有限元第9讲动力学问题有限单元法
动力学问题是指研究物体在运动中的受力和受力作用下的运动状态，常见的应用是结构工程学中的振动分析。

有限单元法是解决结构工程学中动力学问题的常用方法之一。

本文将介绍动力学问题和有限单元法的基本概念，并介绍其应用。

动力学问题的定义
动力学是研究质点或刚体运动情况的分支学科，在结构工程学中是指结构在做振动时所受的力和运动状态。

动力学问题可以分为两种类型：稳态动力学问题和非稳态动力学问题。

稳态动力学问题是指结构在振动状态下所受的恒定力，而非稳态动力学问题则是指结构所受的变化的力，例如冲击力或地震力。

动力学问题的求解包括两个方面：一是确定受力情况；二是求解结构的运动状态。

确定受力情况通常需要通过实验或计算确定，求解结构运动状态则可以通过有限单元法来解决。

在结构工程学中，动力学问题的应用非常广泛。

例如，建筑物抗震设计需要对建筑物在地震作用下的反应进行分析，桥梁工程需要对桥梁在行车作用或风力作用下的振动响应进行分析。

有限单元法的基本概念
有限单元法是一种将结构离散成若干小单元的数值分析方法，将结构分割成细小的单元，每个单元内部假设为均匀且连续的，通过对单元本身的运动状态进行求解，进而推知整个结构的运动状态。

有限元法用于解决的问题包括静力学问题、动力学问题、热力学问题和流体问题等。

有限单元法求解动力学问题的步骤主要包括如下几个步骤：
1.离散化：将连续结构离散化成有限的小单元，每个单元内部运动状态
通过定义一定数量的节点来确定。

2.建立单元的动力学方程：根据单元的形状和材料性质，建立单元的动
力学方程，并计算单元的振动特性，例如频率和模态。

3.组装单元的方程：将单个单元的方程组装成整个结构的方程。

4.边界条件的处理：利用结构的边界条件（例如支撑、铰支等），将结
构自由度减少到实际问题所需要的自由度。

5.求解结构的运动状态：通过求解整个结构的方程，得到结构的运动状
态。

6.后处理：根据求解结果，进行结果的可视化和分析。

有限单元法在动力学问题中的应用
由于在动力学问题中，结构往往是在变形和振动的状态下，因此需要将结构的
动力特性考虑进入计算过程中。

即需要构建结构的动力学方程，并计算其动力学特性，例如频率和模态。

有限单元法可以将结构离散化成若干小单元，并利用单元的动力学方程求解结
构的运动状态。

在求解过程中，需要考虑单元的刚度矩阵和质量矩阵，以及结构的边界条件。

有限单元法求解动力学问题的优点在于可以在数值计算过程中引入材料的非线性，并且可以考虑结构的动力学特性。

同时，有限单元法也可以考虑非线性约束、不稳定行为和失效分析等问题。

除了有限单元法外，还有其他求解动力学问题的方法，例如振动法和动力学数
值模拟方法。

使用不同的方法求解动力学问题，需要根据实际情况和要求进行选择。

动力学问题是结构工程学中的重要应用之一，在解决动力学问题中，有限单元
法是一种常用的方法。

通过离散化、建立单元的动力学方程、组装单元的方程、边界条件的处理、求解结构的运动状态和后处理等步骤，可以使用有限单元法解决结构在振动状态下的动力学问题。

在使用有限单元法求解动力学问题时，应根据实际情况和要求选择不同的方法，以获得合适的结果。