3/2u 90θ=︒/2u OBarctan βμ=ββA2014年——2015年高一物理竞赛阶段测试二 姓名： 得分：1、如图，一根轻杆两端各固定了一个质点，质量均为m 。

在杆上钉一个钉子，使得杆可以绕着钉子转动。

钉子到两端距离分别为l 1和l 2。

轻轻敲一下杆，值得其做小角度来回摆动。

你可能不知这样的摆的振动周期，但是你可以对周期的形式有一个估计。

以下四个答案中正确的是哪一个（）2、一个质量为 m 质点，连在劲度系数k 的弹簧上，沿着弹簧方向做简谐振动。

将弹簧原长位置记为原点，即 x = 0 。

在任意一个时刻，可以记录物体的位移 x 和速度 v ，以 x 为横轴，以 v 为纵轴，可以把质点的状态对应到平面的一个点上。

随着时间推移，这个点也会移动。

以下说法正确的是（ ）A ．在A 点的时候质点受到的合外力为0B ．可以通过能量守恒知道，这个图形是椭圆C ．这个点随着时间推移，会沿着 A →B →C →D →A 的顺序移动m D ．图形中 BD 与 AC 的比值为3、在一根长的水平杆上穿着5个质量相同的珠子，珠子可以在水平杆上无摩擦地运动。

初始时若各个珠子可以有任意的速度大小和方向，则它们之间最多可以碰撞（ ）次。

A ．4 B ．5 C ．8 D ．104、如图一个倾斜角为30θ=︒的斜面上，有一个质量为m 半径为r 的匀质圆筒，圆筒与斜面之间的摩擦系数为3/3μ=。

一根长为r 的轻木棒一端铰接在距离圆心3r 处的A 点，另一端通过一块橡皮支撑在斜坡上。

（1） 若橡皮于斜坡之间摩擦系数足够大，则OA 与竖直方向夹角处于什么范围，才能保持系统静止。

（2） 若要求OA 与竖直方向夹角取到上一问的所有取值，则橡皮于斜坡之间摩擦系数'μ至少为多少？5、质量为M 、半径为R 的匀质水平圆盘静止在水平地面上，盘与地面间无摩擦。

圆盘中心处有一只质量为 m 的小青蛙(可处理成质点)，小青蛙将从静止跳出圆盘。

为解答表述一致，将青蛙跳起后瞬间相对地面的水平分速度记为 v x ，竖直向上的分速度记为 v y ，合成的初始速度大小记为 v ，将圆盘后退的速度记为 u 。

(1)设青蛙跳起后落地点在落地时的圆盘外。

(1.1)对给定的 v x ，可取不同的 v y ，试导出跳起过程中青蛙所做功 W 的取值范围，答案中可包含的参量为 M 、R 、m 、g(重力加速度)和 v x 。

(1.2)将(1.1)问所得 W 取值范围的下限记为 W 0，不同的 v x 对应不同的 W 0值，试导出其中最小者 W min ，答案中可包含的参量为 M 、R 、m 和 g 。

(2)如果在原圆盘边紧挨着放另外一个相同的静止空圆盘，青蛙从原圆盘中心跳起后瞬间，相对地面速度的方向与水平方向夹角为 45°，青蛙跳起后恰好能落在空圆盘的中心。

跳起过程中青蛙所作功记为 W ’，试求 W ’与(1.2)问所得 W min 间的比值 γ=W‘/W min ，答案中可包含的参量为 M 和 m 。

6、如大家所知，海洋的潮汐基本上来自月球的引力作用，而在较小一些的程度上也来自太阳的引力作用。

为使问题简化，作如下假设: a)地球和月球组成1个封闭系统； b)月球到地球的距离为l 个常量； c)地球完全由海洋覆盖； d)不计地球的自转。

l 、试求月球在地球上任意位置对单位质量的海水产生的潮沙力。

设月球质量为M ，地月中心间距离为r ，万有引力常量为G ，地球半径为R 。

2、求地球上任意位置处的水位变化h(θ)7、如图有两根光滑的固定细杆，方向水平夹角均为30︒，斜向下。

初始时刻有两个质量为m 的小圆AB 环套在杆上，距离O 均为l 。

用根长度为l 的不可伸长的细线把A 和B 都系在一个质量为2m 的质点C 上。

重力加速度竖直向下为g 。

（1） 初态三个ABC 静止释放，求释放瞬间绳AC 上的张力。

（2） 初态三个物体静止，给C 一个向下的冲量J ，使得C 的速度变为0v 。

求J ，并求此后瞬间绳子拉力T 。

8、一个质量为m 的宇宙飞船在太阳风中行驶，风速为3/2u 。

初始时刻风速和飞船速度相对惯性系S 3u 的时候，飞船发动机推力恒定为F ，否则发动机推力恒定为2F 。

飞船可以向任意方向加速，要求飞船达到末状态为：相对于太阳风，速度为2u ，方向垂直于风速向上。

（1） 以风速为参照系，x v 和y v 为坐标轴（原风速方向沿x v 方向），画出飞船初态、末态速度的位置，标记出飞船受力为F 的范围。

（2） 求到达末态所需要的最小时间，并在上图中标记历经的状态。

9、如图所示，在一个光滑的底面积为21dm S =高为0.2m H =的固定圆柱形容器内，有一个可以自由上下滑动活塞（活塞下方于大气联通），活塞质量为0 1.0kg m =，活塞下方用一根劲度系数为200N/m k =，原长为00.3m l =的轻质弹簧连接到容器底。

初始时刻活塞位于距离底面0.1m h =高的位置，上方盛满方有密度为33110kg/m ρ=⨯的水，用手拉住保持活塞静止然后释放。

假设水一旦满出容器就立刻流走，不再对下方的活塞和水有作用力。

（1） 求释放活塞上升最大位移（2） 求从释放到活塞运动到最高点所需时间。

10、如图91a 所示,均质角尺AB=BC=l ，各段质量均为M ，平放于光滑的水平面上，一质量为m 的小球以v o 的速度沿水平面运动，且v o ⊥AB ，并与AB 的中点D 相碰，恢复系数e=0.5。

试求质量比M/m 为何值时，小球能恰好与角尺的C 端相碰。

如图，一根轻杆两端各固定了一个质点，质量均为m 。

在杆上钉一个钉子，使得杆可以绕着钉子转动。

钉子到两端距离分别为l 1和l 2。

轻轻敲一下杆，值得其做小角度来回摆动。

你可能不知这样的摆的振动周期，但是你可以对周期的形式有一个估计。

以下四个答案中正确的是哪一个（）一个质量为 m 质点，连在劲度系数k 的弹簧上，沿着弹簧方向做简谐振动。

将弹簧原长位置记为原点，即 x = 0 。

在任意一个时刻，可以记录物体的位移 x 和速度 v ，以 x 为横轴，以 v 为纵轴，可以把质点的状态对应到平面的一个点上。

随着时间推移，这个点也会移动。

以下说法正确的是（）A ．在A 点的时候质点受到的合外力为0B ．可以通过能量守恒知道，这个图形是椭圆C ．这个点随着时间推移，会沿着 A →B →C →D →A 的顺序移动mD ．图形中 BD 与 AC 的比值为在一根长的水平杆上穿着5个质量相同的珠子，珠子可以在水平杆上无摩擦地运动。

初始时若各个珠子可以有任意的速度大小和方向，则它们之间最多可以碰撞 次。

A ．4B ．5C ．8D ．10质量为 M 、半径为 R 的匀质水平圆盘静止在水平地面上，盘与地面间无摩擦。

圆盘中心处有一只质量为 m 的小青蛙(可处理成质点)，小青蛙将从静止跳出圆盘。

为解答表述一致，将青蛙跳起后瞬间相对地面的水平分速度记为 v x ，竖直向上的分速度记为 v y ，合成的初始速度大小记为 v ，将圆盘后退的速度记为 u 。

(1)设青蛙跳起后落地点在落地时的圆盘外。

(1.1)对给定的 v x ，可取不同的 v y ，试导出跳起过程中青蛙所做功 W 的取值范围，答案中可包含的参量为 M 、R 、m 、g(重力加速度)和 v x 。

(1.2)将(1.1)问所得 W 取值范围的下限记为 W 0，不同的 v x 对应不同的 W 0值，试导出其中最小者W min ，答案中可包含的参量为M 、R 、m 和g 。

(2)如果在原圆盘边紧挨着放另外一个相同的静止空圆盘，青蛙从原圆盘中心跳起后瞬间，相对地面速度的方向与水平方向夹角为 45°，青蛙跳起后恰好能落在空圆盘的中心。

跳起过程中青蛙所作功记为 W ’，试求 W ’与(1.2)问所得 W min 间的比值 γ=W‘/W min ，答案中可包含的参量为 M 和 m 。

如大家所知，海洋的潮汐基本上来自月球的引力作用，而在较小一些的程度上也来自太阳的引力作用。

为使问题简化，作如下假设: a)地球和月球组成1个封闭系统； b)月球到地球的距离为l 个常量； c)地球完全由海洋覆盖； d)不计地球的自转。

l 、试求月球在地球上任意位置对单位质量的海水产生的潮沙力。

设月球质量为M ，地月中心间距离为r ，万有引力常量为G ，地球半径为R 。

2、求地球上任意位置处的水位变化h(θ)如图一个倾斜角为30θ=︒的斜面上，有一个质量为m 半径为r 的匀质圆筒，圆筒与斜面之间的摩擦系数为3/3μ=。

一根长为r 的轻木棒一端铰接在距离圆心33r 处的A 点，另一端通过一块橡皮支撑在斜坡上。

（3） 若橡皮于斜坡之间摩擦系数足够大，则OA 与竖直方向夹角处于什么范围，才能保持系统静止。

（4） 若要求OA 与竖直方向夹角取到上一问的所有取值，则橡皮于斜坡之间摩擦系数'μ至少为多少？【解答】(1)由于AB 是轻杆，只在两端点受力，所以AB 对球作用力沿杆方向。

（1分）由于球不滑动，所以斜坡对球的支持力和摩擦力的合力与法向（垂直于斜面方向）不大于arctan 30βμ==︒ （2分）由于球是力矩平衡的，所以支持力摩擦力合力、重力、杆对球的支持力三力交与一点。

这样AB 的于过O 点的重力所在的线的交点只能位于左图中红色阴影区域。

（3分）情景一 交点在下端点处。

由平面几何可知这时候A 恰好位于重力线和支持力摩擦力合力所在直线的交点处（因为HOA V 中恰好30OHA HOA ∠=∠=︒，这样使得3OA r =） 于是这个临界情景OA 与竖直夹角为0γ=︒ （3分）情景二 交点在无穷远处，这时候三个力都沿竖直方向。

由平面几何2cos(30)r OAγ+︒=；46.6γ=︒ （4分）由此可知OA 与竖直夹角应位于[0,46.6]γ∈︒ （3分）(2)由前一问可知，AB 与法线最大夹角为60︒因此B点摩擦系数不应当小于'tan 60μ=︒=（4分）题二、（24分）如图有两根光滑的固定细杆，方向水平夹角均为30︒，斜向下。

初始时刻有两个质量为m 的小圆AB 环套在杆上，距离O 均为l 。

用根长度为l 的不可伸长的细线把A 和B 都系在一个质量为2m 的质点C 上。

重力加速度竖直向下为g 。

（3） 初态三个ABC 静止释放，求释放瞬间绳AC 上的张力。

（4） 初态三个物体静止，给C 一个向下的冲量J ，使得C 的速度变为0v 。

求J ，并求此后瞬间绳子拉力T 。

【解答】形，各内（1）由几何关系，可知,AOC BOC V V 为等边三角角均为60o （1分）设C 加速度a ，由对称性，a 竖直向下设A 加速度'a ，由对称性，两绳上张力相等，设其为T . 以A 为系由静止释放时，A C 、无相对速度，故C 无沿绳方向加速度 ''coscos033a a a a ππ-=⇒=（2分）以A 为参考系，对C 在垂直AC 方向根据牛顿第二定律 ()222mg ma T m +-=⋅ （3分）地面系中，分析A 受力有()12T mg ma -= （1分）解得'4g a a ==32T mg =（2分）（2）设绳的冲量为I由速度关联，A C 、沿绳方向速度相等00cos cos A A V V V V θθ=⇒=（1分）动量定理02cos 2J I mV θ-= （1分）0cos I mV θ= （1分） 04J mV ⇒=（2分）设A 加速度'a ，C 加速度a ，由对称性，a 竖直向下，沿绳向加速度等于向心加速度，即)20'cos cos a a lθθ-=（2分）牛顿第二定律()''222mg ma T m ⎫+-=+⎪⎪⎝⎭（3分）地面系中，分析A 受力 'cos cos T mg ma θθ-=（1分）解得202'03434V ga l V g a l =-+=+20632mV T mg l=+（3分）一个质量为m/2。