五、正应力最大值的确定
1、横截面上：⑴对Z轴对称的截面
t max
m
c ax
z
⑵对Z轴不对称的截面
z
t max
c max
Mym
t ax
Iz Mym
c ax
Iz
M max Wz
2、整个梁上：⑴对Z轴对称的截面
t max
m
c ax
M max Wz
⑵对Z轴不对称的截面
t max
(
My)m
a
t x
Iz
c max
Mz
ydA
A
E y ydA E
A
A
y2dA
E
Iz
M
1 M
EI z
——（弯曲变形计 算的基本公式）
EI z 梁的抗弯刚度。
将上式代入（2）式得：
My
Iz
……弯曲正应力计算公式。
三、注意：弯矩代入绝对值，应力的符号由变形来判断。
当M>0时，Z轴上侧所有点为压应力，下侧所有点为拉应力；
相应比值时，要校核剪应力 各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。
31
q 3.6kN / m
例、矩形截面 (bh=0.12m0.18m）
A
Fs qL/ 2
L3m
B 木梁如图，[]=7 M Pa，[]=0. 9 M Pa， 试求最大正应力和最大剪应力之比, x并校核梁的强度。
M
-qL/ 2 解：、画内力图求危险面内力
2
Fs A
三、剪应力的强度计算
1、强度条件：
max
F S smax zmax Izb
2、强度计算：
⑴、校核强度，⑵、设计截面尺寸，⑶、确定外荷载。
30
3、需要校核剪应力的几种特殊情况： 梁的跨度较短，M 较小，而 Fs 较大时，要校核剪应力。 铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的
当M<0时，Z轴下侧所有点为压应力，上侧所有点为拉应力。
14
例：求最大拉应力与最大压应力。已知：l 1 m, q 6kN / m
q
解：1）画弯矩图
M
0.5ql 2
y1 y2
y №10槽钢
| M |max 0.5ql2 3 kNm
2）查型钢表：
b 4.8cm, I z 25.6cm4, y1 1.52cm y2 4.8 1.52 3.28cm
x
20
30
180
求应力
1 2z
120
Iz
bh3 12
120 180 3 12
5.832
107 mm 4
M
y
Wz I z / 90 6.48 105 mm3
qL²/ 8
(1)
(2)
M1y Iz
60 106 60 5.832 107
61.7MPa
M1
x
1m a x
M1 Wz
60106 6.48105
基础教学学院 工程力学部
1
第六章 弯曲应力
§6—1 弯曲正应力及强度计算 §6—2 弯曲剪应力及强度计算 §6—3 提高弯曲强度的措施 弯曲应力部分小结 作业
2
§6—1 弯曲正应力及强度计算
3
4
§6—1 弯曲正应力及强度计算
一、基本概念：
aF
剪力“Fs”——剪应力“τ”；
弯矩“M”——正应力“σ”
q= 30kN/m
A
B
1m
5m
Fs
112.5kN 52.5kN
M
158.4kNm
112.5
例：图示梁为工字型截面，已知 〔σ〕=170MPa，〔τ〕=100MPa
试选择工字型梁的型号。
解：1、画Q、M图
FAY=112.5kN ；FBY=97.5kN
x
2、按正应力确定截面型号
97.5kN
max
qL²/ 8
Fs max
qL 2
3600 3 2
5400(N )
求最大应力并校核强度
x
qL2 3600 32 M max 8 8 4050 (N.m)
max
M max Wz
6M max bh2
6 4050 0.12 0.182
6.25MPa [ ] 7MPa
32
求最大应力并校核强度
对Z轴不对称截面的弯曲梁，必须计算两个截面：M
max
;
M
m
ax
25
§6—2 弯曲剪应力及强度计算
一、 矩形截面梁横截面上的剪应力 1、假设：⑴ 横截面上各点的剪应力方向与剪力的方向相同。
⑵ 剪应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离的各 点剪应力大小相等）。
2、公式推导
x
dx
图a
Fs zh
y
τ
y
max
M Iz
ymax,
Iz
1 t3 , 12
ymax
t, 2
M ?
D
2）曲率公式：
1
M EI z
D
2
t
M EI z
max
E
ymax
3）求应力：
t 1
max
E D
t
210 109 1.510 3 3
105 MPa
19
1 q 6kN / m
A
1
1m
2m
1 2z
120
M
y
qL²/ 8
面对Z轴的惯性矩；b为Y点对应的宽度；
Sz*为Y点以外的面积对Z轴的静面矩。
27
M
h
Fs
Fs dFs
X N1 N 1b(dx) 0
A
dx
M dM
N dA M ydA MSz
A
I A z
Iz
N1
(M
dM Iz
)S
z
图b
Z y
1
dM dx
S
z
bI z
Fs
S
z
bI z
由剪应力互等定理可知
92.6MPa
Mmax
全梁最大应力： max
求曲率半径
M max Wz
67.5106 6.48105
104.2MPa
1
EIz M1
200103 5.832107 60 106
194.4103 mm 194.4m
21
例：矩形截面梁b=60mm、h=120mm，[σ]=160MPa, 求：Fmax
F
A
5F/2
C
2F
B
F/2 Dh
解：1、求约束反力
2、画M，Mmax
0.5m
0.5m
0.5m
b
Mmax=0.5F
M
0.25F
3、强度计算
0.5F
x
max
M max ≤[ ],
WZ
0.5F
1 bh2
6
1 bh2 160 1 601202
F 6
6
46.1103(N ) 46.1 (kN)
3）求应力：
z
tmax
M Iz
y1
30001.52 25.6 106
178 MPa
b
cmax
M Iz
y2
3000 3.28 25.6 106
384 MPa
t max 178 MPa, cmax 384 MPa
15
四、公式的使用条件
弹性范围内工作的纯弯梁或横力弯曲的细长梁（L＞5h）。
y
d
（二）、物理方面 应力与应变之间的关系： 在弹性范围内，应力和应变成正比。
即： E
M
o a
M
o1 y
a
11
E Ey ...... (2)
3、应力的分布图：
σmax
M Z
（三）、静力方面
σmax
y
12
A dA
dN dA
dM dM
y z
z dA y dA
N AdA 0 1
（一）、强度条件： max
（二）、强度计算：
max
M max Wz
1、强度校核 ——
max
；
2、设计截面 —— M max Wz ;
18
例：厚为t=1.5mm的钢带，卷成直径D＝3m圆环。E 210GPa 。
求：横截面上最大应力
解：1）研究对象：单位宽条
M y
dAz 0
A
2
Mz
z
x
y dA
z
y
M z
dAy M
A
3
(1)
N
dA
A
E y dA E
A
A
ydA
E
Sz
0
Sz 0
（中性轴Z轴为形心轴）
(2)
My
dAz
A
E y zdA E
A
A
yzdA
E
I yz
0
I yz 0
（产生平面弯曲的必要条件，本题自然满足）
13
(3)
m
n
⑵、纵向线：由直线变
为曲线，且靠近上部的
M
m
n
M
纤维缩短，靠近下部的
b
b
纤维伸长。
a
a
3、假设：
m
n
（a）、平面假设：梁变形前的横截面变形后仍为平面，且仍垂 直于变形后的轴线，只是各横截面绕某轴转动了一个角度。
9
（b）纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤 维之间无挤压。
中性轴