y T
ta n
y x
AT
A M
O
T
A x
P
思考：根据上述分析，你能描述正切线的几何特征吗？
y P O
T P A x O
y A T
x
过点A（1，0）作单位圆的切线，与角α 的终边或其反 向延长线相交于点T，则AT=tanα .
思考：当角α 的终边在坐标轴上时，角α 的正切线 的含义如何？
复习引入
初中锐角三角函数是如何定义的？
P sinα=
MP OP
当OP=1时，sinα=MP cos α=OM
cosα= α O ┍ M tan α=
OM OP MP OM
复习：任意角三角函数的定义
设P（x,y)是α终边上任一点,线段0P的长度为 r
角α的终边
①比值
y
y r
叫做 的正弦，
y r
的观点定义了三角函数，如果能从图形上找出三角函数的几何 意义，就能实现数与形的完美统一.可以用何种几何元素表示任 意角三角函数值？
新课讲授
一、单位圆： 1、定义：一般地，我们把半径为1的圆称为单位圆。
y N o
α
2、单位圆与x轴的交点： （1，0）和（-1，0）
P T
单位圆与y轴的交点：（0，1）和（0，-1）
2 4 a | 2k a 2k , k Z 3 3
【评析】本题的实质是解三角不等式的问题： （1）可以运用单位圆及三角函数线; （2）也可以用三角函数图象. 体现了数形结合的数学思想方法. 返回目录
例3 在0～ 2 内，求使 s in a > 范围.
y
P
P O x
当角α的终边在x轴上时，角α的正切线是一个点； 当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在.
思考：观察下列不等式：
s in p 6 < p 6 < tan p 6
s in
s in
p 4 p
3
<பைடு நூலகம்
<
p 4 p
3
< tan
< tan
p 4 p
3
你有什么一般猜想？
思考：对于不等式 sin a < a < t a n a （其中α 为锐角），你能用数形结合思想证明吗？
y
Y’ N1
P1
M2 M1 P2 O
T2
A
N2
例2设α 是任意角，作α的正弦线、余弦线、正切线， 由图证明下列各等式: （1）sin²α＋cos²α＝1 ； 证明：（1）若角α 终边落在象 限内，由 图可知sin² α＋cos² α =ON² +OM² =PM² +OM² y
N
P
T
=OP² =1
若角α的终边落在轴上 则|sinα|和|cosα|必有一 个为1，另一个为0， sin² α＋ cos² α＝1
y
| M P | y sin
P（x，y）
| O M | x co s
O
M
x
正弦线和余弦线 问题2：若角α 为第三象限角，其终边与单位圆的交点 为P（x，y），则 sin y ， cos x 都是负数， 此时角α 的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？
y
| M P | y sin
o
α
M A
x
象限角
轴角
（2）tanα=sinα/cosα；（α是锐角）
证明：tanα =MP/OM
=sinα/cosα （3）|sinα|+|cosα|≥1
y
N
证明：若角α终边落在象限内， 由图可知，∆OPM中 |MP|+|OM| 〉|OP|=1 (三角形两边之和大于第三边） 若角 α终边落在轴上， |MP|和|OM|必有一个为1，另一个为0 |MP|+|OM|=1 而|MP|=|ON|=| sinα|，|OM|=| cosα| 故|sinα|+|cosα|≥1
y P
O M
T
A x
例练讲解
例1、分别作出2π/3和-3π/4的正弦线、余弦线和正切线
解：在直角坐标系中做单位 圆 以OX轴为始边作2π/3 的 终边与单位圆交于P1点 作P1M1⊥OX轴，垂足为M1， 由单位圆与OX正方向的交点A 作OX轴的垂线与OP的反向延 X 长线交于T1点
则Sin(2π/3)=M1P1=ON1, Cos(2π/3)=OM1, T1 Tan(2π/3)=AT1
y
P
O
M
MP＋OM>OP=1
x
正切线
问题1：如图，设角α 为第一象限角，其终边与单 y 位圆的交点为P（x，y），则 ta n 是正数，用 x 哪条有向线段表示角α 的正切值最合适？
ta n
y x
y
AT
O
P
T
M A x
正切线
问题2：若角α 为第四象限角，其终边与单位 y 圆的交点为P（x，y），则 ta n 是负数， x 此时用哪条有向线段表示角α 的正切值最合 适？ y
sin y
co s x
ta n
y x
( x 0)
2.三角函数在各象限的函数值符号分别如何？ 一全正，二正弦，三正切，四余弦. 3.公式 sin ( 2 k ) sin ， s( 2 k ) co s ， co ta n ( 2 k ) ta n ( k Z ).其数学意义如何？ 终边相同的角的同名三角函数值相等. 4.角是一个几何概念，同时角的大小也具有数量特征.我们从数
y
y
P（x，y）
M
O
x
M
O
P（x，y）
x
思考：设角α 的终边与单位圆的交点为P，过点P作x 轴的垂线，垂足为M，称有向线段MP，OM分别为角α 的正弦线和余弦线.当角α 的终边在坐标轴上时，角 α 的正弦线和余弦线的含义如何？
y P M P
y
O
x
P
O
x
思考：设α 为锐角，你能根据正弦线和余弦线说 明sinα ＋cosα >1吗？
P
T
o
α
M
A
x
象限角（2）
象限角（3）
轴角（3）
例3在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,
并由此写出角α的集合:
(1)sinα≥
3 2
;
(2)cosα≤-
.1
2
【分析】作出满足sinα=
3 2
,cosα=-
1
的 2
角的终边,然后根据已知条件确定角α终边的范 围.
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【解析】
(1)如图,作直线y=
3 2
3 2
成立的α 的取值
y P P1
y =
P2
O M
a Î ( p 3 2p 3
x
,
)
例4 求函数
f (a ) =
2 co s a - 1
的定义域.
y P2 P O M P1
x = 1 2
x
a ? [
p 3
+ 2k p ,
p 3
+ 2k p ] (k
Z)
课堂小结 1.三角函数线是三角函数的一种几何表示，即用有向线段表
5.利用三角函数线处理三角不等式问题，是一种重 要的方法和技巧，也是一种数形结合的数学思想.
| O M | x co s
M
O
x
P（x，y）
为了简化上述表示，我们设想将线段的两个端点规定 一个为始点，另一个为终点，使得线段具有方向性， 带有正负值符号.根据实际需要，我们规定线段从始 点到终点与坐标轴同向时为正方向，反向时为负方向. 规定了始点和终点，带有方向的线段，叫做有向线段. 由上分析可知，当角α 为第一、三象限角时，sinα 、 cosα 可分别用有向线段MP、OM表示，即MP= sinα ， OM=cosα ，那么当角α 为第二、四象限角时，你能检验 这个表示正确吗？
ta n
y x
AT
O
M
A x
P
T
思考：若角α 为第二象限角，其终边与单位圆的交 y 点为P（x，y），则 ta n x 是负数，此时用哪条 有向线段表示角α 的正切值最合适？
ta n
y x
T
AT
y P A T x
A M O
思考：若角α 为第三象限角，其终边与单位圆的交点 y 为P（x，y），则 ta n 是正数，此时用哪条有向 x 线段表示角α 的正切值最合适？
3 2
交单位圆于A,B两点,连结
OA,OB,则OA与OB围成的区域
即为角α的终边的范围,故满足
条件的角α的集合为
2 a | 2k a 2k , k Z 3 3
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(2)作直线x=-
1 2
交单位圆于C,D
两点,连结OC,OD,则OC与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为 角α终边的范围.故满足条件的 角α的集合为
M A x
3、正射影：过P作PM垂直X轴于点M，
PN垂直Y轴于点N，则点M、N分别 是点P在X轴、Y轴上的正射影
正弦线和余弦线
问题1：如图，设角α 为第一象限角，其终边与单位圆 s 的交点为P（x，y），则 cos x ，in y 都是正数， 你能分别用一条线段表示角α 的正弦值和余弦值吗？
P(x,y)
.
记作 sin ，即 sin ②比值
O
x
．
x r
叫做 的余弦，
x r
记作 cos ，即 cos ③比值