复 数一．本章知识结构 二．学习内容和要求 （一）学习目标1．了解引进复数的必要性，数集的扩展过程及复数的分类表； 2．理解复数的有关概念； 3．掌握复数的代数形式；4．掌握复数的代数形式的运算法则； 5．能进行复数的加、减、乘、除运算； 6．掌握某些特殊复数的运算特征7．能在复数集中因式分解、解一元二次方程等。

（二）本章知识精要 1．复数的概念： （1）虚数单位i ；（2）复数的代数形式z=a+bi ，(a, b ∈R)； （3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。

2．复数集 3．复数的四则运算若两个复数z1=a1+b1i ，z2=a2+b2i ， （1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i ； （2）减法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i ； （3）乘法：z1·z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i ；（4）除法：11212211222222()()z a a b b a b a b i z a b ++-=+；（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。

（6）特殊复数的运算：① ni (n 为整数)的周期性运算； ② (1±i)2=±2i ；③ 若ω=－21+23i ，则ω3=1，1+ω+ω2=0.4．共轭复数与复数的模（1）若z=a+bi ，则z a bi =-，z z +为实数，z z -为纯虚数(b ≠0).（2）复数z=a+bi 的模，且2||z z z ⋅==a2+b2.三．学习方法与指导 （一）学习方法点拨：1．数的概念是从实践中产生和发展起来的。

随着生产和科学的发展，数的概念也不断的被扩大和充实，从自然数集、整数集、有理数集到实数集的每一次扩充，推动了生产的进一步发展，也使数的理论逐步深化和发展，复数最初是由于解方程得需要产生的，后来由于在科学技术中得到应用而进一步发展。

要求熟悉我们已经学过的各种数集之间的内在联系。

理解复数在其中所起到的重要作用，和各种数集之间的包含关系。

2．复数a+bi(a, b ∈R)由两部分组成，实数a 与b 分别称为复数a+bi 的实部与虚部，1与i 分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi 就是实数，当b ≠0时，a+bi 是虚数，其中a=0且b ≠0时称为纯虚数。

应特别注意，a=0仅是复数a+bi 为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。

3．根据两个复数相等的定义，设a, b, c, d ∈R ，两个复数a+bi 和c+di 相等规定为a+bi=c+di a c b d =⎧⇔⎨=⎩. 由这个定义得到a+bi=0⇔00a b =⎧⎨=⎩. 两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。

两个复数相当的定义实际上给出了将复数问题转化为实数问题的方法，是求复数值、在复数集中解方程得重要依据。

4．复数a+bi 的共轭复数是a －bi ，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。

若b=0，则实数a 与实数a 共轭，表示点落在实轴上。

5．复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别，最主要的是在运算中将i2=－1结合到实际运算过程中去。

如(a+bi)(a －bi)=a2－(bi)2=a2－b2i2=a2+b2.6．复数的除法是复数乘法的逆运算将满足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi ≠0)的复数x+yi 叫做复数a+bi 除以复数c+di 的商。

由于两个共轭复数的积是实数，因此复数的除法可以通过将分母实化得到，即22()()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad ic di c di c di cd ++-++-==++-+.7．复数a+bi 的模的几何意义是指表示复数a+bi 的点到原点的距离。

（二）典型例题讲解 1．复数的概念例1．实数m 取什么数值时，复数z=m+1+(m －1)i 是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）对应的点Z 在第三象限？解：复数z=m+1+(m －1)i 中，因为m ∈R ，所以m+1，m －1都是实数，它们分别是z 的实部和虚部，∴ （1）m=1时，z 是实数； （2）m ≠1时，z 是虚数；（3）当1010m m +=⎧⎨-≠⎩时，即m=－1时，z 是纯虚数；（4）当1010m m +<⎧⎨-<⎩时，即m<－1时，z 对应的点Z 在第三象限。

例2．已知(2x －1)+i=y －(3－y)i ，其中x, y ∈R ，求x, y.解：根据复数相等的意义，得方程组211(3)x y y -=⎧⎨=--⎩，得x=25, y=4.例3．已知x 与y 实部相等，虚部互为相反数，且(x+y)2－3xyi=4－6i ，求x, y. 解：由题意设x=a+bi ，y=a －bi (a, b ∈R)，则代入原式得(2a)2－3(a2+b2)i=4－bi ⇔222443()6a a b ⎧=⎨-+=-⎩，⇒11a b =⎧⎨=⎩或11a b =⎧⎨=-⎩或11a b =-⎧⎨=⎩或11a b =-⎧⎨=-⎩，∴ 11x i y i =+⎧⎨=-⎩或11x i y i =-⎧⎨=+⎩或11x i y i =-+⎧⎨=--⎩或11x iy i =--⎧⎨=-+⎩. 例4．当m 为何实数时，复数z ＝2223225m m m ---+(m2+3m －10)i ；（1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数．解：此题主要考查复数的有关概念及方程（组）的解法．（1）z 为实数，则虚部m2+3m －10=0，即223100250m m m ⎧+-=⎨-≠⎩， 解得m=2，∴ m=2时，z 为实数。

（2）z 为虚数，则虚部m2+3m －10≠0，即223100250m m m ⎧+-≠⎨-≠⎩， 解得m ≠2且m ≠±5. 当m ≠2且m ≠±5时，z 为虚数．22223203100250m m m m m ⎧--=⎪+-≠⎨⎪-≠⎩，解得m=－21, ∴当m=－21时，z 为纯虚数．诠释：本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必须具备的条件，还应特别注意分母不为零这一要求．例5．计算：i ＋i2＋i3+……+i2005. 解：此题主要考查in 的周期性．i ＋i2＋i3+……+i2005=(i+i2+i3+i4)+……+(i2001+i2002+ i2003＋i2004)＋i2005 =(i －1－i+1)+ (i －1－i+1)+……+(i －1－i+1)+i ＝0＋0＋……＋0+i ＝i.或者可利用等比数列的求和公式来求解（略） 诠释：本题应抓住in 的周期及合理分组． 例8．使不等式m2－(m2－3m)i ＜(m2－4m ＋3)i ＋10成立的实数m ＝ . 解：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法． ∵ m2－(m2－3m)i ＜(m2－4m ＋3)i ＋10, 且虚数不能比较大小，∴2221030430m m m m m ⎧<⎪-=⎨⎪-+=⎩，解得||100或33或1m m m m m <⎧⎪==⎨⎪==⎩，∴ m=3.当m ＝3时，原不等式成立．诠释：本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件。

例9．已知z=x ＋yi(x ，y ∈R)，且222log 8(1log )x y i x y i++-=-，求z ．解：本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程，对数方程的解法．∵ 222log 8(1log )x y i x y i ++-=-，∴22280log 1log x y x y +⎧-=⎨=-⎩，∴32x y xy +=⎧⎨=⎩， 解得21x y =⎧⎨=⎩或12x y =⎧⎨=⎩, ∴ z ＝2＋i 或z ＝1＋2i ． 诠释：本题应抓住复数相等的充要条件这一关键，正确、熟练地解方程（指数，对数方程） 例10．已知x 为纯虚数，y 是实数，且2x －1＋i ＝y －(3－y)i ，求x 、y 的值．解：本题主要考查复数的有关概念，实数与i 的运算，复数相等的充要条件，方程组的解法． 设x ＝ti (t ∈R ，且t ≠0），则2x －1＋i ＝y －(3－y)i 可化为 2ti －1＋i ＝y －(3－y)i ，即(2t ＋1)i －1=y －(3－y)i ，∴21(3)1t y y +=--⎧⎨-=⎩, ∴y=－1, t=－25, ∴ x=－25i.2．复数的四则运算 例1．计算：（1）22(1)(1)(1)nn i i -+-，n ∈N+；（2）若ω=－21+23i ，ω3=1，计算66+；（3（4）S=1+2i+3i2+4i3+ (100i99)解：（1）22(1)(1)(1)n n i i -+-=2212(1)2[](1)()(2)(1)2(1)2n n n i i i i i i i ++⋅-=⋅-=-⋅--=221,22,i n k k N i n k k N ++⎧=-∈⎨-=∈⎩.（2）66)()22i i +=66662611()()[()]22i i i ωω---⋅+-⋅=⋅+=－2.（3i=, i=,∴=222|)||)|i i ⋅⋅===8. （4）S=1+2i+3i2+4i3+……+100i99=(1+2i+3i2+4i3)+(5i4+6i5+7i6+8i7)+……+(97i96+98i97+99i98+100i99) =(1+2i －3－4i)+(5+6i －7－8i)+……+(97+98i －99－100i) =25(－2－2i)=－50－50i.例2．已知复数z 满足|z －2|=2，z+4z ∈R ，求z.解：设z=x+yi, x, y ∈R ，则z+4z =z+22222244()44()z x yi x y x yi x y i zzx y x y x y -=++=++-+++， ∵ z+4z ∈R ，∴ 224y y x y -+=0， 又|z －2|=2, ∴ (x －2)2+y2=4,联立解得，当y=0时, x=4或x=0 (舍去x=0, 因此时z=0)，当y ≠0时, 1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩±3,∴ 综上所得 z1=4，z2=1+3i ，z3=1－3i.例3．设z 为虚数，求证：z+1z 为实数的充要条件是|z|=1.证明：设z=a+bi (a, b ∈R ，b ≠0)，于是z+1z =(a+bi)+2222221()()a bi a ba bi ab i a bia b a b a b -=++=++-++++, 所以b ≠0, (z+1z )∈R ⇔b －22b a b +=0⇔a2+b2=1⇔|z|=1.例4．复数z 满足(z+1)(z +1)=|z |2，且11z z -+为纯虚数，求z.解：设z=x+yi (x, y ∈R)，则(z+1)(z +1)=|z |2+z+z +1=|z |2，∴ z+z +1=0，z+z =－1，x=－21.11z z -+=22(1)(1)||1(1)(1)|1|z z z z z z z z -++--=+++=2221|1|x y x yi x yi z +++-+-+为纯虚数，∴ x2+y2－1=0, y=±23, ∴ z=－21+23i 或z=－21－23i.例5．复数z 满足(1+2i)z+(3－10i)z =4－34i ，求z.解：设z=x+yi (x, y ∈R)，则(1+2i)(x+yi)+(3－10i)(x －yi) =4－34i ， 整理得(4x －12y)－(8x+2y)i=4－34i.∴ 41248234x y x y -=⎧⎨+=⎩, 解得41x y =⎧⎨=⎩, ∴ z=4+i. 例6．设z 是虚数，ω=z+1z 是实数，且－1<ω<2，（1）求|z|的值及z 的实部的取值范围；（2）设u=11zz -+，求证u 为 纯虚数；（3）求ω－u2的最小值。