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第五章 定积分
第一节 定积分的概念与性质
一、填空题： 在
⎰
+10
3
1dx x 与⎰
+1
41dx x 中值比较大的是 ．
二、选择题(单选)： 1．积分中值定理
⎰
-=b
a
a b f dx x f ))(()(ξ，其中：
(A) ξ是[]b a ,上任一点； (B) ξ是[]b a ,上必定存在的某一点； (C) ξ是[]b a ,唯一的某点； (D) ξ是[]b a ,的中点．
答：( )
2．曲线x
e y =与该曲线过原点的切线及y 轴所围成图形的面积值为： (A) ⎰-10)(dx ex e x ； (B) ⎰-e
dy y y y 1
)ln (ln ；
(C)
⎰
-e x
x
dx xe e 1
)(； (D)
⎰-1
)ln (ln dy y y y ．
答：( )
第二节 微积分基本公式
一、填空题： 1．=-⎰
-212
12
11dx x
．
2．
0)32(0
2=-⎰
k
dx x x )0(>k ，则=k ．
二、选择题(单选)：
若)(x f 为可导函数，且已知0)0(=f ，2)0(='f ，则
2
)(lim x dt t f x x ⎰→
(A)0； (B)1； (C)2； (D)不存在．
答：( )
三、试解下列各题：
1．设⎪⎩⎪
⎨⎧>≤+=1,2
11
,1)(32x x x x x f ，求⎰20
)(dx x f ．
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2．设⎪⎩
⎪⎨⎧><≤≤=ππ
x x x x x f ,0,00,sin 21
)(，求⎰=x dt t f x 0
)()(ϕ在),(∞+-∞上的表达式．
四、设)(x f 在],[b a 上连续，且0)(>x f ，⎰
⎰
+=
x a
x
b
t f dt
dt t f x F )
()()(．证明： (1)2)('≥x F ；
(2)方程0)(=x f 在),(b a 内有且仅有一个根．
第三节 定积分的换元法和分部积分法
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一、填空题： 1．
=-⎰-212
12
1arcsin dx x
x ．
2．⎰
-=++434
32cos 1)arctan 1(ππdx x x ．
3．
{}=⎰
-22
2,1max dx x ．
4．设)(x f 是连续函数，且⎰
+=1
)(2)(dt t f x x f ，则=)(x f ．
二、选择题(单选)：
⎰>=a
a dx x f x I 0
23)0()(，则I 为：
(A)
⎰
20
)(a dx x xf ；(B) ⎰a
dx x xf 0)(； (C) ⎰2
0)(21a dx x xf ； (D) ⎰a dx x xf 0
)(21．
答：( )
三、试解下列各题： 1．⎰
+21
ln 1e x
x dx
．
2．)0(0
222⎰
>-a a dx x a x ．
3．设⎩⎨⎧≥<+=-0
,0,1)(2x e x x x f x ，求⎰-3
1
)2(dx x f ．
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五、计算下列定积分： 1．⎰
e xdx x 2
ln ．
2．⎰
20
cos π
xdx e x ．
六、已知1)(=πf ，)(x f 二阶连续可微．且3sin )]()([0
=''+⎰
π
xdx x f x f ，求)0(f ．
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第四节 反常积分
一、填空题： 1．
=⎰
∞+1
2ln dx x
x
． 2．
=-⎰
12
1)
1(arcsin dx x x x ．
二、选择题(单选)： 1．若
⎰∞+a
dx x f )(及⎰
∞+a
dx x g )(均发散，则dx x g x f a
⎰∞
++)]()([一定：
(A)收敛； (B)发散； (C)敛散性不能确定．
答：( )
2．若
⎰
∞
-a
dx x f )(发散，⎰
∞+a
dx x f )(发散，则⎰
∞
+∞
-dx x f )(一定：
(A)收敛； (B)发散； (C)敛散性不能确定． 答：( )
三、判别下列各反常积分的敛散性，如果收敛，则计算反常积分的值： 1．⎰-2
02)1(x dx
．
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2．⎰∞
++0
)1(1
dx x
x ．
四、利用递推公式计算反常积分⎰
∞+-=0
dx e x I x n n (n 为自然数)．
第五章自测题
一、填空题(每小题5分，共20分)：
1．a ，b 为正常数，且1sin 1lim
02
0=+-⎰→x x dt t
a t x bx ，则=a ，=
b ．
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2．=-⎰
20
1dx x ．
3．
=+⎰-π
π
dx x x
x 2
1cos ．
4．=⎰
→x
dt t x x 0
20
cos lim
．
二、选择题(单选)(每小题5分，共10分)： 1．
⎰-x dt t dx d sin 0
2
1等于：
(A) x cos ； (B) x x cos cos ； (C) x 2
cos -； (D) x cos ．
答：( )
2．设)(x f 连续，则
⎰+b
a dy y x f dx
d )(等于： (A)
⎰
+'b
a
dy y x f )(；(B) )()(a x f b x f +-+；(C) )(a x f +；(D) )(b x f +．
答：( )
三、试解下列各题(每小题10分，共40分)： 1．⎰
-21
2
2
4dx x
x ．
2．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+=0,110,11
)(x e x x
x f x
，求⎰-20
)1(dx x f ．
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3．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
≤≤<=πππx x x x f 2
,02
,cos )(，求dt t f x F ⎰-=ππ
)()(在],[ππ-上的表达式．
4．求位于曲线2
1
x y =
)1(≥x 的下方，x 轴上方的图形的面积．
四、试解下列各题(每小题15分，共30分)：
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1．设)(x f 在],[b a 上连续，证明⎰
⎰-+-=b
a
dx x a b a f a b dx x f 1
])([)()(．
2．证明：
⎰
⎰-=a
a
a
dx x dx x 0
22
)(2)(ϕϕ，其中)(u ϕ为连续函数．。