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广东省实验中学2017届高一下学期期中考试(数学)

省实验中学2017届高一下学期期中考试数 学本试卷共4页.满分为150分,考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的和考生号填写在答题卡上。

2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,不能答在试题卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,只交回答题卡.(注:以下黑体字母均表示向量)一、选择题:本大题12小题,每小题5分,满分60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知向量a=(4,-2),向量b=(x ,5),且a∥b,那么x 等于( ).A .10B .5C .-25 D .-102.若cos >0,sin <0,则角的终边在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限3.已知扇形的圆心角为π弧度,半径为2,则扇形的面积是( ) A .πB .C .2πD .π4.已知向量13BA ,2=⎛⎫⎪ ⎝⎭,31BC ,2=⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭,则∠ABC= ( )A .30°B .45°C .60°D .120°5.若向量,,满足条件++=,||=||=||=1,则△P 1P 2P 3的形状是( )A .等腰三角形B .直角三角形C .等边三角形D .不能确定6.若11tan ,tan(),32ααβ=+=则tan β=( )A .17 B . 16 C . 57D . 567.函数2πsin 24log y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减.区间为( ) A .πππ4k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦Z ,, B .π3πππ,88k k k ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭Z ,C .3ππππ88k k k ⎛⎤-++∈ ⎥⎝⎦Z ,, D .ππππ88k k k ⎛⎤-++∈ ⎥⎝⎦Z ,, 8. 对任意向量a ,b ,下列关系式中不恒成立的是 ( )A .|a ·b |≤|a ||b |B .|a-b |≤||a |-|b ||C .(a +b )2=|a +b |2D .(a +b )·(a -b )=a 2-b 29.若向量a ,b 的夹角为150°,|a |=,|b |=4,则|2a +b |=( ) A .2B .3C .4D .5 10.设a=cos6°-sin6°,b=2sin13°.cos13°,c=,则有( ) A .c<b<aB .a<b<cC .a<c<bD .b<c<a11.已知函数f(x)=3sin(ω>0)和g(x)=2cos(2x+φ)+1的图象的对称轴完全相同,若x∈,则f(x)的取值围是( )A .[-3,3]B .C .D .12.定义区间[]21,x x 长度为12x x -,(12x x >),已知函数)0,(,1)()(f 22≠∈-+=a R a xa x a a x 的定义域与值域都是[]n ,m ,则区间[]n ,m 取最大长度时a 的值为( )A .332 B .1 或-3, C .-1. D .3D CBFA二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.的取值范围是,则的夹角为与且满足(已知平面向量||120b ,1||)0,0a ,.130a a a b b b a-=≠≠ .14.函数y =A sin (ωx +φ) (ω>0,|φ|<π2,x ∈R )的部分图象如图所示,则函数表达式为 .15.函数f(x)=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是 ,单调递减区间是 .16.如图所示,在ABC ∆中,12AD AB =,F 在线段CD 上,设AB a =,AC b =,AF xa yb =+,则22x y +的最小值为 .三.解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知0<<2π,sin =54. (1)求tan 的值; (2)求cos 2+sin(+2π)的值. 18.(12分)已知1=a ,3=b ,(1) 若a ,b 的夹角为6π,求b a -;(2) 求b a +及b a ⋅的取值围; (3) 若21)2()3(=+⋅-b a b a ,求a 与b 的夹角θ. 19.(12分)已知函数f (x )=sin (π-ωx )cos ωx +cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1) 求ω的值;(2) 将函数y =f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,得到函数y =g(x )的图象,求函数g (x )在区间[0,π16]上的最小值.20.(12分)如图,矩形ABCD 的长AD=2,宽AB=1,A ,D 两点分别在x 轴,y 轴的正半轴上移动,B ,C 两点在第一象限.求OB 2的最大值.21.(12分)已知向量m =,n =,设函数f(x)=m ·n .(1) 求函数f(x)的解析式.(2) 求函数f(x),x∈[-π,π]的单调递增区间.(3) 设函数h(x)=f(x)-k(k∈R)在区间[-π,π]上的零点的个数为a ,试探求a 的值及对应的k的取值围.22.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知以M 为圆心的圆060141222=+--+y x y x M :及其上一点A(2,4).(1) 设圆N 与x 轴相切,与圆M 外切,且圆心N 在直线x=6上,求圆N 的标准方程. (2) 设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B,C 两点,且BC=OA,求直线l 的方程. (3) 设点T(t,0)满足:存在圆M 上的两点P 和Q,使得+TA T Q =P T ,数t 的取值围.数学参考答案一、选择题(5*12=60分)1.D2.D3.D4.A5.C6.A7.B8.B9.A 10.C 11.D 12.D二、填空题(4*5=20分)13.⎥⎦⎤ ⎝⎛3320, 14.y =-4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π8x +π4 15.π;]87,83[ππππk k ++,k∈Z 16.51三、解答题(70分)17.(10分)(1)因为0<<2π,sin =54, 故cos =53,所以tan =34. -------5分(2)cos 2+sin(2π+)=1-2sin 2 +cos =-2532+53=258.-----------5分18.(12分)解:(1)∵a ,b 的夹角为6π, ∴ b a ⋅=|a |•|b |•cos 6π=23, ……1分∴|a -b |2=(a -b )2 ……2分=a 2+b 2 -2b a ⋅=1+3-3=1, ……3分 1=-b a ……4分(2b a b a b a +≤+≤]13,13[+-∈+b a ……6分b a b a ≤]3,0[∈⋅b a ……7分(3)21)2()3(=+⋅-b a b a ,2135222=-⋅-∴b b a a .……8分又|a |=1,|b |=3,23-=⋅∴.……9分1cos 2a b a b θ∴==-·23-. ……10分 ],0[πθ∈ ……没有此说明扣1分65πθ=∴. ……12分19.(12分) 解:(1)因为f (x )=sin (π-ωx )cos ωx +cos 2ωx ,所以f (x )=sin ωx cos ωx +1+cos 2ωx 2=12sin 2ωx +12cos 2ωx +12=22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx +π4+12. 由于ω>0,依题意得2π2ω=π,所以ω=1.-------------------4(2)由(1)知f (x )=22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π4+12,所以g (x )=f (2x )=22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x +π4+12.当0≤x ≤π16时,π4≤4x +π4≤π2,所以22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x +π4≤1.因此1≤g (x )≤1+22.故g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π16上的最小值为1.-----------------------620.(12分)解:过点B 作BH⊥OA,垂足为H. 设∠OAD=θ,则∠BAH=-θ,--------------------------2OA=2cos θ,--------------------------------------------------3BH=sin=cos θ, ---------------------------------------4AH=cos =sin θ,-----------------------------------------5所以B(2cosθ+sinθ,cosθ),---------------------------7OB 2=(2cosθ+sinθ)2+cos 2θ=7+6cos 2θ+2sin2θ=7+4sin.------------------------------9由0<θ<,知<2θ+<,所以当θ=时,OB 2取得最大值7+4.---------------------------------------1221.(12分) 解:(1)f(x)=m ·n =4sin xcos x+2cosx=2sinx+2cosx=4sin.----3(2)由(1),知f(x)=4sin,x∈[-π,π],所以x+∈,由-≤x+≤,解得-≤x≤,所以函数f(x)的单调递增区间为.------------------------------7(3)当x∈[-π,π]时,函数h(x)=f(x)-k 的零点讨论如下:当k>4或k<-4时,h(x)无零点,a=0;----------------------------------8 当k=4或k=-4时,h(x)有一个零点,a=1;-------------------------------10 当-4<k<-2或-2<k<4时,h(x)有两个零点,a=2;---------------------------11 当k=-2时,h(x)有三个零点,a=3.--------------------------------------1222.(12分)解:(1)设点N(6,n),因为与x 轴相切,则圆N 为(x-6)2+(y-n)2=n 2,n>0,又圆N 与圆M 外切,圆M:(x-6)2+(y-7)2=25,则|7-n|=|n|+5,解得n=1,即圆N 的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.--------------------------------------------4 (2)由题意得OA=25OA =2,设l:y=2x+b, 则圆心M 到直线l 的距离d=127b5b =55-++,则225d -()25b 255+-5,即⇒b=5或b=-15,即l:y=2x+5或y=2x-15.------------8(3)因为+TA T Q =P T ,所以=-TA TQ TP PQ =,=TA PQ ⇒=TA PQ ,(TA t =-根据|PQ |≤10,即⇒t∈[2所以t 的取值围为对于任意t∈[2-2欲使=TA PQ ,此时|TA |≤10,只需要作直线TA 的平行线,使圆心到直线的距离为2TA ,必然与圆交于P,Q 两点,此时=TA PQ ,即=TA PQ ,因此对于任意t ∈[2-2均满足题意,综上t∈[2。

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