光栅衍射特性研究陈锦（安庆师范学院物理与电气工程学院 安徽 安庆 246011）指导教师：张杰摘 要：本文根据惠更斯-菲涅耳原理计算推导了夫琅禾费衍射场下光栅衍射的光强分布公式，详细分析了平面光栅衍射的特性，利用MA TLAB 软件进行了衍射图样的仿真，绘制了相应的衍射光强分布图，并结合理论公式讨论了光强随波长λ、缝宽b 、缝数N 以及光栅常数d 的变化情况。

推导了光栅方程，并从光栅方程出发，对光栅衍射中的缺级现象、光栅的分辨率等问题进行了讨论。

文章最后简单介绍了光栅在生产实际中的应用。

关键字：光栅，光栅衍射，光强分布，强度1引言衍射光栅作为一种优良的分光元件，在近代光谱仪中有广泛的应用，比如利用光栅衍射可以作为光谱分析，测量光波的波长等[1-4]。

光栅是一种具有高分辨本领的精密光学元件，它是由大量等宽等间距的平行狭缝构成的光学器件。

一般常用的光栅是在玻璃片上刻出大量平行刻痕制成，刻痕为不透光部分，两刻痕之间的光滑部分可以透光，相当于一狭缝。

精致的光栅，在1cm 宽度内刻有几千条乃至上万条刻痕。

这种利用透射光衍射的光栅称为透射光栅，还有利用两刻痕间的反射光衍射的光栅，如在镀有金属层的表面上刻出许多平行刻痕，两刻痕间的光滑金属面可以反射光，这种光栅称为反射光栅。

本文着重对平面光栅衍射特性做一些探究。

MATLAB 是一个集数值计算、图形处理、符号计算、数学建模、实时控制、动态仿真等诸多功能于一身的数学应用软件[6]，在光学中得到广泛应用[7]。

本文应用MATLAB 的数值计算和绘图功能，根据夫琅禾费衍射场的理论公式，计算得出光强分布矩阵并绘制出光强分布曲线及其衍射图样。

2 光的衍射理论惠更斯原理[8]内容是：传播中的波面上任何一点都可以认为是一个新的次波源，由这些次波源发出的次波是球面波，这些次波的公共包络面就是下一时刻的波面。

法国物理学家菲涅耳根据叠加原理将惠更斯原理进一步具体化，并给出其数学表达式，即惠更斯—菲涅耳原理的数学表达式：dS re Q Uf C P U ikr S ⎰⎰=)()()(θ （1） 此后，德国物理学家基尔霍夫从定态的亥姆霍兹方程出发，利用矢量场论中的格林公式，在kr>>1,即r>>λ的条件下，导出了无源空间边值定解表达式：dS r e Q U iP U ikrS ⎰⎰+-=)()cos (cos 21)(0θθλ （2） 他还提出了关于边界条件的假设，并进一步将衍射积分公式简化为[6]：dS re Q Uf i P U ikr S ⎰⎰-=0)(),()(0θθλ （3） 此时衍射面积分只限于光孔面0s 。

据此在傍轴条件下衍射积分公式为：dS e Q U r i P U S ikr ⎰⎰-=0)()(0λ （4）这便是光衍射场强的计算公式。

3．光栅衍射光强分布计算公式推导3.1 夫琅禾费单缝衍射光强分布设波长为λ的平面波射向缝宽为AB=b 的狭缝，衍射后经透镜L 会聚在焦平面上，如图1所示，由惠更斯-菲涅耳原理可知，在焦平面上任一点P 的复振幅为[9]：⎰⎰=狭缝）（r e f Q ikr )()(U C P U θ （5）图1 单缝衍射示意图把狭缝细分为垂直于x 轴的许多小面元，面积为dS=ldx ，l 为缝的长度，在平面波入射情况下，U （Q ）为常量，在角度不大情况下，)sin(,1)(0θθx r r f +=≈,因为0r x <<,只有相位因子中的)sin(0θx r r =-=∆不能忽略，从而有0sin 22022sin sin 22()()''2'()sin(sin )sin sin 2bb ikr ik ikx b b b b ik ik CU Q e U P l e dx C e dx r C C b e e k ik k θθθθθθ∆--⋅-⋅===-=⋅⋅⎰⎰ （6） 令 βθλπθ==⋅⋅sin sin 2b b k （7） 则 ββsin ')(b C P U = （8）故 2202222*sin sin ')()(ββββI b C P U p U I === （9）3.2 夫琅禾费双缝衍射的光强分布如图2所示，衍射屏上A 、B 处各有一条宽为b 的缝，缝间距为d 。

经透镜L 作用后，两条缝的衍射光在焦平面上的光强分布一致，相位分布不同。

把坐标原点分别放在A 与B 的中心。

根据式（5）有：图2 双缝衍射示意图⎰-+=22sin )2(')(b b A d x ik A dx eC P U A θ （10a ） ⎰--=22sin )2(')(b b B d x ik B dx eC P U B θ （10b ） 令θγsin 2d k ⋅=，则有 sin 22()()()'()sin '()b ikx i i b A B i i U P U P U P C e dx e e C b e e θγγγγββ---=+=+=-+⎰ （11）式中γ为单缝中心与双缝中心的光在P 点的产生的相位差，θλπθβsin sin 2b b k =⋅=，所以夫琅禾费双缝衍射的光强分布表达式为： γββββγγγγ2220220*cos sin 4))((sin )()(I e e e e I P U P U I i i i i =++==-- （12） 3.3 平面光栅的衍射3.3.1 光栅衍射的强度分布[10]图3 光栅衍射示意图以上双缝衍射的讨论可以推广至多缝的情况。

设有N 条等间距的缝，缝宽均为b ，间距为d ，如图3。

则相邻缝的对应程差为：θsin d =∆ ，相位差为θλπθδsin 2sin d kd ==。

由式（11）知，)1()()1()())(()(0200δγγγγγi i i i i i e e P U e e P U e e P U P U ---+=+=+= （13）若坐标原点放在第一个缝的中心，则γi e P U )(0就是它的单缝衍射振幅，而)(0)(δγ-i eP U 则是另一个缝的衍射振幅。

从而有 122(1)11()()()()1()(1)()1N N iN i i N i i U P U P U P U P e U P e e e U P e δδδδδ----=+++-=++++=- （14） 所以，光栅衍射的光强分布公式为：2222*11002222(1)(1)sin sin (/2)sin sin ()()()()(1)(1)sin (/2)sin iN iN N i i e e N N I P U P U P I I e e δδδδβδβγβδβγ----==⋅=⋅-- （15） 式中0I 代表每一单缝在入射光方向的光强，β代表每一缝的两边缘发出的子波到达P 点相位差的一半(2sin /)/2b πθλ，N 代表总缝数，/2sin /d γδπθλ==代表相邻两缝所发出的光到达P 点的相位差的一半，式中22sin /ββ是单缝衍射所引起的，一般称为衍射因子，22sin /sin N γγ为多束光干涉所引起，一般称为多光束干涉因子。

4. 衍射光栅特性分析为了研究光栅强度分布的规律，我们将从以下几个方面进行讨论。

4.1 光栅方程当0γπππ=±，，2，…，k ，k 为整数时，光强取主极大，其值为：2max 0I I N I ==根据sin /d γπθλ=，可知相应主极大的位置必须满足sin (0,1,2,d k k θλ==±±…）(16) (16)式一般称它为光栅方程式。

式中d 为相邻两缝的间距，一般称为光栅常数，k 叫做光栅的干涉级，如k=1就叫做一级主极大。

按上式，它发生在如下方向：arcsind λθ=根据干涉因子22sin /sin N γγ可知，当 ,2,N γπππ=…，p p 为整数 (1７)时干涉因子为零。

此为极小条件。

但注意p 不能等于N 的倍数，即p mN ≠，因为此时极小条件就转化为极大条件（ k γπ=），干涉因子不是零而是2N 。

4.2 光栅衍射特性讨论4.2.1 在单缝衍射的主峰内（0βπ<<）极大值的数量当光通过光栅到达衍射屏上某处时，若相邻缝所对应的相位差为2π的整数倍，则通过所有缝的光在该处都同相位，因而该处出现衍射光强的主极大。

由此可知，满足主极大的条件是2K δπ=。

若光栅常数d b η=，则2sin /2sin /2d b δπθλπηθληβ===，故主极大条件为/K βπη=。

在0βπ<<的范围内，K 可能的值为1，2，3，…，1η-（在K=0时，0;K βη==时，βπ=），即在0βπ<<之间，有1η-个主极大。

如图（6）所示：3η=，主峰内每边各有2个主极大。

4.2.2 主极大光强的强度由光强公式可知，光强由单缝衍射因子22sin /ββ和多缝干涉因子22sin (/2)/sin (/2)N δδ决定。

对于主极大，2K δπ=，g 出现分子和分母都为零的情况。

按照数学上的洛必达法则，可分别对分子和分母求导来得到g 的极限值[11]： 22222222sin (/2)2sin(/2)cos(/2)(/2)sin()lim lim lim sin (/2)2sin(/2)cos(/2)(1/2)sin cos()lim cos K K K K N N N N N N g N N N δπδπδπδπδδδδδδδδδδ→→→→===== （18） 代入光强公式，得2220()sin /N I P I N ββ=。

即主极大的光强是单缝衍射在该处光强的2N 倍！实际上，这个结论不难理解：既然在2k δπ=的条件下，通过所有缝的光在该处都同相位，那么该处的合成振幅就应该是各分振幅之和，即等于一个缝的N 倍，因而光强就应该是一个缝的2N 倍。

4.2.3 两个主极大之间光强为零的数量当/2N m δπ=时（m 为整数），干涉因子g=0，故衍射光强为零。

能满足2/m N δπ=的m 在02δπ<<的范围内，可取的整数为1，2，3，…，N-1（在m=0时，0δ=；m=N 时，2δπ=），即在02δπ<<之间，有（N-1）个零点。

如图(6)所示：N=4，任何两主极大之间都有3个零点。

由此可知，光栅中的缝数N 越多，两主极大之间的零点就越多，背景光就越暗。

4.2.4 主极大的宽度与主极大相邻的两个零点之间的距离为主极大的宽度。

由于m=kN 时2k δπ=，为主极大，故1m kN =±是与它相邻的两个零点。

对于这两个零点，有/2(1)N m Nk δππ==±。