绵阳市高中2012级第一次诊断性考试数 学（理工类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至4页．满分150分．考试时间120分钟．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。

考试结束后，将答题卡交回。

注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。

第Ⅰ卷共10小题。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．00220022221Z|10},{|20},()(){2}(){0}(){1}2()"(0,),21""(0,),21"()"(0,),21""(0,),21"()","","()x x x x x x B x x x A B C D A x x B x x C a b a b a b a b D ∈-≤=--=∅-∀∈+∞>∃∉+∞≤∀∈+∞>∃∈+∞≤>><<、已知集合A={则A B=、下列说法中正确的是命题的否定式命题的否定式命题则的逆否否定式则命222212454","","3{}(1),=2()()()3()66241()3()()3(353cos(),sin 24518()()25n n n n a b ab a b a b a a n s a a a A B C D ABCDEF AD DB A B C D x x A B π+>>≥≥=≥=++=---==±题则的逆否否定式则、设个项均不为0的数列满足是其前n 项和若，则s 、如图，正六边形的边长为，则、已知那么2477()()252525C D -106,10,330()1()2()3()47[,],[,]"sin(sin )cos(cos )22()()()()8()'()0'()(x y x y x y x y x y A B C D x x x x A B C D f x f x x xf x f ππππ-+≥⎧⎪+-≥-⎨⎪--≤⎩∈-∈-<>-、已知满足则2的最大值为、已知则"是"成立"的充要条件必要不充分条件充分不必要条件既不充分又不必要条件、是定义在非零实数集上的函数，为其导函数，且时，0.2220.222(2)(0.2)(log 5))0,20.2log 5()()()()sin()1,09()2log (0,1),0()(0,()(,1)()(0,353510a f f f x a c A a b cB b a cC c a bD c b ax x f x y x a a x A B C D π<===<<<<<<<<⎧-<⎪=⎨⎪>≠>⎩记,b ,,则、已知函数,的图像上关于轴且对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是、13333,R e 1()()()()222x a b ax b ab A e B e C e D e +∈≥+已知且对恒成立，则的最大值是第Ⅱ卷（非选择题，共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答。

作图题可先用笔绘出，确认后再用0.5毫米墨迹签字笔描清楚。

答在试题卷、草稿纸上无效。

第Ⅱ卷共11小题。

二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.3sin 2cos 11.,.32sin cos 12.(1,2),(2,0),(1,2).13.(*)116.a b a b c C q q N p q αααααλλ+=-==+=-=∈=1若tan =-，则已知向量若向量与向量共线，则实数某商场销售某种商品的经验表明，该产品生产总成本与产量的函数关系式为C=100+4q ，销售单价与产量的函数关系式为p=25-q 要使没见产品的平均利润最大，则产量q 等于000032123201414.(),()()()().21201520152015201515.()()()(()||0x fx f f f f x y f x x x f b f a f x y f x b ax y x -=++++=-=-=-=已知函数则定义：如果函数在定义域内给定区间[a,b]上存在(a<<b)，满足)=，则称函数是[a,b]上的“平均值函数”，是它的一个均值点，例如是[-2,2]上的“平均值函数”，就是它的均值点0200()cos 1[2,2]().2()1()ln .f x x a by f x x f x x mx f x x x x ππ=--+=≥=--=∈≥①函数是上的“平均值函数”.②若是[a,b]上的“平均值函数”，则它的均值点③若函数是[-1,1]上的“平均值函数”，则实数m 的取值范围是m (0,2).④若是区间[a,b](b>a 1)上的，给出以下命题：“平均值函数”，是它的一个均值点，则ln 其中的真命题有(写出所有真命题的序号).三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）已知向量m =(sin ωx,cos ωx),n =(cos ωx,cos ωx),其中ω>0,函数 f(x)=2m·n -1的最小正周期为π. (I)求ω的值;(II)求函数f(x)在[,]64ππ上的最大值.17.（本小题满分12分）已知函数2()log (2)f t t =-的定义域为D.(I)求D;(II)若函数g(x)=x 2+2mx-m 2在D 上存在最小值2，求实数m 的值. 18.（本小题满分12分）在∆ABC 中，a,b,c 分别是内角A,B,C 的对边，AB=5，1cos 5ABC ∠=.(I)若BC=2，求sin ACB ∠的值;(II)若D 是边AC 中点，且BD=72，求边AC 的长.19.（本小题满分12分）记公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为Sn,S 3=9，a 3,a 5,a 8成等比数列. (I)求数列{a n }的通项公式a n 及Sn; (II)若22(),1,2,3,,nCn n n a λ=⋅-=⋅⋅⋅问是否存在实数λ，使得数列{Cn}为单调递减数列？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由.20.（本小题满分13分）已知函数f(x)=e x-ax-1(e 为自然对数的底数)，a>0. (I)若函数f(x)恰有一个零点，证明：a a =e a-1;(II)若()0f x x R ≥∈对任意恒成立，求实数a 的取值集合.21.（本小题满分14分）已知函数ln ()=(, 2.71828)xm x nf x m n e e+=⋅⋅⋅为常数，是自然对数的底数,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是2y e=.ln ()=(, 2.71828)xm x n f x m n e e +=⋅⋅⋅为常数，是自然对数的底数(I)求m,n 的值;(II)求()f x 的单调区间;(III)设ln(1)()'()('()())2x e x g x f x f x f x +=其中为的导函数，证明：对任意x>0，g(x)<1+e -2.绵阳市高2012级第一次诊断性考试数学(理工类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． DBDAC BACDA 7.上为cos(cosx)下为sin(sinx)9.原问题等价于函数()sin()1,0()log ()(10),02a g x x x h x x a x π=-<=->><与至少有三个不同交点。

则(5)log ((5))2a h -=-->-即2log 5log a a a ->（a>1显然只有一个交点）10题提示：由1+x e ≥b ax +对x ∈R 恒成立，显然a ≥0，b ≤1+x e -ax ． 若a =0，则ab =0．若a >0，则ab ≤a 1+x e -a 2x ．设函数=)(x f x a ae x 21-+，求导求出f (x )的最小值为a a a a f ln 2)1(ln 22-=-．设)0(ln 2)(22>-=a a a a a g ，求导可以求出g(a )的最大值为32321)(e e g =， 即ab 的最大值是321e ，此时232321e b e a ==，．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．53-12．-1 13．40 14．3021 15．①③④15题提示：①容易证明正确．②不正确．反例：x x f =)(在区间[0，6]上．③正确．由定义：21020m m mx x --=--得1)1(10020+=⇒-=-x m m x x ， 又0x )11(，-∈所以实数m 的取值范围是)20(，∈m ． ④正确．理由如下：由题知ab a b x --=ln ln ln 0．要证明ab x 1ln 0<，即证明： b aa b aba b a b ab a b a b -=-<⇔<--ln 1ln ln ，令1>=t a b ，原式等价于01ln 21ln 2<+-⇔-<tt t t t t ． 令)1(1ln 2)(>+-=t tt t t h ，则0)1(12112)(22222<--=-+-=--='t t t t t t t t h ， 所以0)1(1ln 2)(=<+-=h tt t t h 得证．三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．解：(Ⅰ)=)(x f 2m·n -11cos 2cos sin 22-+⋅=x x x ωωω=)42sin(22cos 2sin πωωω+=+x x x ． ……………………………6分由题意知：π=T ，即πωπ=22，解得1=ω．…………………………………7分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知)42sin(2)(π+=x x f ，∵6π≤x ≤4π，得127π≤42π+x ≤43π， 又函数y =sin x 在[127π，43π]上是减函数，∴ )34sin(2127sin2)(max πππ+==x f …………………………………10分 3sin 4cos23cos4sin 2ππππ+==213+．…………………………………………………………12分17．解：(Ⅰ) 由题知⎩⎨⎧≥->-，，0102t t 解得21<≤t ，即)21[，=D ．……………………3分 (Ⅱ) g (x )=x 2+2mx -m 2=222)(m m x -+，此二次函数对称轴为m x -=．……4分① 若m -≥2，即m ≤-2时， g (x )在)21[，上单调递减，不存在最小值； ②若21<-<m ，即12-<<-m 时， g (x )在)1[m -，上单调递减，]2(，m -上递增，此时22)()(2min ≠-=-=m m g x g ，此时m 值不存在；③m -≤1即m ≥-1时， g (x )在)21[，上单调递增， 此时221)1()(2min =-+==m m g x g ，解得m =1． …………………………11分 综上：1=m ． …………………………………………………………………12分 18．解：(Ⅰ) 51cos 5=∠=ABC AB ，，2BC =，由余弦定理：ABC BC BA BC BA AC ∠⋅⋅-+=cos 2222=52+22-2×5×2×51=25，∴ 5=AC ． ……………………………………………………………………3分又(0,)π∠∈ABC ，所以562cos 1sin 2=∠-=∠ABC ABC ， 由正弦定理：ABC ACACB AB ∠=∠sin sin ， 得562sin sin =∠⨯=∠AC ABC AB ACB ．………………………………………6分(Ⅱ) 以BC BA ，为邻边作如图所示的平行四边形ABCE ，如图，则51cos cos -=∠-=∠ABC BCE ，BE =2BD =7，CE =AB =5，在△BCE 中，由余弦定理：BCE CE CB CE CB BE ∠⋅⋅-+=cos 2222．即)51(5225492-⨯⨯⨯-+=CB CB ，解得：4=CB ． ………………………………………………………………10分 在△ABC 中，335145245cos 222222=⨯⨯⨯-+=∠⋅⋅-+=ABC BC BA BC BA AC ， 即33=AC ．…………………………………………………………………12分 19．解：(Ⅰ) 由832539a a a S ⋅==，，得：⎪⎩⎪⎨⎧+⋅+=+=⨯+，，)7()2()4(9223311211d a d a d a d a 解得：121==d a ，．∴ 1+=n a n ，n n n n S n 2322)12(2+=++=． …………………………………5分 (Ⅱ) 由题知=n c )12(2λ-+n n ．若使}{n c 为单调递减数列，则=-+n n c c 1)22(21λ-++n n -)12(2λ-+n n =0)1224(2<-+-+λn n n 对一切n ∈N *恒成立， …………………8分即： max )1224(01224+-+>⇔<-+-+n n n n λλ，又1224+-+n n =322232)1)(2(22++=++=++nn n n n n n n ，……………………10分 当1=n 或2时， max )1224(+-+n n =31．∴31>λ．………………………………………………………………………12分B CD A E20．(Ⅰ)证明： 由1)(--=ax e x f x ，得a e x f x -=')(．…………………………1分由)(x f '>0，即a e x ->0，解得x >ln a ，同理由)(x f '<0解得x <ln a ， ∴ )(x f 在(-∞，ln a )上是减函数，在(ln a ，+∞)上是增函数， 于是)(x f 在a x ln =取得最小值．又∵ 函数)(x f 恰有一个零点，则0)(ln )(min ==a f x f ， ………………… 4分 即01ln ln =--a a e a ．………………………………………………………… 5分 化简得：1ln 1ln 01ln -=-==--a a a a a a a a a 于是，即，，∴ 1-=a a e a ． ………………………………………………………………… 6分 (Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，)(x f 在a x ln =取得最小值)(ln a f ，由题意得)(ln a f ≥0，即1ln --a a a ≥0，……………………………………8分 令1ln )(--=a a a a h ，则a a h ln )(-='， 由0)(>'a h 可得0<a <1，由0)(<'a h 可得a >1．∴ )(a h 在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，即0)1()(max ==h a h ， ∴ 当0<a <1或a >1时，h (a )<0，∴ 要使得)(x f ≥0对任意x ∈R 恒成立，.1=a ∴a 的取值集合为{1} ……………………………13分21．解：(Ⅰ)由xen x m x f +=ln )(得x xe xmx nx m x f ln )(--='(0>x )． 由已知得0)1(=-='e nm f ，解得m =n ．又ee nf 2)1(==，即n =2，∴ m =n =2．……………………………………………………………………3分(Ⅱ) 由 (Ⅰ)得)ln 1(2)(x x x xex f x --='，令=)(x p x x x ln 1--，)0(∞+∈，x ， 当x ∈(0，1)时，0)(>x p ；当x ∈(1，+∞)时，0)(<x p ，又0>x e ，所以当x ∈(0，1)时，0)(>'x f ； 当x ∈(1，+∞)时，0)(<'x f ， ∴ )(x f 的单调增区间是(0，1)，)(x f 的单调减区间是(1，+∞)．……8分(Ⅲ) 证明：由已知有)ln 1()1ln()(x x x xx x g --+=，)0(∞+∈，x ， 于是对任意0>x ，21)(-+<e x g 等价于)1()1ln(ln 12-++<--e x xx x x ， 由(Ⅱ)知=)(x p x x x ln 1--，)0(∞+∈，x ， ∴ )ln (ln 2ln )(2---=--='e x x x p ，)0(∞+∈，x ． 易得当)0(2-∈e x ，时，0)(>'x p ，即)(x p 单调递增；当)(2∞+∈-，e x 时，0)(<'x p ，即)(x p 单调递减． 所以)(x p 的最大值为221)(--+=e e p ，故x x x ln 1--≤21-+e ．设)1ln()(x x x q +-=，则01)(>+='x xx q ， 因此，当)0(∞+∈，x 时，)(x q 单调递增，0)0()(=>q x q ．故当)0(∞+∈，x 时，0)1ln()(>+-=x x x q ，即1)1ln(>+x x．∴ x x x ln 1--≤21-+e <)1()1ln(2-++e x x．∴ 对任意0>x ，21)(-+<e x g ． ……………………………………………14分。