2017年广州一模（文数）试题及答案2017年广州市一模(文科数学)第I卷一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)复数右的虚部是(B) 135(4)阅读如图的程序框图. 的值为(A) 2(D)(5)已知函数f x2 2 （6）已知双曲线cA (C)1(2)已知集合(A) 1(D) 22x x ax 0 0,1 ,贝V实数a的值为(B) 0(C)(3)已知tan(D ) 22，且0,2，则cos21Jlog2 x,(C )输(B)x35x(A ) 3( B ) 2 ( c )2七i 的一条渐近线方程为a 42x 3y 0,»F 2分另U是双曲线C 的左，右焦点，点P 在双曲线C 上, 且I PR 2,则PF 2等于（A ）4（ B ）6（ C ）(D)10（7）四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放 着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的 硬币•若硬币正面朝上，则这个人站起来；若 硬币正面朝下，则这个人继续坐着•那么，没 有相邻的两个人站起来的概率为 （A） I（ B ）16（C）（D）97（8）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线 画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为8,则该几何体的俯视图可以是（A）（B）（c）（D）（9）设函数f x X3ax2，若曲线y f x在点P x。

, f x。

处的切线方程为x y 0，则点P的坐标为（A ）0,0 （B ）i, i（C ）1,1 （D ）i, i 或i,i（10）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑. 若三棱锥P ABC为鳖臑,PA丄平面ABC,PA AB 2 , AC 4,三棱锥P ABC的四个顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为(A)8(B) 12 (C ) 520（ D ） 24（11）已知函数fx sin x cos x 0,0奇函数，直线y .2与函数f x 的图象的两个相邻交点的 横坐标之差的绝对值为q 则 （A ） f x 在o,-上单调递减 （B ） f x在8令上单调递减8 8（C ） f x 在0,-上单调递增 （D ） f x在«，3T 上单调递增8 8（12）已知函数fX cos X,则―f盏的 值为（A ） 2016（B ） 1008（C ）504（ D ） 0第H 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第 13〜 21题为必考题，每个考生都必须作答。

第22〜23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本小题共4题，每小题5分。

(13)已知向量a1,2， b x, 1，若a II(a b)，则(14)若一个圆的圆心是抛物线x2 4y的焦点，且该圆与直线y x 3相切，则该圆的标准方程是____________ .(15)满足不等式组X y 1 X y 3 °，的点x,y组成0 x a的图形的面积是5,则实数a的值为 __________ .(16) 在^ ABC 中,ACB 60 ,BC 1,AC AB P 当^ ABC的周长最短时,BC的长是_______ .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

(17)(本小题满分12分)已知数列｛a n｝的前n项和为S n，且S n 2a” 2 (n N*).(I)求数列｛a n｝的通项公式；(n )求数列｛S n｝的前n项和T n .(18)(本小题满分12分)某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题.该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各• •抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值•若该项质量指标值落在195,210内，则为合格品，否则为不合格品.表1是甲流水线样本的频数分布表，图1是乙流水线样本的频率分布直方图.质量指标值(190,1表1：甲流水线样本的频数分布表图1：乙流水线样本频率分布直方图(I)根据图1，估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；（U ）若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了 5000件产品，则甲，乙两 条流水线分别生产出 不合格品约多少件？（皿）根据已知条件完成下面 2 2列联表，并回答是否有85%的把握认为该企业生产的这 种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线 的选择有关” ？abed a e b d本容附:（19）（本小题满分12分）如图1,在直角梯形ABCD中，AD〃BC, AB丄BC , BD 丄DC,点E是BC边的中点,将△ ABD沿BD折起，使平面ABD丄平面BCD，连接AE , AC , DE ,得到如图2所示的几何体.(I)求证：AB丄平面ADC ；(U )若AD 1, AC与其在平面ABD内的正投影所成角的正切值为6，求点B到平面°ADE的距离火厶[Z '、B EB E C图1图2(20)(本小题满分12分)已知椭圆C:与£ 1a b 0的离心率为二，且过a b 2 7点 A 2,1 .(I )求椭圆C的方程；(n )若P，Q是椭圆C上的两个动点，且使PAQ的角平分线总垂直于X轴，试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由(21)(本小题满分12分)已知函数f X In x a a 0 .x(I )若函数f X有零点，求实数a的取值范围；(n )证明：当a£时，fx e x.请考生在第22〜23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

(22)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线I的参数方程为x 3 t，(t为参数).在以坐标原点为极点，y 1 tx轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C: 2'cos 7.(I)求直线I的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(H )求曲线C上的点到直线|的距离的最大值.(23)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f X x a 1 x 2a .(I )若f 1 3，求实数a的取值范围； (n )若 a 1,xR ,求证：f X 2.2017年广州市普通高中毕业班综合测试(一)文科数学试题答案及评分参考评分说明:1 •本解答给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3•解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数.选择题不给中间分.•、选择题(1) B(2) A(3) C(4)B (5) A(6) C(7) B(8) C(9) D(10)C (11) D(12) B1、填空题(13) 5 ( 14) x2y 122( 15)3 (⑹1乎三、解答题(17) 解:(I )当 n 1 时，S !2a !2,即a i 2a 2, (1)分 解得a 12．2分n 2时a n S n S n1(2a n 2) (2a n 12) 2a n 2a n1，a n2 an 1, ................... 4分所以数列 {a n} 是首项为 2，公比为 2的等比数列. ............................ 5分所 以a n 2 2n 1 2n(n N *). ................................. 6分 (n )因 为S n 2a ” 2 2n1 2 ,..................................................................... 8分T n S S2 S n192 3 n 12 2 2 2n …......... 10分4 1 2n2n1 2............ 11分2n 2 4 2n . ............................................ 12分(18)解：(I)设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为X，因为0.48 0.012 0.032 0.052 5 0.5 0.012 0.032 0.052 0.076 5 0.86，............................ 1分则0.012 0.032 0.052 5 0.076 x 205 0.5, ....................................... .......3分解得T n S S2 S nX越.....19(H)由甲，乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有15件, 则甲流水线生产的产品为不合格品的概率1550 10'乙流水线生产的产品为不合格品的概率为P乙0.012 0.028 5 -，* ... 6分5于是，若某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线生产的不合格品件数分别为：3 15000 =1500,5000 -=100010 5……8分(川)2 2列联表:10分K2 100 350 600 24 1.3 ,50 50 75 25 3 ‘............ 11分因为 1.3 2.072,所以没有85%的把握认为该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”............... ...................... 12分(19)解：(I ) 因为平面ABD丄平面BCD，平面ABD I平面BCD BD ,又BD丄DC , 所以DC丄平面ABD .............................................................................■1分因为AB 平面ABD , 所以DC 丄AB ................................. …2分又因为折叠前后均有AD丄AB , DC P AD D , 3 分所以AB 丄平面ADC . ........................... ............... 4分(fl )由(I)知DC丄平面ABD ,所以AC在平面ABD 内的正投影为AD ,即/ CAD为AC与其在平面ABD内的正投影所2 6成角.依题意 tan CAD CD -.6 , CD AB ADAB 因V6.•… 设AB 因DCBD ‘即x 1解2,BD AD 1,,则 BDx 2 1, ABD〜△ BDCx 23,BC6 1， 得3x .2…8分由于AB 丄平面ADC , 由平面几何知识得 AB AE BC 2 AC , E 为BC 的中点, 32 ,同理DE -BC2所1 S)ADE =仓M2 V A BCD鼢-|2 = 鼢桫2 9分 因为DC X CD S ABD —. 3 3 ABD, 所以 ……10分设点B 到平面ADE的距离为 d ,则3d S ADEVB ADEVA BDE—V A BCD11分所以d £ ,即点B 到平面ADE 的距离为............... 12分(20) 解: (I )因为椭圆C 的离心率为于，且过点A2,1,b 2 1c 43 ..................................................................................a 2....... 2分因为 a 2b 2c 2,解 得a 2 8,圧2,............ 3分所以椭圆C 的方程为.... 4分(n )法 1：因为PAQ 的角平分线总垂直于x 轴，所 以PA 与AQ 所在直线关于直线x 2对称•设直线PA 的斜率为k ,则直线AQ 的斜率 为k . ....................... 5分所以直线PA 的方程为y 1 k x 2 ,直线AQ 的方、一68 2y p y Qk x pX Q 48k 1 4k 2程为y 1 k x 2 .设点 P X p,y p, Q x Q ,y Q,y 1 k x 2 , t »鳥 1,消去 ¥,得14k2 x2①因为点A 2,1在椭圆C 上，所以x 2是方程①的一 216k 16k 41 4k 2................ 7分 同8 k 2 8k 2 1 4 k 216k 1 4k 2.............. 9分 又2 216k 8k x 16k16k 4.个根,则2xpxP8k 2 8k 2 1 4k 2X p1.③•••11 分所以直线PQ 的斜率为定值，该值为12因为PAQ 的角平分线总垂直于x 轴,所以PA 与 AQ所在直线关于直线x 2对称.因为点P ,Q X 2,y 2在椭圆C 上,2 2所以中岁1，②由②得X 24 4 y 21 0 ,得=k pQ........ 10分 所以直线PQ的斜率为法2:设点P X 1,y 1 ,Q X 2,y 2则直线PA 的斜率kpA% 1 x 1 2直线QA 的斜率y 2 1 x 2 2kPA kQAy 1 X | 2y 2 1 x 2 2X 1 2 4 y 1 1y P yX211.③④ ................. 6分同 理 由 ③ 得y 1X 2 2 x 2 24 y 2 1化简4 y 1 14 y 2 1得 約2 沁X 1 X 2 2⑥…8分由①得X 1 y 2 X ? yx 1 x 2 2⑦…9分 ⑥⑦2 y i y 2.x-i 2 X x 2y 210分y 1 y为 X21 x , X 24 y 1y 22 '11分所以直线PQ 的斜率为k pQx 1 x 2值 .................................................. 12分法3：设直线PQ 的方程为y kx b ，点P X 1,*1,Q X 2,*2,贝y y 1kx1b, y 2 kx ? b,直线PA 的斜率k pA:^ ,直线QA 的斜率X i由y 2 x kx b,y 2消去y 得4k 28 2 1，则8kb i4b 2 8x-1 x 2,X X ,4k 2 1 4k 2 1 1....... 8分代入(*)得—4b 4 04k 214k 21J (9)分b 2k 1因为PAQ 的角平分线总垂直于x 轴,所以PA 与AQ所在直线关于直线x 2对称. 所以k pAk QA, 即卩y 1 y 2 1 .......................................................................................x ( 2x 2 2 J6分 化简得 x 』2X2% 为 X 22 % y 24 0.把y kx ,b,y 2kx 2b 代入上式，并化简得2k^x 2 b 1 2k x , x 2 4b 4 0.(*) ......................... 7 分y 2 1.......................................................x 2 2 '1x 2 8kbx 4b 2 8 0,22k 4b 8 8kb b 1 2kb 1 2k............ 10分若b 1 2k ,可得方程(**)的一个根为2，不合题意 ........................................... 11分若k 1时,合题意.所以直线PQ 的斜率为定值，该值为12分 (21) 解： (I )法1:函数fx ln x —xx lnx a的定义域为0,x‘ 1 a x a f x2 —.x x x…1分因为a 0,则 所以函数f 调递增.•……当时,f x 0 ； x a,时，f 在0,a上单调递减,在a, 2分时0,ax 0.上单x In a 1 .min当Ina 1 0即0 a 1时,又f 1 ln1 a a 0,则函) e数f x有零点•…4分所以实数a的取值范围为0,-e法2：函数f x lnx a的定义域为0,xaf x In x 0a xl nx .................................................■……1分令g x xlnx，贝y g x当x 0,1时,g x 0；e单调递减•时,函数g x取得1 , 1 1Ine e e函数f x lnx卫有零点,x g x 0.所以函数gx在0,1e上单调递增,i所以实数a 的取值范围为0,1 e... 5分(n )要证明当a 2时,f x e x,e即证明当X 0, a 2时,lnx 空e x,即 exxln x a xe x■则 h x In x 1.当 Ox 1时,f x 0；当 x 1时,f x 0. e e单调递增.当h xmin① .......................... 8分 ^令 x xe x,贝卩 x e xxe xe x1 x .当 0 x 1 时,f x 0；当 x 1 时,f x 0 .所以函数hx在O,1上单调递减,在】,e e所以函数x在0,1上单调递增,在1,上单调递减•当1XmaxD② ...................................................................... …10分显然，不等式①、②中的等号不能同时成立•........................ 11分故当 a 2 时，X ........................................................................................f x e . ...................................................................................... .......... 12分(22)解:(I ) 由X 3 t，消去t 得y 1 t,X y 4 0 , ................................................................................ ……1分所以直线l的普通方程为X y 4 0 . ................................................................................ .. 2分由3分2 2 cos2 2 cos cos- 4 sin sin — 2cos 2sin 4 4 2 2 cos 2 sin 将2 x 2 得曲线 2 2 x 1 y 1 2. (n )法 4分 x, sin y 代入上式, C 的直角坐标方程为 5分 1：设曲线C 上的点 2 2 x y 2x 2y , P 1 2 cos ,1 分 贝U 点 1 72cos ■, 2 sin P 到直线I 的距离 1 V2sin 4 2 I 任 sin cos 2| sin 1 4 d max 2-2, ......................... ... 9分 所以曲线c 上的点到直线丨的距离的最大值为2、、2. 10分法2:设与直线1平行的直线为l : x y b 0 , ....................................................................................... •••6 分当直线l与圆C相切时，得屮72 (7).2分解得b 0或b 4(舍去),所以直线l的方程为X y 0. ..................... ...... 8分所以直线l与直线l的距离为2^2 .所以曲线C上的点到直线I的距离的最大值为2 2. ...................... 10分(23)解：(I ) 因为fi 3 , 所以a| 1 2a 3 . ........................................................................... .... 1分①当a 0时，得a 1 2a 3，解得a |，所以320；②当0 a 2时，得 a 12a 3，解得 a 2，所以 1时，得a 1 2a 3 ,解得a分 （口 ）因为 a 1,x R ,所以 f x x a 1 x 2a x a 1 x 2a ................................................. .... 7分3a 1 ............................................................. 8分3a 1 ............................................................. 9分4.a 3；综上所述，实数a 的取值 范围是2. .................. ............... 10分。