二阶电路分析——LC 震荡的推导
如图9.16所示，RLC 串联电路零输入响应的数学分析依KVL ，得 0=-+C L R u u u
按图9.16中标定的电压，电流参考方向有 dt
du C
i C
-= dt
du RC
Ri u C
C -== 22dt
u d LC dt di
L u C L -==
将以上各式代入KVL 方程，便可以得出以 C u 为响应变量的微分方程，为
02
2=++C C
C u dt du RC dt u d LC ()0≥T （9.10）
式（9.10）为一常系数二阶线性齐次微分方程，其特征方程为
012=++RCp LCp
其特征根为
2
022
2
,1122ωαα-±-=-⎪⎭
⎫ ⎝⎛±-=LC L R L R p 式中：L R 2/=α称为衰减系数；LC /10=ω称为固有振荡角频率。

1.几种不同情况的讨论
(1)当(R/2L)2>1/LC 时，1p 、2p 为不相等的负实根，称为过阻尼情况。

特征根为
2
022,1ω-±-=a a p
微分方程的通解为
()t
p t p C e A e A t u 2
1
21+= （9.11）
其中待定常数1A 、2A 由初始条件来确定，其方法是：当+=0t 时刻，则由
式(9.11) 可得
()21A A t u C +=
对式(9.12)求导，可得+=0t 时刻()t u C 对t 的导数的初始值为
()()()C
i p A p A dt t du u t C C
+=+-=+=='+0022110
联立求解式(9.12)和式(9.13)，便可以解出1A 、2A 。

根据式(9.11)可知，零输入响应()t u C 是随时间按指 数规律衰减的，为非振荡性质。

()t u C 的波形如图9. 17所示。

（2）.当()LC L R /12/2=时， 1p 、2p 为相等的负实根， 称为临界阻尼情况。

特征根为
a p p -==21
微分方程的通解为
()()at C e t A A t u -+=21
其中常数1A 、2A 由初始条件()+0C u 和()+'0C u 来确定。

()t u C 的波形图根据式(9.13)可知，这种情况的响应也是非振荡的。

(3)当时，1p 、2p 为具有负实部的共轭复根，称为欠阻尼情况。

待征根为
d j L R LC j L R p ωα±-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-±-=2
2
,1212 其中 2202
21αωω-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=
L R LC d 称为阻尼振荡角频率。

微分方程的通解为 ())sin(e ϕωα+=-t A t u d t C
其中常数A 和妒由初始条件确定。

根据式(9.15)可知，响应随时间变化的规律具有衰减的振荡特性，它的振幅t
e
α-=A 随时间按指数规律衰减，衰减的快慢取决于衰减系数α的大小，
α越大则衰减就越快。

衰减振荡的角频率为d ω，d ω越大，则振荡周期
d T ωπ/2=就越小。

()t u C 的波形图如图9.18所示。

（4)当R=O 时，1p 、2p 为一对共轭虚根，称为无阻尼情况。

特征根为 02,1ωj p ±= 相应的表达式为
()()ϕω+=t A t u C 0sin
其中A 和ϕ可以直接由初始条件确定。

()t u C 的波形如图9.19所示。

从式(9.l6)和()t u C 的波形图可知，电路的零输入响应是不衰减的正弦振荡，
其角频率为0ω。

由于电路电阻为零，故称为无阻尼等幅振荡情况。

2.以上几种情况的物理意义
电容和电感都是储能元件，只有电阻是耗能元件。

电容放电时它所储存的电场能量，一部分消耗在电阻中，一部分转移到电感储存于磁场中。

在过
阻尼情况下，由于R较大，能量消耗极为迅速，因此电感获得的磁场能量不可能再返回给电容，而是随电路电流的下降而逐渐释放出来，一起消耗在电阻上。

所以，电容电压C u是单调下降的，形成非振荡的放电过程。

在欠阻尼情况下，由于R较小，电容放电时，被电阻消耗的能量较少，大部分电场能转变为磁场能储存于电感中。

当电容储能为零时，电感开始放电，电容被反向充电。

当电感储能为零时，电容又开始放电。

这样周而复始。

由于电阻不停地消耗着能量，因此电容电压呈指数衰减的振荡过程。

如果R=O，即电路中无能量损耗，则在振荡过程中，电容释放给电感的能量和电感吸收后又释放给电容的能量将始终相同。

因此，电容电压C u的振幅将不会衰减，振荡将无限制地持续下去，形成等幅振荡。

这就是无阻尼情况。