x，y)，则0≤x≤2,0≤y≤2，因此→(AM)·→(AN)＝2x＋y，因此，当x＝2，y＝2时，有最大值6.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．(12分)已知A、B、C三点的坐标分别为(－2，1)、(2，－1)、(0,1)，且→(CP)＝3→(CA)，→(CQ)＝2→(CB)，求点P、Q和向量→(PQ)的坐标．解：因为A、B、C三点的坐标分别为(－2,1)、(2，－1)、(0,1)，所以→(CA)＝(－2,0)，→(CB)＝(2，－2)，所以→(CP)＝3→(CA)＝(－6,0)，→(CQ)＝2→(CB)＝(4，－4)，设P(x，y)，则有→(CP)＝(x，y－1)，所以y－1＝0，(x＝－6，)解得y＝1，(x ＝－6，)即P点的坐标为(－6,1)，同理可得Q(4，－3)，因此向量→(PQ)＝(10，－4)．17．(12分)已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.(1)求a·b及|a＋b|的值；(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)?解：(1)a·b＝|a||b|cos120°＝－16，|a＋b|＝(2)由题意，知(a＋2b)·(ka－b)＝ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即16k－16(2k－1)－2×64＝0，解得k＝－7.18．(12分)如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且→(OP)＝x→(OA)＋y→(OB).(1)若→(AP)＝→(PB)，求x，y的值；(2)若→(AP)＝3→(PB)，|→(OA)|＝4，|→(OB)|＝2，且→(OA)与→(OB)的夹角为60°，求→(OP)·→(AB)的值．解析：(1)若→(AP)＝→(PB)，则→(OP)＝2(1)→(OA)＋2(1)→(OB)，故x＝y＝2(1).(2)若→(AP)＝3→(PB)，则→(OP)＝4(1)→(OA)＋4(3)→(OB)，→(OP)·→(AB)＝→(OB)·(→(OB)－→(OA))＝－4(1)→(OA)2－2(1)→(OA)·→(OB)＋4(3)→(OB)2＝－4(1)×42－2(1)×4×2×cos60°＋4(3)×22＝－3.19．(12分)△ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且3→(OA)＋4→(OB)＋5→(OC)＝0.(1)求数量积→(OA)·→(OB)，→(OB)·→(OC)，→(OC)·→(OA)；(2)求△ABC的面积．解析：(1)∵3→(OA)＋4→(OB)＋5→(OC)＝0.∴3→(OA)＋4→(OB)＝0－5→(OC)，即(3→(OA)＋4→(OB))2＝(0－5→(OC))2.可得9→(OA)2＋24→(OA)·→(OB)＋16→(OB)2＝25→(OC)2.又∵|OA|＝|OB|＝|OC|＝1.∴→(OA)2＝→(OB)2＝→(OC)2＝1，∴→(OA)·→(OB)＝0.(2)S△ABC＝S△OAB＋S△OBC＋S△OAC＝2(1)|→(OA)|·|→(OB)|·sin∠AOB＋2(1)|→(OB)|·|→(OC)|sin∠BOC＋2(1)|→(OC)|·|→(OA)|·sin∠AOC.又|OA|＝|OB|＝|OC|＝1.∴S△ABC＝2(1)(sin∠AOB＋sin∠BOC＋sin∠AOC)．由(1)→(OA)·→(OB)＝|→(OA)|·|→(OB)|·cos∠AOB＝cos∠AOB＝0，得sin∠AOB ＝1.→(OB)·→(OC)＝|→(OB)|·|→(OC)|·cos∠BOC＝cos∠BOC＝－5(4)，∴sin∠BOC＝5(3)，同理sin∠AOC＝5(4).∴S△ABC＝5(6).20．(13分)以某市人民广场的中心为原点建立平面直角坐标系，x轴的正方向指向东，y轴的正方向指向北．一个单位长度表示实际路程100 m，一人步行从广场入口处A(2,0)出发，始终沿一个方向匀速前进，6 min时路过少年宫C,10 min后到达科技馆B(－3,5)．(1)求此人的位移(说明此人行走的距离和方向)及此人行走的速度v(用坐标表示)；(2)求少年宫C点相对于广场中心所在的位置．(参考数据：tan18°26′＝3(1))．解析：(1)依题意知→(AB)＝(－3,5)－(2,0)＝(－5,5)，|→(AB)|＝＝5，∠xAB＝135°.∴此人沿北偏西45°方向走了500 m.∵当t＝6(1) h时，此人所走的实际距离s＝|→(AB)|×100＝500(m)，∴|v|＝t(s)＝3000 m/h∴vx＝|v|cos135°＝－3000(m/h)，vy＝|v|sin135°＝3000(m/h)，又一个单位长度表示实际路程100 m，∴v＝(－30,30)．(2)∵→(AC)＝10(6)→(AB)＝5(3)→(AB)，→(OC)＝→(OA)＋→(AC)＝(2,0)＋5(3)(－5,5)＝(－1,3)，∴|→(OC)|＝，又tan∠COy＝3(1)，∴∠COy＝18°26′.即少年宫C位于距离广场中心100 m，且在北偏西18°26′处．21．(14分)在平面直角坐标系中，已知三点A(4,0)，B(t,2)，C(6，t)，t∈R，O 为坐标原点．(1)若△ABC是直角三角形，求t的值；(2)若四边形ABCD是平行四边形，求|→(OD)|的最小值．解析：(1)由题意得→(AB)＝(t－4,2)，→(AC)＝(2，t)，→(BC)＝(6－t，t－2)，若∠A＝90°，则→(AB)·→(AC)＝0，即2(t－4)＋2t＝0，∴t＝2；若∠B＝90°，则→(AB)·→(BC)＝0，即(t－4)(6－t)＋2(t－2)＝0，∴t＝6±2；若∠C＝90°，则→(AC)·→(BC)＝0，即2(6－t)＋t(t－2)＝0，无解，∴满足条件的t的值为2或6±2.(2)若四边形ABCD是平行四边形，则→(AD)＝→(BC)，设点D的坐标为(x，y)，即(x－4，y)＝(6－t，t－2)，∴y＝t－2(x＝10－t)，即D(10－t，t－2)，∴当t＝6时，|→(OD)|取得最小值4.备注：以下内容仅显示部分，需完整版请下载！。