初二上勾股定理(经典
题型)
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
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第十九章 几何证明
——勾股定理及两点之间的距离公式
【知识回顾】
1、勾股定理：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么一定有222c b a =+（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

） 3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c 有关系，222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。

4、常见的勾股数：（3n,4n,5n ）,(5n,12n,13n)，(8n,15n,17n)，(7n,24n,25n)，(9n,40n,41n)…..
5、勾股定理的证明图
6、两点之间的距离公式：2
122
12)()(y y x x AB -+-=
【例题讲解】
例题1、细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题
（1）请用含n （n 是整数数）的等式表示上述变化规律；
（2）求出的值。

例题3、已知等腰三角形的周长是16cm，底边上的高是4cm，根据这些条件是否能求出这个等腰三角形的腰长和腰上高的长？若能，请把它们求出来，若不能，要说明理由。

例题2、如图所示，已知△ABC的三边
15=
=
=AC
BC
AB求△ABC
,
20
25
,
,
最长边上的高？
例题4、已知如图△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且
∠EAF=45°，求证：EF2=BE2+FC2．
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例题5、如图，已知0090,60=∠=∠=∠D B A ，AB=2，CD=1，求BC 、AD 的长。

例题6、一只2.5m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯脚距离墙角0.7m ，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m ，那么梯脚移动的距离是多少？
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例题7、如图一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是多少？
例题8、在直角坐标平面有点A （3，4），且AB=5，根据下列条件，求点B 的坐标：
（1）点B 在x 轴上； （2）点B 在y 轴上；
（3）点B 在第一、三象限的角平分线上； （4）点B 与y 轴的距离等于1。

例题9、已知：如图，等边△ABC 的边长是4，D 是边BC 上的一个动点（与点B 、C 不重合），联结AD ，作AD 的垂直平分线分别与边AB 、AC 交于点E 、F ．
F E
D
C
B
A
B
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（1）求△BDE 和△DCF 的周长和；
（2）设CD 长为x ，△BDE 的周长为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当△BDE 是直角三角形时，求CD 的长．
【巩固练习】
1、已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ） A 、242c m
B 、36 2c m
C 、482c m
D 、602c m
2、如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是
3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是（ ）
A. 13
B. 26
C. 47
D. 94
A
B
C
D
E
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3、△ABC 的两边分别为5,12，另一边为奇数，且a+b+c 是3的倍数，则c 应为 ，此三角形 为 。

4、已知三角形三边的比为1
2，则其最小角为 。

5、有四个斜边为c 、两直角边长为a,b 的全等三角形，拼成如图所示的五边形，利用这个图形证明勾股定理。

6、 如图字母B 所代表的正方形的面积是 ( )
A. 12
B. 13
C. 144
D. 194
7、下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是 ( )
A. 1.5, 2, 3;
B. 7, 24, 25;
C. 6 ,8, 10;
D. 9, 12, 15.
B
169
25A
B
C
M
D
G
H F E
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8、适合下列条件的△ABC 中, 是直角三角形的个数为 ( )
①;5
1
,41,31===c b a ②,6=a ∠A=450; ③∠A=320, ∠B=580;
④ ;25,24,7===c b a ⑤.4,2,2===c b a A. 2个; B. 3个; C. 4个; D. 5个.
9、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是 ( )
A 钝角三角形; B. 锐角三角形; C. 直角三角形; D. 等腰三角形.
10．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ） A 、25海里 B 、30海里 C 、35海里
D 、40海里
北
南 A
东
第10题
A
C
D
B
E
第11题图
11、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。

现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，恰与AE重合，则CD等于（）
A、2㎝
B、3㎝
C、4㎝
D、5㎝
12、如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面8.2米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部6.9米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？
2.8米
9.6米
13、“交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行
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B
E
F
l
驶到路面对车速检测仪正前方30米处，过了2秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50米，这辆小汽车超速了吗？
14、如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、
B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？
15．如图，直线l 过正方形ABCD 的顶点B ，点A 、
C 到直线l 的距离AE 、CF 分别为1和2，求正方形的面积
A
B
C
D
L
观测点
小汽车
小汽车
- 11 - B C
D
E
F
16．如图，长方形ABCD中，AD = 10，AB = 8，将长方形ABCD沿AE 折叠，点D恰好落在BC边上的F点，求EF及
AE的长
17．已知A（0，3），B（0，-1），ABC
是等边三角形，求点C的坐标。