证: 问题转化为证 f ′(ξ ) − 作辅助函数
f (b ) − f ( a ) ′ ϕ ( ξ ) ϕ ( x) = f ( x) − x
−a �� � �b � � � =0
b−a 显然 , ϕ ( x) 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且 ϕ (a ) = b f (a) − a f (b) = ϕ (b) , 由罗尔定理知至少存在一点 b−a 思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 ξ ∈ (a , b) , 使 ϕ ′(ξ ) = 0 , 即定理结论成立 . 证毕
原函数的性质 中值定理
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导函数的性质
中值定理的主要应用 (1) 利用中值定理求极限 (2) 研究函数或导数的性质 (3) 证明恒等式 (4) 判定方程根的存在性和唯一性 (5) 证明有关中值问题的结论 (6) 证明不等式
注：（1） 几个中值定理中最重要、最常用的是: 罗尔中值定理。 （2） 应用中值定理的关键为： 如何构造合适的辅助函数？（难点、 重点）
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2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为
y = f ( x) 在 ( a , b ) 内可导, 且
x →a +
lim f ( x) = lim f ( x)
x →b −
在( a , b ) 内至少存在一点 ξ , 使 f ′(ξ ) = 0.
f (a ) ,
证明提示: 设 F ( x) =
证明中值定理的方法
直观分析 辅助函数法 逆向分析 例如, 证明拉格朗日定理 : f (b) − f (a ) = f ′(ξ )(b − a ) 要构造满足罗尔定理条件的辅助函数 . y = f ( x) 方法1. 直观分析 y 由图可知 , 设辅助函数
f (b) − f (a ) F ( x) = f ( x) − x−C b−a o a ξ b x (C 为任意常数 ) f (b )− f ( a ) y = b−a x + C
辅助函数
同样, 柯西中值定理要证 f (b) − f (a ) f ′(ξ ) = , ξ ∈ ( a , b) g (b) − g (a ) g ′(ξ )
f (b) − f (a ) g ′(ξ ) = 0 即证 f ′(ξ ) − g (b) − g (a ) f (b) − f (a ) g ′( x) 设 F ′( x) = f ′( x) − g (b) − g (a)
说明 若取 h( x ) ≡ 1, g ( x ) = x , f ( a ) = f (b) ,即为罗尔定理; 若取 h( x) ≡ 1, g ( x) = x , 即为拉格朗日中值定理; 若取 h( x ) ≡ 1, g ′( x ) ≠ 0 , 即为柯西中值定理; ( 自己验证 )
中值定理的主要应用与解题方法
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f (b) − f (a ) F ( x) − f ( x) 证: 作辅助函数 ϕ ( x) = F (b) − F (a ) 则ϕ ( x) 在[a, b] 上连续, 在 (a, b)内可导, 且 f (b) F (a ) − f (a ) F (b) ϕ (a) = = ϕ (b ) F (b ) − F ( a ) 由罗尔定理知, 至少存在一点 ξ ∈ ( a , b) , 使 ϕ ′(ξ ) = 0, 即 f (b) − f (a ) f ′(ξ ) = . F (b) − F (a ) F ′(ξ )
几个中值定理的关系
罗尔定理 f ′(ξ ) = 0 y f ( x) F ( x) y == x f (a ) = f (b) 柯西中值定理
o aξ
b x
f (a ) = f (b)
拉格朗日中值定理 f (b) − f (a) f ′(ξ ) = b−a F ( x) = x y = f (x) y n=0
利用逆向思维设辅助函数 f ( a ) f (b ) g ( a ) g (b) g ( x) f ( x) − F ( x) = h(a ) h(b) h ( a ) h (b ) f (a ) f (b) f ( x) f ( a ) f (b) + h( x) = g (a ) g (b) g ( x) g ( a ) g (b) h(a ) h(b) h( x) 显然 F(x) 在[a , b] 上连续 , 在 (a , b)内可导, 且 F ( a ) = F (b) = 0 , 因此,由罗尔定理知至少存在一点 f (a ) f (b使 ) f′′(ξ ) ξ ∈ (a , b) , F (ξ ) = 0 , g即 ( a ) g (b ) ′ f (ξ ) g (a ) g (b) g ′(ξ ) = h(a ) h(b) h(a ) h(b) h′(ξ f) (a ) f (b) f ′(ξ ) ′ F ′(ξ ) = fg ( a ) g ( b ) g 0) f (b) (a ) f (b) ′ (ξ ) f= (a − h(a ) h(b) g (h ξ′) +) h′(ξ ) ( ξ h( a ) h(b) g ( a ) g (b )
* 中值定理的统一表达式 设 f ( x ) , g ( x ) , h( x ) 都在 [ a , b] 上连续 , 且在 ( a , b) 内可导, 证明至少存在一点 ξ ∈ ( a , b) , 使 f (a ) f (b) f ′(ξ ) g (a ) g (b) g ′(ξ ) = 0 h(a ) h(b) h′(ξ )
y
y = f ( x)
o
aξ
b x
在( a , b ) 内至少存在一点 ξ , 使 f ′(ξ ) = 0. 故在[ a , b ]上取得最大值 证: 因 f ( x) 在[ a , b] 上连续，
M 和最小值 m .
若 M = m , 则 f ( x ) ≡ M , x ∈ [ a , b] , 因此 ∀ξ ∈ (a , b) , f ′(ξ ) = 0 .
原函数法
f (b) − f (a ) F ( x) = f ( x) − g ( x) g (b) − g (a )
* 中值定理的条件是充分的, 但非必要. 因此
可适当减弱. 例如, 设 f ( x) 在 (a , b) 内可导,且 f ( a + 0) = f (b − 0) , 则至少存在一点 ξ ∈ (a , b) , 使 f ′(ξ ) = 0 . 证: 设辅助函数
设 f ( x ) , g ( x ) , h( x ) 都在 ( a , b) 上连续 , 且在 [ a , b] 内可导, 证明至少存在一点 ξ ∈ ( a , b) , 使
f (a) g (a) h( a )
f (b ) g (b) h(b)
f ′(ξ ) g ′(ξ ) = 0 h′(ξ )
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三、柯西(Cauchy)中值定理
f ( x) 及 F ( x) 满足 : (1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续 (2) 在开区间 ( a , b ) 内可导 (3)在开区间 ( a , b ) 内 F ′( x) ≠ 0 f (b) − f (a ) f ′(ξ ) = . 至少存在一点 ξ ∈ ( a, b) , 使 F (b) − F (a ) F ′(ξ ) a <η < b 分析: F (b) − F (a ) = F ′(η )(b − a ) ≠ 0 f (b) − f (a ) F ′(ξ ) − f ′(ξ ) = 0 要证 ′(ξ ) ϕ F (b) − F (a ) f (b ) − f ( a ) ϕ ( x) = F ( x) − f ( x) F (b ) − F ( a )
方法2. 逆向分析 要证 即证
f (b) − f (a ) = f ′(ξ )(b − a ) f (b) − f (a ) f ′(ξ ) − =0 b−a F ′(ξ )
f (b) − f (a ) F ′( x) = f ′( x) − b−a 原函数法 f (b) − f ( a ) F ( x) = f ( x) − x b−a
aξ b x f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 )
(n) n 1 + ⋯ + f ( x0 )( x − x0 ) n! + 1 f ( n +1) (ξ )( x − x0 ) n +1 ( n &#) − f (a) f ′(ξ ) = F (b) − F (a) F ′(ξ )
+
x=a
a< x<b x=b
f ( x) , f (b − ) ,
证 F(x) 在 [a , b] 上满足罗尔定理 .
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二、拉格朗日中值定理
y
y = f ( x)
y = f ( x) 满足: o (1) 在区间 [ a , b ] 上连续 a ξ b x (2) 在区间 ( a , b ) 内可导 f (b) − f (a ) . 至少存在一点 ξ ∈ (a, b) , 使 f ′(ξ ) = b−a f (b ) − f ( a )
⎧ f ( a + 0) , x = a ⎪ a< x<b F ( x) = ⎨ f ( x) , ⎪ ⎩ f (b − 0) , x = b 显然 F ( x) 在 [a , b] 上连续, 在 (a , b) 内可导, 由罗尔 定理可知 , 存在一点 ξ ∈ (a , b) , 使 F ′(ξ ) = 0 , 即 f ′(ξ ) = 0 .
证: 按三阶行列式展开法有
f (a) g (a) h( a )
f (b) g (b) h(b)
f ′(ξ ) g ( a ) g (b ) ′ f (ξ ) g ′(ξ ) = h(a ) h(b) h′(ξ )