2019年百所名校高考模拟试卷文科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}24A x x =∈-<<N ，1242x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则AB =（ ）A ．{}12 x x -≤≤B ．{}1,0,1,2-C ．{}1,2D ．{}0,1,2【答案】D【解析】因为{}24A x x =∈-<<N ，所以{}0,1,2,3A =， 因为1242x ≤≤，所以12x -≤≤，因此{}0,1,2A B =，故选D ．2．已知i 为虚数单位，若复数1i1it z -=+在复平面内对应的点在第四象限，则t 的取值范围为（ ） A ．[]1,1- B ．()1,1- C ．(),1-∞- D ．()1,+∞【答案】B【解析】()()()()()1i 1i 11i 1i 11i 1i 1i 1i 222t t t t t t z ----+--+====-++-，z 在第四象限102102tt -⎧>⎪⎪∴⎨+⎪-<⎪⎩，得11t -<<，即t 的取值范围为()1,1-，故选B ．3．下列函数中，与函数3y x =的单调性和奇偶性一致的函数是（ ）A ．y x =B ．tan y x =C ．1y x x=+D ．e e x x y -=-【答案】D【解析】函数3y x =即是奇函数也是R 上的增函数，对照各选项：y x =为非奇非偶函数，排除A ；tan y x =为奇函数，但不是R 上的增函数，排除B ；1y x x=+为奇函数，但不是R 上的增函数，排除C ； e e x x y -=-为奇函数，且是R 上的增函数，故选D ．4．已知双曲线221:143x y C -=与双曲线222:143x y C -=-，给出下列说法，其中错误的是（ ）A ．它们的焦距相等B ．它们的焦点在同一个圆上C ．它们的渐近线方程相同D ．它们的离心率相等【答案】D【解析】由两双曲线的方程可得1C ，2C 的半焦距c 相等，它们的渐近线方程相同，1C ，2C 的焦点均在以原点为圆心，c 为半径的圆上，离心率不相等，故选D ．5．某学校上午安排上四节课，每节课时间为40分钟，第一节课上课时间为8:00~8:40，课间休息10分钟．某学生因故迟到，若他在9:10~10:00之间到达教室，则他听第二节课的时间不少于10分钟的概率为（ ）A ．15B ．310C ．25D ．45【答案】A【解析】由题意知第二节课的上课时间为8:509:30~，该学生到达教室的时间总长度为50分钟，其中在9:109:20~进入教室时，听第二节的时间不少于10分钟，其时间长度为10分钟，故所求的概率101505=，故选A ． 6．若倾斜角为α的直线错误!未找到引用源。

与曲线4y x =相切于点()1,1，则2cos sin 2αα-的值为（ ）A ．12-B ．1C ．35-D ．717-【答案】D【解析】3'4y x =，当1x =时，'4y =时，则tan 4α=，所以22222cos 2sin cos 12tan 7cos sin 217cos sin 1tan ααααααααα---===-++，故选D ． 7．在等比数列{}n a 中，“4a ，12a 是方程2310x x ++=的两根”是“81a =±”的（ ）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由韦达定理知4123a a +=-，4121a a =，则40a <，120a <，则等比数列中4840a a q =<，则84121a a a =-=-．在常数列1n a =或1n a =-中，4a ，12a 不是所给方程的两根．则在等比数列{}n a 中，“4a ，12a 是方程2310x x ++=的两根”是“81a =±”的充分不必要条件．故本题答案选A ． 8．执行如图的程序框图，则输出的S 值为（ ）A ．1009B ．1009-C ．1007-D ．1008【答案】B【解析】由程序框图则0,1S n ==；1,2S n ==；12,3S n =-=；123,4S n =-+=， 由S 规律知输出123456...20152016201720181009S =-+-+-++-+-=-． 故本题答案选B ．9．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．163π+ B ．112π+ C ．1123π+ D ．143π+ 【答案】C【解析】观察三视图可知，几何体是一个圆锥的14与三棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为1，高为1．三棱锥的底面是两直角边分别为1，2的直角三角形，高为1．则几何体的体积21111π1π111213432123V =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+．故本题答案选C ．10．已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕ=+>><π的部分图象如图所示，则函数()()cos g x A x ϕω=+图象的一个对称中心可能为（ ）A ．5,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,06⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．09,6⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由图象最高点与最低点的纵坐标知23A =，又()6282T =--=，即2πT=16ω=， 所以π8ω=．则()π23sin 8f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，图象过点()2,23-，则πsin 14ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即π2π42k ϕπ+=-+，所以3π2π4k ϕ=-+，又ϕ<π，则3π4ϕ=-． 故()3ππ23cos 48g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令3ππππ482x k -+=+，得4231x k =--，令0k =，可得其中一个对称中心为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭．故本题答案选C ．11．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A ．)0,02a bab a b +≥>> B ．)2220,0a b ab a b +≥>> C ．)20,0ab ab a b a b ≤>>+D ．)220,022a b a b a b ++≤>> 【答案】D【解析】令AC a =，BC b =，可得圆O 的半径2a br +=， 又22a b a b OC OB BC b +-=-=-=，则()()2222222442a b a b a b FC OC OF -++=+=+=，再根据题图知FO FC ≤，即2222a b a b ++≤D ．12．已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A BCD -的外接球，3BC =，23AB =，点E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作圆O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ） A ．[],4ππ B ．[]2,4ππC ．[]3,4ππD ．(]0,4π【答案】B 【解析】如图，设BCD △的中心为1O ，球O 的半径为R ，连接1O D ，OD ，1O E ，OE ， 易求得123sin 6033O D =︒⨯=，则22113AO AD DO =-=． 在1Rt OO D △中，由勾股定理，()2233R R =+-，解得2R =， 由3BD BE =，知1O E BC ∥，223DE DB ==，所以22111O E DE DO =-=，22112OE O E OO ∴=+=，当过点E 的截距与OE 垂直时，截面圆的面积最小，此时截面圆的半径22R 2r OE =-=，此时截面圆的面积为2π；当过点E 的截面过球心时，截面圆的面积最大，此时截面圆的面积为4π，故选B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知()1,λ=a ，()2,1=b ，若向量2+a b 与()8,6=c 共线，则a 在b 方向上的投影为__________． 【答案】355【解析】()24,21λ+=+a b ，由向量2+a b 与()8,6=c 共线，得()248210λ-+=， 解得1λ=，则2=a ，设θ为a ，b 的夹角，3310cos 1025θ⋅===⋅⋅a b a b ，31035cos 2105θ⋅=⨯=a ，故答案为355． 14．已知实数x ，y 满足不等式组2025020x y x y y --≤+-≥-≤⎧⎪⎨⎪⎩，目标函数422log log z y x =-，则z 的最大值为__________． 【答案】1 【解析】不等式组所表示的平面区域如图中的阴影部分所示，422222log log log log log y z y x y x x=-=-=，故当yt x=取最大值时，z 取最大值．由图可知，当1x =，2y =时，t 取最大值2，此时z 取最大值1，故答案为1．15．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos c B -是cos b B 与cos aA的等差中项且8a =，ABC △的面积为43b c +的值为__________． 【答案】45【解析】由cos c B -是cos b B 以cos a A的等差中项，得2cos cos cos c b aB B A -=+．由正弦定理， 得sin sin 2sin cos cos cos B A CB A B+=-，()sin 2sin cos cos cos A B C B A B +-∴=，由()sin sin A B C +=，cos cos 0B A ≠， 所以1cos 2A =-，23A π∴=．由1sin 432ABC S bc A ==△，得16bc =．由余弦定理，得()22222cos a b c bc A b c bc =+-=+-，即()26416b c =+-，45b c ∴+=45 16．已知抛物线2:4C y x =的焦点是F ，直线1:1l y x =-交抛物线于A ，B 两点，分别从A ，B 两点向直线2:2l x =-作垂线，垂足是D ，C ，则四边形ABCD 的周长为__________． 【答案】1842+【解析】由题知，2p =，()1,0F ，准线l 的方程是1x =-．设()11,A x y ，()22,B x y ，由214y x y x =-=⎧⎪⎨⎪⎩，消去y ，得2610x x -+=．因为直线1l 经过焦点()1,0F ，所以128AB x x p =++=．由抛物线上的点的几何特征知210AD BC AB +=+=，因为直线1l 的倾斜角是4π，所以2sin84242CD AB π==⨯=，所以四边形ABCD 的周长是108421842AD BC AB CD +++=++=+，故答案为1842+．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数()()2102f x x mx m =+>，数列{}n a 的前n 项和n S ．点(),n n S 在()f x 图像上，且()f x 的最小值为18-．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 满足()()122121nnn a n a a b +=--，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：1n T <．【答案】（1）n a n =；（2）见解析．【解析】（1）()()22122m f x x m =+-，故()f x 的最小值为2128m -=-，又0m >，所以12m =，即21122n S n n =+，所以当2n ≥时，1n n n a S S n -=-=；当1n =时，11a =也适合上式， 所以数列{}n a 的通项公式为n a n =． （2）证明：由（1）知()()1121121212121nnn a n n n a a b ++==-----， 所以1111111111337212121n n n n T ++=-+-++-=----，所以1n T <． 18．（12分）如图，点C 在以AB 为直径的圆O 上，PA 垂直与圆O 所在平面，G 为AOC △的垂心． （1）求证：平面OPG ⊥平面PAC ；（2）若22PA AB AC ===，点Q 在线段PA 上，且2PQ QA =，求三棱锥P QGC -的体积．【答案】（1）见解析；（2）327． 【解析】（1）如图，延长OG 交AC 于点M ．因为G 为AOC △的重心， 所以M 为AC 的中点．因为O 为AB 的中点，所以OM BC ∥． 因为AB 是圆O 的直径，所以BC AC ⊥，所以OM AC ⊥．因为PA ⊥平面ABC ，OM ⊂平面ABC ，所以PA OM ⊥． 又PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，PA AC A =，所以OM ⊥平面PAC ，即OG ⊥平面PAC ．又OG ⊂平面OPG ，所以平面OPG ⊥平面PAC ．（2）解：由（1）知OM ⊥平面PAC ， 所以GM 就是点G 到平面PAC 的距离．由已知可得，1OA OC AC ===，所以AOC △为正三角形， 所以32OM =．又点G 为AOC △的重心， 所以1336GM OM ==．故点G 到平面PQC 的距离为36． 所以11221332133392627P QGC G PQC PQC PAC V V S GM S GM --==⋅=⨯⋅=⨯⨯⨯⨯=△△． 19．（12分）2017高考特别强调了要增加对数学文化的考查，为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（文、理科试卷满分均为100分），并对整个高三年级的学生进行了测试．现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为[)50,60，[)60,70，，[]90,100分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）．（1）求频率分布直方图中的x 的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）若高三年级共有2000名学生，试估计高三学生中这次测试成绩不低于70分的人数； （3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有1人被抽到的概率．【答案】（1）0.02，74，1733；（2）1200；（3）1920．【解析】（1）由频率分布直方图可得第4组的频率为10.10.30.30.10.2----=， 故0.02x =．故可估计所抽取的50名学生成绩的平均数为()550.01650.03750.03850.02950.011074⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=（分）． 由于前两组的频率之和为0.10.30.4+=，前三组的频率之和为0.10.30.30.7++=， 故中位数在第3组中． 设中位数为t 分，则有()700.030.1t -⨯=，所以1733t =，即所求的中位数为1733分．（2）由（1）可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为0.30.20.10.6++=，由以上样本的频率，可以估计高三年级2000名学生中成绩不低于70分的人数为20000.61200⨯=． （3）由（1）可知，后三组中的人数分别为15，10，5，故这三组中所抽取的人数分别为3，2，1． 记成绩在[)70,80这组的3名学生分别为a ，b ，c ，成绩在[)80,90这组的2名学生分别为d ，e ， 成绩在[]90,100这组的1名学生为f ，则从中任抽取3人的所有可能结果为(),,a b c ，(),,a b d ，(),,a b e ，(),,a b f ，(),,a c d ，(),,a c e ，(),,a c f ，(),,a d e ，(),,a d f ，(),,a e f ，(),,b c d ，(),,b c e ，(),,b c f ，(),,b d e ，(),,b d f ，(),,b e f ，(),,c d e ，(),,c d f ，(),,c e f ，(),,d e f 共20种．其中后两组中没有人被抽到的可能结果为(),,a b c ，只有1种， 故后两组中至少有1人被抽到的概率为11912020P =-=． 20．（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的长轴长为C 与圆()221:12M x y -+=（1）求椭圆C 的方程．（2）经过原点作直线l （不与坐标轴重合）交椭圆于A ，B 两点，AD x ⊥轴于点D ，点E 在椭圆C 上，且()()0AB EB DB AD -⋅+=，求证：B ，D ，E 三点共线． 【答案】（1）2212x y +=；（2）见解析．【解析】（1）由题意得2a =a = 由椭圆C 与圆M ：()22112x y -+=其长度等于圆M 的直径， 可得椭圆C经过点1,⎛ ⎝⎭， 所以211212b +=，解得1b =． 所以椭圆C 的方程为2212x y +=．（2）证明：设()11,A x y ，()22,E x y ，则()11,B x y --，()1,0D x ．因为点A ，E 都在椭圆C 上，所以221122222222x y x y +=+⎧⎪⎨⎪⎩=，所以()()()()1212121220x x x x y y y y -++-+=， 即()121212122y y x xx x y y -+=--+． 又()()0AB EB DB AD AE AB -⋅+=⋅=， 所以1AB AE k k ⋅=-，即1121121y y y x x x -⋅=--， 所以()11211212y x x x y y +⋅=+，所以()1211122y y yx x x +=+，又1211212121121202BE BD y y y y y y y k k x x x x x x x +++-=-=-=+++，所以BE BD k k =， 所以B ，D ，E 三点共线．21．（12分）已知函数()2ln f x m x x =-，()233x e g x x -=（m ∈R ，e 为自然对数的底数） （1）试讨论函数()f x 的极值情况；（2）当1m >且0x >时，总有()()3'0g x f x +>，【答案】（1）当0m ≤时，()f x 无极值；当0m >时，极大值为()()22ln 22f m m m m =-，()f x 无极小值；（2）见解析．【解析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()22'1m x mf x x x-=-=-①当0m ≤时，()'0f x <，故()f x 在()0,+∞内单调递减．()f x 无极值； ②当0m >时，令()'0f x >，得02x m <<，令()'0f x <，得2x m >，故()f x 在2x m =处取得极大值，且极大值为()()22ln 22f m m m m =-，()f x 无极小值．（2）当0x >时，()()223363'0303e 3630x x e mg x f x x mx x x -+>⇔+->⇔-+->， 设函数()23e 363x u x x mx =-+-，则()()'3e 22x u x x m =-+，记()e 22xv x x m =-+，则()'e 2xv x =-，当x 变化时，()'v x ，()v x 的变化情况如下表：由上表可知()()ln 2v x v ≥，而()()ln 2ln 2e 2ln 2222ln 222ln 21v m m m =-+=-+=-+，由1m >，知ln21m >-， 所以()ln 20v >，所以()0v x >，即()'0u x >，所以()u x 在()0,+∞内为单调递增函数．所以当0x >时，()()00u x u >=， 即1m >当且0x >时，23e 3630xx mx -+->， 所以1m >当且0x >时，总有()()3'0g x f x +>．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知直线l的参数方程为42x y ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 与圆C 交于A ，B 两点． （1）求圆C 的直角坐标方程及弦AB 的长；（2）动点P 在圆C 上（不与A ，B 重合），试求ABP △的面积的最大值． 【答案】（1）圆()22:24C xy -+=，（2）2+【解析】（1）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，所以2240x y x +-=，所以圆C 的直角坐标方程为()2224x y -+=，将直线错误!未找到引用源。