17.1 变量与函数(1)教学目标1.掌握常量和变量、自变量和因变量(函数)基本概念.2.了解表示函数关系的三种方法：解析法、列表法、图象法，并会用解析法表示数量关系. 过程性目标1.通过实际问题，引导学生直观感知，领悟函数基本概念的意义.2.引导学生联系代数式和方程的相关知识，继续探索数量关系，增强数学建模意识，列出函数关系式.教学过程一、创设情境在学习与生活中，经常要研究一些数量关系，先看下面的问题.问题1 如图是某地一天内的气温变化图.看图回答：(1)这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温.(2)这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？(3)这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？解：(1)这天的6时、10时和14时的气温分别为－1℃、2℃、5℃.(2)这一天中，最高气温是5℃,最低气温是－4℃.(3)这一天中，3时～14时的气温在逐渐升高.0时～3时和14时～24时的气温在逐渐降低.从图中我们可以看到，随着时间t(时)的变化，相应地气温T(℃)也随之变化.那么在生活中是否还有其它类似的数量关系呢？二、探究归纳问题2小蕾在过14岁生日的时候，看到了爸爸为她记录的各周岁时的体重，如下表：周岁 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13体重(kg)7.912.215.618.420.723.025.628.531.234.037.641.244.9观察上表，说说随着年龄的增长，小蕾的体重是如何变化的？在哪一段时间内体重增加得较快？解：随着年龄的增长，小蕾的体重也随着增长，且在1-2岁增加得较快.问题3 收音机刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的.下面是一些对应的数值：观察上表回答：(1)波长l 和频率f 数值之间有什么关系? (2)波长l 越大，频率f 就________.解： (1) l 与 f 的乘积是一个定值，即lf ＝300 000，或者说l300000f . (2)波长l 越大，频率f 就越小 .问题4 圆的面积随着半径的增大而增大.如果用r 表示圆的半径，S 表示圆的面积，则S 与r 之间满足下列关系：S ＝_________.利用这个关系式，试求出半径为1 cm 、1.5 cm 、2 cm 、2.6 cm 、3.2 cm 时圆的面积，并将结果填入下表：由此可以看出，圆的半径越大，它的面积就_________. 解： S ＝πr 2.圆的半径越大，它的面积就越大.在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些变化规律.这里出现了各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量.例如问题1中，刻画气温变化规律的量是时间t 和气温T ，气温T 随着时间t 的变化而变化，它们都会取不同的数值.像这样在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量(variable).上面各个问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖，密切相关.一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与之对应，我们就说x 是自变量(independent variable)，y 是因变量(dependent variable)，此时也称y 是x 的函数(function).表示函数关系的方法通常有三种： (1)解析法，如问题3中的l300000f ，问题4中的S ＝π r 2，这些表达式称为函数的关系式.(2)列表法，如问题2中的小蕾的体重表，问题3中的波长与频率关系表. (3)图象法，如问题1中的气温曲线.问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量(constant)，如问题3中的300 000，问题4中的π等.在研究函数时，必须注意自变量的取值范围.实际问题中，自变量的取值必须符合实际意义.例如，上述问题4中，自变量r 表示圆的半径，不能为负数和零，即它的取值范围为一切正实数. 三、实践应用例1 下表是某市2017年统计的中小学男学生各年龄组的平均身高：(2)该市男学生的平均身高从哪一岁开始迅速增加?(3)上表反映了哪些变量之间的关系?其中哪个是自变量?哪个是因变量? 解： (1)平均身高是155cm ；(2)约从14岁开始身高增加得特别迅速；(3)反映了该市男学生的平均身高和年龄这两个变量之间的关系，其中年龄是自变量，平均身高是因变量.例2 写出下列各问题中的关系式，并指出其中的常量与变量,指出自变量的取值范围： (1)圆的周长C 与半径r 的关系式；(2)火车以60千米/时的速度行驶，它驶过的路程s (千米)和所用时间t (时)的关系式； (3)n 边形的内角和S 与边数n 的关系式.解： (1)C ＝2π r ，2π是常量，r 、C 是变量，r≥0；(2)s ＝60t ，60是常量，t 、s 是变量，t≥0；(3)S ＝(n －2)×180，2、180是常量，n 、S 是变量，n≥3.四、交流反思1.函数的概念包含： (1)两个变量；(2)两个变量之间的对应关系.2.在某个变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量；数值始终保持不变的量，叫做常量.例如x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与之对应，我们就说x 是自变量，y 是因变量.3.函数关系的三种表示方法： (1)解析法； (2)列表法； (3)图象法.4. 函数的取值范围：在研究函数时，必须注意自变量的取值范围.实际问题中，自变量的取值必须符合实际意义. 五、检测反馈1.举3个日常生活中遇到的函数关系的例子.2.分别指出下列各关系式中的变量与常量：(1)三角形的一边长为5cm ，它的面积S (cm 2)与这边上的高h (cm)的关系式是h S 25； (2)若直角三角形中的一个锐角的度数为α，则另一个锐角β与α间的关系式是β＝90－α ；(3)若某种报纸的单价为a 元，x 表示购买这种报纸的份数，则购买报纸的总价y (元)与x 间的关系是：y ＝ax .3.写出下列函数关系式，并指出式中的自变量与因变量：(1)每个同学购一本代数教科书，书的单价是2元，求总金额Y (元)与学生数n (个)的关系； (2)计划购买50元的乒乓球，求所能购买的总数n (个)与单价a (元)的关系.4.填写如图所示的乘法表，然后把所有填有24的格子涂黑.若用x 表示涂黑的格子横向的乘数，y 表示纵向的乘数，试写出y 关于x 的函数关系式.17.1 变量与函数(2) 教学目标1.掌握根据函数关系式直观得到自变量取值范围以及实际背景对自变量取值的限制.2.掌握根据函数自变量的值求对应的函数值. 过程性目标1.使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中，增强数学建模意识；2.联系求代数式的值的知识，探索求函数值的方法. 教学过程 一、创设情境 问题1(1)填写如图所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么?(2)如果把这些涂黑的格子横向的加数用x 表示，纵向的加数用y 表示，试写出y 与x 的函数关系式.解：如图能发现涂黑的格子成一条直线.函数关系式：y ＝10－x .问题2 试写出等腰三角形中顶角的度数y 与底角的度数x 之间的函数关系式. 解： y 与x 的函数关系式：y ＝180－2x .问题3 如图，等腰直角△ABC 的直角边长与正方形MNPQ 的边长均为10 cm ，AC 与MN 在同一条直线上，开始时点A 与点M 重合，让△ABC 向右运动，最后点A 与点N 重合.试写出重叠部分面积y cm 2与MA 的长度x cm 之间的函数关系式.解： y 与x 的函数关系式：221x y . 二、探究归纳思考： (1)在上面的问题中所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗？如果有，写出它的取值范围.(2)在上面问题1中，当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是多少？当纵向的加数为6时，横向的加数是多少？分析： 问题1，观察加法表中涂黑的格子的横向的加数的数值范围.问题2，因为三角形的内角和是180°,所以等腰三角形的底角的度数x 不可能大于或等于90°.问题3，开始时点A 与点M 重合，MA 的长度为0cm ，随着△ABC 不断向右运动的过程中，MA 的长度逐渐增长，最后点A 与点N 重合时，MA 的长度达到10cm.解： (1)问题1，自变量x 的取值范围是：1≤x ≤9； 问题2，自变量x 的取值范围是：0＜x ＜90； 问题3，自变量x 的取值范围是：0≤x ≤10.(2)当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是7；当纵向的加数为6时，横向的加数是4.上面例子中的函数,都是利用解析法表示的,又例如：s ＝60t ， S ＝πR 2.在用解析式表示函数时，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义.在确定函数中自变量的取值范围时，如果遇到实际问题，不必使实际问题有意义.例如，函数解析式S ＝πR 2中自变量R 的取值范围是全体实数，如果式子表示圆面积S 与圆半径R 的关系，那么自变量R 的取值范围就应该是R ＞0.对于函数 y ＝x (30－x )，当自变量x ＝5时，对应的函数y 的值是y ＝5× (30－5)＝5×25＝125. 125叫做这个函数当x ＝5时的函数值. 三、实践应用例1 求下列函数自变量x 的取值范围： (1) y ＝3x －1； (2) y ＝2x 2＋7； (3)21+=x y ； (4)2-=x y . 分析： 用数学式子表示的函数，一般来说，自变量只能取使式子有意义的值.例如，在(1)，(2)中，x 取任意实数，3x －1与2x 2＋7都有意义；而在(3)中，x ＝－2时，21+x 没有意义；在(4)中，x ＜2时，2-x 没有意义.解： (1)x 的取值范围是任意实数；(2)x 的取值范围是任意实数； (3)x 的取值范围是x ≠－2；(4)x 的取值范围是x ≥2.归纳：四个小题代表三类题型.(1)，(2)题给出的是只含有一个自变量的整式；(3)题给出的是分母中只含有一个自变量的式子；(4)题给出的是只含有一个自变量的二次根式. 例2 分别写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围：(1)某市民用电费标准为每度0.50元，求电费y (元)关于用电度数x 的函数关系式； (2)已知等腰三角形的面积为20cm 2，设它的底边长为x (cm)，求底边上的高y (cm)关于x 的函数关系式；(3)在一个半径为10 cm 的圆形纸片中剪去一个半径为r (cm)的同心圆，得到一个圆环.设圆环的面积为S (cm 2)，求S 关于r 的函数关系式. 解： (1) y ＝0.50x ，x 可取任意正数； (2)xy 40=，x 可取任意正数； (3)S ＝100π－πr 2，r 的取值范围是0＜r ＜10.例3 在上面的问题(3)中，当MA ＝1 cm 时，重叠部分的面积是多少?解：设重叠部分的面积为y cm 2，MA 的长为x cm ， y 与x 之间的函数关系式为221x y =. 当x ＝1时，211212=⨯=y . 所以当MA ＝1 cm 时，重叠部分的面积是21cm 2. 例4 求下列函数当x = 2时的函数值： (1)y = 2x -5 ； (2)y =－3x 2 ； (3)12-=x y ； (4)x y -=2. 分析：函数值就是y 的值，因此求函数值就是求代数式的值. 解： (1)当x = 2时，y = 2×2－5 =－1； (2)当x = 2时，y =－3×22 =－12；(3)当x = 2时，y =122-= 2； (4)当x = 2时，y =22-= 0. 四、交流反思1.求函数自变量的取值范围的两个依据： (1)要使函数的解析式有意义.①函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数；②函数的解析式分母中含有字母时，自变量的取值应使分母不等于零； ③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数大于零. (2)对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义.2.求函数值的方法：把所给出的自变量的值代入函数解析式中，即可求出相应的函数值. 五、检测反馈1.分别写出下列各问题中的函数关系式，并指出式中的自变量与函数以及自变量的取值范围：(1)一个正方形的边长为3 cm ，它的各边长减少x cm 后，得到的新正方形的周长为y cm.求y 和x 间的关系式；(2)寄一封质量在20克以内的市内平信，需邮资0.60元，求寄n 封这样的信所需邮资y (元)与n 间的函数关系式；(3)矩形的周长为12 cm ，求它的面积S (cm 2)与它的一边长x (cm)间的关系式，并求出当一边长为2 cm 时这个矩形的面积.2.求下列函数自变量x 的取值范围： (1)y ＝－2x －5x 2； (3) y ＝x (x ＋3)； (3)36+=x xy ； (4)12-=x y . 3.一架雪橇沿一斜坡滑下，它在时间t (秒)滑下的距离s (米).由下式给出：s ＝10t ＋2t 2.假如滑到坡底的时间为8秒，试问坡长为多少？4.当x ＝2及x ＝－3时，分别求出下列函数的函数值： (1) y ＝(x +1)(x －2)；(2)y ＝2x 2－3x ＋2； (3)12-+=x x y .。