有限覆盖定理→紧致性定理
证明：设数列}{n x 满足 b x a n ≤≤。

先证0x ∃∈[b a ，]， 在0x 的任一邻域 (ε-0x ,ε+0x )中必含有n x 的无限项。

如果不然。

x ∀∈[b a ，]，x δ∃0 ，使(x x δ-,x x δ+)只含}{n x 的有限项。

记E={(x x δ-,x x δ+)|x ∈[b a ，]，x δ由上产生}，是[b a ，]的一个覆盖。

由有限覆盖定理，知∃E 中有限个开区间（11δ-x ,11δ+x ）(22δ-x ,22δ+x )…… (k k x δ-,k k x δ+)覆盖],[b a 。

则
一方面：由覆盖的定义，}{n x 中的所有项包含于这有限个开区间内，另一方面，因为{i i x δ-,i i x δ+}（),...2,1k i =均只含}{n x 的有限项，故这有限个开区间只包含}{n x 中的有限项，这将互相矛盾。

故0x ∃∈[b a ，]， 在0x 的任一邻域 (ε-0x ,ε+0x )中必含有n x 的无限项。

特别地，取1=ε，则∃)1,1(001+-∈x x x k ，
取2/1=ε，则∃)(),2/1,2/1(12002k k x x x k >+-∈， ……
取n /1=ε，则∃)(),/1,/1(100->+-∈n n k k k n x n x x n
……
则}{n k x 为}{n x 的子数列,满足0<n x x n k /10<-)(,0∞→→n
故}{n
k x 收敛于0x 。

定理证完
柯西收敛定理→确界存在定理
以非空有上界数集必有上确界为例来证明
证明：设数集A 非空有上界， 设1b 是A 的上界
因为A 非空，设A x ∈0，则存在1a <0x ，
1a 就不是A 的上界。

1a 1b ，用1a ，1b 的中点2
11b a +二等分[1a ，1b ]，如果2
11b a +是A 的上界，则取
[2a ，2b ]=[1a ，2
11b a +]；如果2
11b a +不是A 的上界，则取[2a ，2b ]=[2
11b a +，1b ]；
用2a ，2b 的中点2
22b a +二等分[2a ，2b ]……如此继续下去，得一闭区间列{],[n n b a }，
对n ∀，⊃],[n n b a ],[11++n n b a ，∞
→n lim （n n a b -）=0
数列{ n a }，{n b }满足n ∀， n a 不是A 的上界，n b 是A 的上界。

下证{ n a }，{n b }是收敛数列。

∞
→n lim （n n a b -）=0，即0 ε
∀，N ∃，当N n
，有|n n a b -|ε 。

又对+
∈∀Z p ，n a ≤p n a +≤p n b +≤n b ，故|-+p n a n a |≤（n n a b -）ε ，故{ n a }是收敛的，设∞
→n lim n a =r 。

又因∞
→n lim （n n a b -）=0，故∞
→n lim n b =r
最后证r=supA 。

因为n b 是A 的上界，故对n b x A x ≤∈∀,，由极限的保序性，r x ≤ 即r 是A 的上界，
设任一r r <'，我们来说明r '不是A 的上界
由∞
→n lim n a =r r '>，则N ∃，当N n ，有r a n '>。

而对n ∀， n a 不是A 的上界，故r '就
不能是A 的上界
故r=supA 。

定理证完。