工程硕士《数值分析》总复习题（2013年用）[由教材中的习题、例题和历届考试题选编而成,供教师讲解和学生复习用]疑课上的笔记整理，如有错漏，欢迎指出；碍于本人水平有限，部分题目未有解答。

祝各位考试顺利！ 一. 解答下列问题:1）下列所取近似值有多少位有效数字( 注意根据什么? ):a) 对 e = 2.718281828459045…,取*x = 2.71828( 答: 6 位 (因为它是按四舍五入来的) )b) 数学家祖冲之取 113355作为π的近似值.( 答: 7 位 ( 按定义式621113355101415929.31415926.3-⨯≤-=-ΛΛπ 推得 ) ) c) 经过四舍五入得出的近似值12345，-0.001, 90.55000, 它们的有效 数字位数分别为 5 位, 1 位, 7 位。

2) 简述下名词:a) 截断误差 (不超过60字) (见书P.5)答：它是指在构造数值计算方法时，用有限过程代替无限过程或用容易计算的方法代替不容易计算的方法，其计算结果所存在的误差b) 舍入误差 (不超过60字) (见书P.6)答：对原始数据、中间计算结果和最后计算结果，都只能取有限位数表示，这就要求进行“舍入”，这时所产生的误差就是舍入误差。

c) 算法数值稳定性 (不超过60字) (见书P.9)答：是指算法在执行过程中，某阶段所产生的小误差在随后的阶段中不会被积累或放大，从而不会严重降低全部计算的精确度。

3) 试推导( 按定义或利用近似公式 ): 计算3x 时的相对误差约等于x 的相对误差的3倍。

(参考书P.7例1.2.3)4) 计算球体积334r Vπ= 时,为使其相对误差不超过 0.3% ,求半径r 的相对误差的允许范围。

(见书P.7例1.2.3) 注意，有两种解法，任选其一。

5） 计算下式3418)1(3)1(7)1(5)1(22345+-+---+---=x x x x x x P）（ 时,为了减少乘除法次数, 通常采用什么算法? 将算式加工成什么形式?( 参考书P.43习题1.9(1)及其答案 )6) 递推公式 ⎪⎩⎪⎨⎧=-==-Λ,2,1,110210n y y y n n如果取*041.12y y =≈= ( 三位有效数字 ) 作近似计算， 问计算第 3 页 (共 18 页)到10y 时误差为初始误差的多少倍？ 这个计算过程数值稳定吗 ？( 本题略 ) 二. 插值问题: 1) 设函数)(x f 在五个互异节点 54321,,,,x x x x x 上对应的函数值为54321,,,,f f f f f ，根据定理，必存在唯一的次数 （A ） 的插值多项式)(x P ，满足插值条件 ( B ) . 对此，为了构造Lagrange 插值多项式)(x L ,由5个节点作 ( C ) 个、次数均为 ( D ) 次的插值基函数)(x l i 为 _（E ） ， 从而得Lagrange 插值多项式)(x L 为 （F ） ,而插值余项 )()()(x L x f x R -== （G ） 。

A. 4≤B. 5,,2,1,)(Λ==i f x P i iC. 5D. 4E. 5,,2,1,)(5,1Λ=--=∏≠=i x x x x x l i j j ji j iF. i i i f x l x L )()(51∑==G.,)()(!515)5(x f ωξ其中ξ在54321,,,,x x x x x 与x 之间,)())(()(5215x x x x x x x ---=Λω2 ) 试用三种方法求过三个离散点：A （0，1） 、B （1，2） 、C （2，3） 的插值多项式。

( 方法一. 见P.46 例2.1.1方法二. 利用Lagrange 插值公式 方法三. 画图并根据定理分析 )方法一：方法二：方法三：第 5 页 (共 18 页)3） 求函数x e x f -=)( 在 [ 0 , 1 ]上的近似一次插值多项式。

( 见习题2.4 及答案. )4 ) 由函数值表:x : 1 2 3x e - : 0.367879441 , 0.135335283 , 0.049787068求1.2-e的近似值.( 解略 ) 5) 利用插值方法推导 x i ji jx ni ni j j =--∑∏=≠=][,0 (本题略) 三. 拟合问题:1) 对离散实验数据做最小二乘拟合的两个主要步骤是 ( A ) 和 ( B ) .( 见教材P. 98 )2) 对同一个量的多个近似值, 常取其算术平均作为该量的近似值, 这种做法的意义是什么?( 答: 在最小二乘意义下误差最小 )3) 设有实验数据如下：x 1.36 1.73 1.95 2.28f14.094 16.844 18.475 20.963按最小二乘法求其拟合曲线。

( 解略 ) 4) 已知某试验过程中函数f 依赖于x 的试验数据如下：i x ： 1 2 3 4i f ： 0.8 1.5 1.8 2.0试按最小二乘法拟合出一个形如 2bx ax S+= 的经验公式。

( 见习题3.6 本题取210)(,)(x x x x ==ϕϕ )5 ) 设有实验数据如下：x 1 2 3 4f4 10 18 26按最小二乘法拟合出一个形如 2bx a S+= 的经验公式 。

( 参考习题3.7 . 取210)(,1)(x x x ==ϕϕ )第 7 页 (共 18 页)四. 数值求积:1) 写出数值求积公式的一般形式, 指出其特点, 并说明它对计算机的计算有什么意义?( 答:()() nbk k ak f x dx A f x =≈∑⎰下见书P.130 第7行)2) 简述数值求积公式的 ”代数精度” 的概念.( 见书P.131定义4.1.1 )3) 插值型求积公式()() nbk k ak f x dx A f x =≈∑⎰中,每个系数可用公式k A =( A ) 计算,它们之和∑=nk kA= ( B ) , 其代数精度 ( C ) .又Newton-Cotes 公式的一般形式为 ( D ) , 其主要特点是 ( E ) , 其 Cotes 系数之和∑=nk n kC)(= ( F ) , 其代数精度 ( G ) ;( A. 见书P.130 公式(4.1.5) B. 见书P.135 公式(4.2.11) C. 见书P.131 定理4.1.1 D. 见书P.132 公式(4.2.3) E. 等距节点F. 1 . 见书P.134 公式(4.2.9)G. 见书P.133 第12-13行 )4) 考察数值求积公式⎰--++-≈11101)1()0()1()(f A f A f A dx x f ,直接指出: 它是什么类型的公式? 为使其精度尽可能高,101,,A A A -应取什么确值? 它是不是Gauss 型公式?( 见习题4.6及答案 )5 ) 求dx x I⎰+=1311的近似值, 试写出使用11个等分点函数值的求积 公式( 要求只列出数值公式,不需要求出具体结果 )。

( 参见下面第7)小题 )6 ) 利用复化Simpson 公式求积分 dx x I⎰=21的近似值（只需列出算式） 。

( 参见下面第7)小题 )第 9 页 (共 18 页)7) 利用现成函数表，分别用复化梯形公式n T 和复化Simpson 公式n S 计算积分ϕϕπd I ⎰-=62sin 4 ϕ ϕ2sin 4-0 2π 9981001.1362π 9924473.1 363π 9831825.1364π 9705386.1365π 9548386.1366π9364917.1[解] 用复化梯形公式n T 计算035622.1734725.230436332.0]9364917.18991171.922[72]9364917.1)9548386.19705386.19831825.19924473.19981001.1(22[72])366())365()362()36((2)0([2366≈⨯≈+⨯+=+++++⨯+=+++++=≈πππππππf f f f f T I Λ用复化Simpson 公式n S 计算, 仍使用且只使用7个节点的函数值, 这时子区间长度为复化梯形公式n T 的2倍, 即 18π=h :0366758.1638316.3502908888.0]9364617.18945718.7807284.232[108]9364917.19472859.329518212.542[108]9364917.1)9548386.19924473.1(2)9705386.19831825.19981001.1(42[108])366())364()362((2))365()363()36((4)0([6183≈⨯≈+++=+⨯+⨯+=++⨯+++⨯+=++++++=≈ππππππππππf f f f f f f S I注意: 1. 本题因函数值计算较复杂, 故给出函数值表, 在其它题中函数值要你现场计算.2. 若无带计算器, 则要列出前面两个等号的具体数值信息, 而不仅仅只列一般公式.五. 解线性代数方程组的直接法:1） Gauss 消去过程中引入选主元技巧的目的是下列中的哪一项或哪几项？A ．提高计算速度；B ．提高计算精度；C ．简化计算公式；第 11 页 (共 18 页)D ．提高计算公式的数值稳定性；E ．节省存储空间。

( 选 B, D )2） 采用“列主元Gauss 消去法” 解下列方程组：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡565331743532321x x x a) 用 ”列主元Gauss 消去过程” 将方程组约化成上三角方程组; b) 用 ”回代过程” 依次列式计算出方程组的解。

( 搞懂P.177的例5.2.2 (但这里不用求行列式的值A det ))3) 设方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---6745150710623321x x x 现采用“列主元Gauss 消去法”求解，试回答： a ） 所用列主元Gauss 消去法包括哪两个过程？( 列主元Gauss 消去过程和回代过程 )b ） 要用几步消元？( 2步 )c ） 每一步消元计算之前需做哪些工作（用简短、准确的文字叙述）? ( 按列选主元; 必要时换行 )d ）现经第１步消元结果, 上述方程组已被约化为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--251061321251017560710x x x 请你继续做消元计算, 直至约化成上三角方程组。

( 解: 第二步消元:按列选主元为25 , 换行得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--106125321101257650710x x x消元计算: 2512510132)()(-==-l 531251335)(6=⨯--=a53125251106134)(=⨯--=a于是得上三角方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-5312532153125750710x x x ) e ）对所得上三角方程组依次列式计算出方程组的解。