绵阳市高2015级第一次诊断性考试数学(理工类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． DCDAC BACBD BC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．314．)21()23(∞+--∞，，Y 15．97-16．3935三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．解：（Ⅰ）△ABD 中，由正弦定理BADBDB AD ∠=∠sin sin ， 得21sin sin =∠⨯=∠AD B BD BAD ， …………………………………………4分∴ 66326πππππ=--=∠=∠ADB BAD ，， ∴ 656πππ=-=∠ADC ． ……………………………………………………6分 (Ⅱ)由（Ⅰ）知，∠BAD =∠BDA =6π，故AB =BD =2． 在△ACD 中，由余弦定理：ADC CD AD CD AD AC ∠⋅⋅-+=cos 2222， 即)23(32212522-⋅⋅⨯-+=CD CD ， ……………………………………8分 整理得CD 2+6CD -40=0，解得CD =-10（舍去），CD =4，………………10分 ∴ BC =BD +CD =4+2=6． ∴ S △ABC =33236221sin 21=⨯⨯⨯=∠⨯⨯⨯B BC AB ．……………………12分 18．解：（Ⅰ）设{a n }的公差为d (d >0)，由S 3=15有3a 1+d 223⨯=15，化简得a 1+d =5，① ………………………2分 又∵ a 1，a 4，a 13成等比数列，∴ a 42=a 1a 13，即(a 1+3d )2=a 1(a 1+12d )，化简得3d =2a 1，② ……………4分 联立①②解得a 1=3，d =2，∴ a n =3+2(n -1)=2n +1． ……………………………………………………5分∴)321121(21)32)(12(111+-+=++=+n n n n a a n n ，∴ )32(3)32131(21)]321121()7151()5131[(21+=+-=+-+++-+-=n nn n n T n Λ． ……………………………………………………7分 (Ⅱ) ∵ n n a tT <+11，即122)32(3+<+n n tn，∴ 90)9(12)36304(3)32)(122(32++=++=++<nn n n n n n n t ，………………9分又nn 9+≥6 ，当且仅当n =3时，等号成立， ∴ 90)9(12++nn ≥162， ……………………………………………………11分 ∴ 162<t ． ……………………………………………………………………12分19． 解 ：（Ⅰ）由图得，2=A ． …………………………………………………1分43125343πππ=+=T ，解得π=T ， 于是由T =πωπ=2，得2=ω．…………………………………………………2分 ∵ 2)32sin(2)3(=+=ϕππf ，即1)32sin(=+ϕπ， ∴2232ππϕπ+=+k ，即62ππϕ-=k ，k ∈Z ，又)22(ππϕ，-∈，故6πϕ-=， ∴ )62sin(2)(π-=x x f ． ……………………………………………………3分由已知56)62sin(2=-πα，即53)62sin(=-πα， 因为)30(πα，∈，所以)26(62πππα，-∈-，∴ 54)62(sin 1)62cos(2=--=-παπα． ∴]6)62sin[(2sin ππαα+-==21542353⨯+⨯ =10334+． ………………………………………………………6分 (Ⅱ)由（Ⅰ）知，)34cos()(2)(πλ-+=x x f x g=)34cos()62sin(4ππλ-+-x x=)]62(sin 21[)62sin(42ππλ--+-x x=12])62[sin(222++---λλπx ，…………………8分∵ x ∈]12512[ππ，，于是0≤62π-x ≤32π， ∴ 0≤)62sin(π-x ≤1．………………………………………………………9分①当0<λ时，当且仅当)62sin(π-x =0时，)(x g 取得最大值1，与已知不符．②当0≤λ≤1时，当且仅当)62sin(π-x =λ时，)(x g 取得最大值122+λ，由已知得122+λ=23，解得λ21=． ③ 当λ>1时，当且仅当)62sin(π-x =1时，)(x g 取得最大值4λ-1，由已知得4λ-1=23，解得λ=85，矛盾． 综上所述，λ21=．……………………………………………………………12分 20．解：（Ⅰ）23)(x ke x f x -='．由题知方程23x ke x -=0恰有三个实数根，整理得x e x k 23=．………………………………………………………………1分令x e x x g 23)(=，则xex x x g )2(3)(-='，由0)(>'x g 解得20<<x ，由0)(<'x g 解得2>x 或0<x ，∴ )(x g 在)20(，上单调递增，在)2()0(∞+-∞，，，上单调递减．………3分 于是当x =0时，)(x g 取得极小值0)0(=g ，当x =2时，)(x g 取得极大值212)2(eg =． ………………………………5分 且当-∞→x 时，+∞→)(x g ；当+∞→x 时，0)(→x g ，∴ )120(2ek ，∈．…………………………………………………………………6分(Ⅱ)由题意，23)(x ke x f x -='=0的三个根为123x x x ，，，且123x x x <<，∴ 0<x 2<2，且2223x e x k =， ………………………………………………………8分∴ )20(23232)(2223232223222<<++-=+-=+-=x x x x x x ke x f x ， ………9分 令)20(23)(23<<++-=x x x x μ， 则)2(363)(2--=+-='x x x x x μ，当0<x <2时，0)(>'x μ，即)(x μ在(0，2)单调递增， ……………………11分 ∴ )62()(2，∈x f ． ……………………………………………………………12分 21．解：（Ⅰ）)(x f 的定义域为(0，+∞)．若a <0，12ln 2)2(-=a f <0，与已知矛盾．………………………………1分 若a =0，则1)(+-=x x f ， 显然不满足在(0，+∞)上)(x f ≥0恒成立． …………………………………2分 若a >0，对)(x f 求导可得1ln )(-+='a x a x f ． 由0)(>'x f 解得aa e x ->1，由0)(<'x f 解得0<aa e x -<1，∴ )(x f 在(0， aae -1)上单调递减，在(aa e -1，+∞)上单调递增，∴ )(x f min =)(1aa e f-=1-a aa e -1． ………………………………………………4分∴ 要使)(x f ≥0恒成立，则须使1-a aa e -1≥0成立，即aa e -1≤a1恒成立． 两边取对数得，a a -1≤ln a 1，整理得ln a +a1-1≤0，即须此式成立．令=)(a g ln a +a 1-1，则21)(aa a g -='， 显然当0<a <1时，)(a g '<0，当a >1时，)(a g '>0， 于是函数)(a g 在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)单调递增， ∴ )(a g min ==)1(g 0，即当且仅当a =1时，)(x f min =)1(f =0，)(x f ≥0恒成立， ∴ 1=a 满足条件．综上，a =1．……………………………………………………………………6分 (Ⅱ)由（Ⅰ）知x >1时，1ln +-x x x >0，即x ln >xx 1-恒成立． 令221n n x +=(n ∈N *)，即221ln n n +>1111222+=+-n n n ，即222ln )1ln(11n n n -+<+， …………………………………………………8分 同理，)1ln()2ln(21222+-+<+n n n ， )2ln()3ln(31222+-+<+n n n ， )24ln()14ln(141222---<-n n n ，)14ln()4ln(41222--<n n n， …………………………………………………10分 将上式左右相加得：4ln =．2ln 2=……………………………………12分22．解：（Ⅰ）将C 的参数方程化为普通方程为(x -3)2+(y -4)2=25，即x 2+y 2-6x -8y =0． ……………………………………………………………2分 ∴ C 的极坐标方程为θθρsin 8cos 6+=． …………………………………4分 （Ⅱ）把6πθ=代入θθρsin 8cos 6+=，得3341+=ρ，∴ )6334(π，+A ． ……………………………………………………………6分把3πθ=代入θθρsin 8cos 6+=，得3432+=ρ，∴ )3343(π，+B ． ……………………………………………………………8分∴ S △AO B AOB ∠=sin 2121ρρ 432512+=． ……………………………………………………10分 23．解：（Ⅰ）当x ≤23-时，f (x )=-2-4x ， 由f (x )≥6解得x ≤-2，综合得x ≤-2，………………………………………2分 当2123<<-x 时，f (x )=4，显然f (x )≥6不成立，……………………………3分 当x ≥21时，f (x )=4x +2，由f (x )≥6解得x ≥1，综合得x ≥1， ……………4分 所以f (x )≥6的解集是)1]2(∞+--∞，，Y ．…………………………………5分 （Ⅱ）)(x f =|2x -1|+|2x +3|≥4)32()12(=+--x x ，即)(x f 的最小值m =4． ………………………………………………………7分 ∵ b a 2⋅≤2)22(b a +， …………………………………………………………8分 由224ab a b ++=可得)2(4b a +-≤2)22(b a +， 解得b a 2+≥252-，∴ b a 2+的最小值为252-．………………………………………………10分。