第一章经典控制理论和现代控制理论本学期学习了现代控制理论课程的主要内容，现代控制理论建立在状态空间法基础上的一种控制理论，是自动控制理论的一个主要组成部分。
在现代控制理论中，对控制系统的分析和设计主要是通过对系统的状态变量的描述来进行的，基本的方法是时间域方法。
现代控制理论比经典控制理论所能处理的控制问题要广泛得多，包括线性系统和非线性系统，定常系统和时变系统，单变量系统和多变量系统。
它所采用的方法和算法也更适合于在数字计算机上进行。
现代控制理论还为设计和构造具有指定的性能指标的最优控制系统提供了可能性。
现代控制理论的名称是在1960年以后开始出现的，用以区别当时已经相当成熟并在后来被称为经典控制理论的那些方法。
现代控制理论已在航空航天技术、军事技术、通信系统、生产过程等方面得到广泛的应用。
现代控制理论的某些概念和方法，还被应用于人口控制、交通管理、生态系统、经济系统等的研究中。
以下是经典控制理论和现代控制理论的比较：1、经典控制理论：(1)理论基础：Evens的根轨迹，Nyquist稳定判据。
(2)研究对象：线性定常SISO系统分析与设计。
(3)分析问题：稳、准、快(4)采用方法：是以频率域中传递函数为基础的外部描述方法。
(5)数学描述：高阶微分方程、传递函数、频率特性;方块图、信号流图、频率特性曲线。
(6)研究方法：时域法、根轨迹法、频率法。
2、现代控制理论：(1)理论基础：李雅普诺夫稳定性理论，Bellman动态规划，Понтрягин极值原理，Kalman 滤波。
(2)研究对象：MIMO系统分析与设计（复杂系统：多变量、时变、非线性）(3)分析问题：稳、准、快(4)设计（综合）问题：1)采用方法：是以时域中（状态变量）描述系统内部特征的状态空间方法为基础的内部描述方法。
2)数学描述：状态方程及输出方程、传递函数阵、频率特性；状态图、信号流图、频率特性曲线。
3)研究方法：状态空间法（时域法）、频率法。
多采用计算机软硬件教学辅助设计——MATLAB软件(5)特点：1）系统：MIMO、非线性、时变。
2）方法将矩阵理论和方法应用到控制理论中，不仅能描述系统的输入与输出之间的关系，而且在任何初始条件下，都能揭示系统内部的行为。
3）一个复杂系统可能有多个输入和多个输出，并且以某种方式相互关联或耦合。
为了分析这样的系统，必须简化其数学表达式，转而借助于计算机来进行各种大量而乏味的分析与计算。
从这个观点来看，状态空间法对于系统分析是最适宜的。
第二章 现代控制理论的主要方法一、变分法1.1、变分法的基本概念 1.1.1 、泛函的概念设S 为一函数集合，若对于每一个函数S t x ∈)(有一个实数J 与之对应，则称J 是定义在S 上的泛函，记作))((t x J 。
S 称为J 的容许函数集。
例如，在],[10x x 上光滑曲线y(x)的长度可定义为⎰'+=121x x dx y J （2）考虑几个具体曲线，取1,010==x x ，若x x y =)(，则⎰=+==1211)())((dx x J x y J若y(x)为悬链线，则⎰⎰-----=+=-+=+101012224)(1)2(e e dx e e dx e e e e J xx x x x x 对应],[101x x C 中不同的函数y(x)，有不同曲线长度值J ，即J 依赖于y(x)，是定义在函数集合],[101x x C 上的一个泛函，此时我们可以写成))((x y J J =我们称如下形式的泛函为最简泛函⎰=ft t dt t xt x t F t x J 0))(),(,())(( （3） 被积函数F 包含自变量t ，未知函数x (t)及导数x(t)。
上述曲线长度泛函即为一最简泛函。
1.1.2 、泛函极值问题考虑上述曲线长度泛函，我们可以提出下面问题：在所有连接定点),(),(1100y x B y x A 和的平面曲线中，试求长度最小的曲线。
即，求{}1100101)(,)(],,[)()()(y x y y x y x x C x y x y x y ==∈∈，使⎰'+=121))((x x dx y x y J取最小值。
此即为泛函极值问题的一个例子。
以极小值为例，一般的泛函极值问题可表述为，称泛函))((t x J 在S t x ∈)(0取得极小值，如果对于任意一个与)(0t x 接近的S t x ∈)(，都有))(())((0t x J t x J ≥。
所谓接近，可以用距离ε<))(),((0t x t x d 来度量，而距离可以定义为|})()(||,)()({|m ax ))(),((0000t x t xt x t x t x t x d ft t t --=≤≤泛函的极大值可以类似地定义。
其中)(0t x 称为泛函的极值函数或极值曲线。
1.1.3 泛函的变分如同函数的微分是增量的线性主部一样，泛函的变分是泛函增量的线性主部。
作为泛函的自变量，函数)(t x 在)(0t x 的增量记为)()()(0t x t x t x -=δ也称函数的变分。
由它引起的泛函的增量记作))(())()((00t x J t x t x J J -+=∆δ如果J ∆可以表为))(),(())(),((00t x t x r t x t x L J δδ+=∆其中L 为x δ的线性项，而r 是x δ的高阶项，则称L 为泛函在)(0t x 的变分，记作))((0t x J δ。
用变动的)(t x 代替)(0t x ，就有))((t x J δ。
泛函变分的一个重要形式是它可以表为对参数α的导数：0))()(())((=+∂∂=ααδαδt x t x J t x J （4） 这是因为当变分存在时，增量)),(()),(())(())((x t x r x t x L t x J x t x J J αδαδαδ+=-+=∆ 根据L 和r 的性质有)),(()),((x t x L x t x L δααδ=0)),((lim)),((lim00==→→x xx t x r x t x r δαδαδααδαα所以ααδαδααα)()(lim )(00x J x x J x x J -+=+∂∂→=)(),(),(),(limx J x x L x x r x x L δδααδαδα==+=→1.2 泛函极值的相关结论1.2.1 泛函极值的变分表示利用变分的表达式（4），可以得到有关泛函极值的重要结论。
泛函极值的变分表示：若))((t x J 在)(0t x 达到极值（极大或极小），则0))((0=t x J δ （5）证明：对任意给定的x δ，)(0x x J αδ+是变量α的函数，该函数在0=α处达到极值。
根据函数极值的必要条件知0)(00=+∂∂=ααδαx x J 再由（4）式，便可得到（5）式。
变分法的基本引理：],[)(21x x C x ∈ϕ，],[)(211x x C x ∈∀η，0)()(21==x x ηη，有⎰≡210)()(x x dx x x ηϕ，则],[ ,0)( 21x x x x ∈≡ϕ。
证明略。
1.2.2 泛函极值的必要条件考虑最简泛函（3），其中F 具有二阶连续偏导数，容许函数类S 取为满足端点条件为固定端点（6）的二阶可微函数。
00)(x t x =，ff x t x =)( （6）泛函极值的必要条件：设泛函（3）在x(t)∈S 取得极值，则x(t)满足欧拉方程0=-x x F dtd F （7） 欧拉方程推导：首先计算（3）式的变分：0))()((=+∂∂=ααδαδt x t x J J ⎰=++∂∂=f t t dt t x t xt x t x t F 00))()(),()(,(ααδαδα⎰+=ft t x x dt x xx t F x x x t F 0]),,(),,([ δδ 对上式右端第二项做分布积分，并利用0)()(0==f t x t x δδ，有⎰⎰-=fft t x t t x xdt xx t F dtddt x xx t F 0),,(),,(δδ ， 所以⎰-=ft t x x xdt F dtd F J 0][δδ 利用泛函极值的变分表示，得0][0=-⎰ft t x x xdt F dtd F δ 因为x δ的任意性，及0)()(0==f t x t x δδ，由基本引理，即得（7）。
（7）式也可写成0=---x F x F F F x x x x x t x（8） 通常这是关于x(t)的二阶微分方程，通解中的任意常数由端点条件（6）确定。
1. 3 几个经典的例子 1.3.1 最速降线问题最速降线问题 设A 和B 是铅直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结A 和B 的平面曲线中，求一曲线，使质点仅受重力作用，初速度为零时，沿此曲线从A 滑行至B 的时间最短。
解 将A 点取为坐标原点，B 点取为B(x 1,y 1)，如图1。
根据能量守恒定律，质点在曲 线)(x y 上任一点处的速度dtds满足（s 为弧长） mgy dt ds m =⎪⎭⎫⎝⎛221将dx x y ds )('12+=代入上式得 dx gyy dt 2'12+= 图1最速降线问题于是质点滑行时间应表为)(x y 的泛函dx gyy x y J x ⎰+=222'1))(( 端点条件为11)(,0)0(y x y y ==最速降线满足欧拉方程，因为yy y y F 2'1)',(+=不含自变量x ，所以方程（8）可写作0''''''=--y F y F F y y yy y等价于0)'('=-y F y F dxd作一次积分得12)'1(c y y =+ 令 ,2'θctgy =则方程化为)cos 1(22sin '112121θθ-==+=c c y c y 又因θθθθθθd c ctg d c y dy dx )cos 1(222cos 2sin '11-===积分之，得2)sin (2c cx +-=θθ 由边界条件0)0(=y ，可知02=c ，故得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=).cos 1(2)sin (211θθθc y c x 这是摆线（园滚线）的参数方程，其中常数1c 可利用另一边界条件11(y x y =）来确定。
1.3.2 最小旋转面问题最小旋转面问题 对于xy 平面上过定点),(11y x A 和),(22y x B 的每一条光滑曲线)(x y ，绕x 轴旋转得一旋转体。