已知：22()22(,)()ZZ r TrTf S T e F Se e dZσ+∞----∞=⎰，(,)(,)f S TS TS∂∆=∂，22(,)(,)fS T S TS∂Γ=∂，(,)(,)f S TS TT∂Θ=-∂.求证：221(,)(,)(,)(,)2S T S S T rS S T rf S TσΘ=-Γ-∆+.证明：只需证明221(,)2((,))),,(S Sf SrT f SrSTS TTTσ+-∆∂Γ=∂.设2()2(,,)Z r TG S T Z Seσ-=，(,,)((,,))H S T Z F G S T Z=，则22(,)(,,)ZrTf S T e H S T Z e dZ+∞---∞=. 于是222222(,)(,)(,,)(,,)(,,)Z ZrT rTZrTf S Te H S T Z e dZ e H S T Z e dZT Te Hrf S T ZS eT dZT+∞+∞-----∞-∞+∞---∞⎡⎤∂∂'⎡⎤=+⎥⎣⎦∂∂⎥⎦⎡⎤∂=+⎥∂⎥⎦-红色部分证毕.对第二项，由先求积分后求偏导，变为先求偏导后求积分，则2222(,,)(,,)Z ZrTrTH S T Ze H S T Z e dZ e dZT T-+∞+∞----∞-∞⎡⎤∂∂=⎥∂∂⎥⎦.接下来只需证明22221(,)(,,)()2,ZrTS S TH S T Ze rS S TdZTσ-+∞--∞∂∆Γ=+∂.回忆一下复合函数求导法则：若(,,)((,,))H S T Z F G S T Z=，则(,,)(,,)((,,))H S T Z G S T ZF G S T ZT T∂∂'=∂∂.于是有22()2(,,)((,,))2Z r TH S T ZF G S T Z Se rTσσ-⎫∂'=-⎪∂⎭.2()2(,,)((,,))Z r TH S T ZF G S T Z eSσ-∂'=∂(这个式子很重要！)，(1)2(,,)(,,)2H S T Z H S T ZS rT Sσ⎫∂∂∴=-⎪∂∂⎭.222222222(,,)(,,)2(,,)(,,)2ZrTZrTZ Z rT rTH S T Ze dZTH S T ZS r e dZSH S T Z H S T ZS e dZ rS e dZS Sσσσ-+∞--∞-+∞--∞--+∞+∞---∞-∞∂∂⎡⎤⎫∂=-⎢⎥⎪∂⎭⎣⎦∂∂⎫=-+⎪∂∂⎭由22(,)(,,)ZrTf S T e H S T Z e dZ+∞---∞=⎰和(,)(,)f S TS TS∂∆=∂，立刻得到22(,,)(,)ZrT H S T ZS T e dZS-+∞--∞∂∆=∂⎰. 因此，2222(,,)(,,)2,)(Z Z rT rTH S T Z H S T Ze dZ S e dZT Sr S TSσσ--+∞+∞---∞-∞∂∂⎫=⎪∂⎭+∆∂. 绿色部分证毕.至此，问题转化为证明2222(,,)21(,)2ZrTS SH S T ZdZSTS eσσσ-+∞--∞∂⎫=⎪Γ∂⎭.也即2222(,,)(,,)21(,)2Z ZrT H S T Z H S T ZZe dZ e dZS SS S Tσσ-+∞+∞---∞-∞⎡⎤∂∂-⎥∂∂⎥Γ=⎦⎰.利用2222Z Zde Ze dZ--=-，凑微分，然后分部积分，得22222222(,,)(,,)(,,)(,,)ZZZ ZH S T ZZe dZSH S T ZdeSH S T Z H S T Ze e dS S+∞--∞+∞--∞+∞+∞---∞-∞∂∂∂=-∂⎡⎤∂∂⎡⎤=-+⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰由(1)，知222()222(,,)((,,))Z ZZ r TH S T Ze F G S T Z e eSσ---∂'=∂.((,,))F G S T Z'表示衍生品期末支付函数对基础资产期末价格的导数，应该有界，如欧式看涨期权的期末支付函数()()T T F S S K +=-对基础资产期末价格T S 的导数{1, S ()0, 0< S T T T KF S K >'=<(T S K=时导数不存在，但不影响可积性).而22()22lim 0Z Z r TZ eeσ--→∞=，故22(,,)0ZH S T Z e S +∞--∞⎡⎤∂=⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦. 于是有 2222(,,)(,,)Z ZH S T Z H S T Z Ze dZ e d S S +∞+∞---∞-∞∂∂⎡⎤=⎢⎥∂∂⎣⎦⎰⎰. (2) 利用(1)，并由复合函数求导法则，可知[]22222()2()()22()()22(,,)((,,))((,,))((,,))(,,)((,,))((,,))Z r TZ r TZ r TZ r TZ r Td H S T Z d F G S T Ze dZ S dZ F G S T Z e F G S T Z eZZ G S T Z F G S T Z eF G S T Z eZ σσσσσσ-----⎡⎤∂⎡⎤'=⎢⎥⎢⎥∂⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤∂∂''=+⎢⎥∂∂⎢⎥⎣⎦∂'''=+∂由2()2(,,)Z r TG S T Z SeZσ-∂=∂，并对第二项再次利用(1)，得22()2(,,)(,,)((,,))Z r T d H S T Z H S T Z F G S T Z Se dZ S S σ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎫∂∂⎪⎡⎤''=+⎬⎢⎥∂∂⎣⎦⎪⎩⎭. (3)将(3)代入(2)，得22222()22(,,)(,,)((,,))Z Z Z r T H S T Z Ze dZS H S T Z F G S T Z Se e dZS σ+∞--∞⎡⎤-⎢⎥+∞-⎢⎥⎣⎦-∞∂∂⎧⎫∂⎪⎪''=+⎨⎬∂⎪⎪⎩⎭⎰2222222()221((,,))2(,,)(,,)2Z Z r ZrTZ T Tr H S T Z S F G S T Z H S T Z Ze dZ e eed Z Zd S S σσσ-+⎡⎤--⎢⎥+∞-∞+∞---∞-∞⎢⎥⎣⎦-∞⎡⎤∂∂-⎥∂∂''⎥⎦=⎰⎰⎰由22(,)(,,)Z rTf S T eH S T Z edZ +∞---∞=和22(,)(,)fS T S T S∂Γ=∂，易得222()22(,)((,,))ZrT Z r TS T F G S T Z e e dZσ⎡⎤--⎢⎥+∞-⎢⎥⎣⎦-∞''Γ=⎰. 因此，2222(,,)(,,)21(,)2Z ZrT H S T Z H S T ZZe dZ e dZS SS S Tσσ-+∞+∞---∞-∞⎡⎤∂∂-⎥∂∂⎥Γ=⎦⎰.蓝色部分证毕.评价：1、多次交换求积分和求偏导的次序.2、多次用到凑微分，特别是2()2(,,)((,,))Z r TH S T ZF G S T Z eSσ-∂'=∂.3、Vt∂Θ=∂是更常见的表达式，t表示距离期初的时间. 若设T为衍生品的期限，T为距离期末的时间，则t T T=-，进而有V V dt VT t dT t∂∂∂==-∂∂∂. 这就是VT∂Θ=-∂的由来.4、记21()2Z r ttS S eσ-=.注意到~(0,)N t，而(标准)布朗运动~(0,)tW N t，故21()2tW r ttS S eσσ+-= ，即几何布朗运动. 通过伊藤公式，还可知其微分形式为()t t tdS S dW rdtσ=+.tW 是风险中性概率测度下的(标准)布朗运动，由实际概率测度下的(标准)布朗运动tW经过概率测度变换得到，212t trdW dW dtμσσ-+=+.在实际概率测度下，tW ttS S eσμ+=或21(())2t t tdS S dW dtσμσ=++. 值得注意的是，在概率测度变换后，lntS的方差并没有改变，均为2tσ. 因此，只要测得基础资产的波动率σ和市场利率r，就可对衍生品进行定价.5、该定理其实就是B-S方程222212V V VS rS rVt S Sσ∂∂∂++-=∂∂∂. B-S方程可以由伊藤公式和无套利原则得出，证明很简洁，且给出了VS∂∆=∂的表达式. 感兴趣的同学可以自己做做. 教材上的证明通过离散过程的极限模拟连续过程不够严谨(中心极限定理只是近似)，而且相当繁琐.6、今天阳光真好~。