ti, j
ti1, j x
A. 温度对时间的向前差分
B. 温度对时间的中心差分
( t
)i, j
t k1 i, j
tki, j
( t
)i, j
t t k1 i, j
k 1 i, j
2
C. 温度对时间的向后差分
均匀网格：沿x和y方向是等步长的；
边界节点：网格线与物体边界的交点；
微元体：以每一个节点为中心的小区域；
2、 步骤
(i-1,j)
(i,j+1) (i,j)
N
(i+1,j)
1）划定网格线
2）确定节点
j
x0+iΔx, y0+jΔy
y
y
x x (i,j-1)
i
= (i , j)
3）每个节点为 中心划分单
二、 建立离散方程的常用方法：
(1)Taylor（泰勒）级数展开法； 应用泰勒级数展开式，把导热微分方程中的各阶
导数用相应的差分表达式来代替，进而建立离散方 程。
(2) 热平衡法 将相邻节点间的温度分布视为线性，利用热平衡
原理，认为某一节点与周围各节点区域之间的总换 热量为0，进而建立离散方程的方法。
2 三种方法的基本求解过程
(1) 理论分析方法--就是在理论分析的基础上，直接对微分方程在给 定的定解条件下进行求解，得到温度与空间变量和时间变量之间的函 数关系式，通过这种关系式，获得物体内任意时刻的温度值，称为分 析解，或叫理论解；
(2) 数值计算法--把原来在时间和空间连续的物理量的场，用有限个
(3) 实验法: 是传热学的基本研究方法，a 适应性不好； b 费用昂贵
数值解法：有限差分法（finite-difference）、 有限元法（finite-element） 、 边界元法（boundary- element）、 分子动力学模拟（MD）
第四章 导热问题的数值解法
8
第一节 建立离散方程的方法
t ti1, j ti, j 0(x) (4 1)
x i, j
x
一阶导数向前差
分表达式
第四章 导热问题的数值解法
13
1、泰勒级数展开法
3）同理，用节点(i,j)的温度ti,j来表示节点(i-1,j) 的温度ti-1,j
ti1, j
ti, j
t x
i, j
x
2t x2
i, j
x2 2!
3t x3
ti,
j 1
2ti, j y2
ti, j1
0
8）总结1-----一阶导数的各种差分形式
A. 温度对坐标的向前差分 （以x方向为例，下同）
(
t x
)i,
j
ti1, j ti, j x
C. 温度对坐标的向后差分
B. 温度对坐标的中心差分
(
t x
)i,
j
ti1, j ti1, j 2x
t (x )i, j
第四章 导热数值解法基础
主要内容
引言 第一节 第二节 第三节
建立离散方程的方法 稳态导热的数值计算 非稳态导热的数值计算
第四章 导热问题的数值解法
3
第四章 导热问题的数值解法
4
第四章 导热问题的数值解法
5
引言
1 求解导热问题的三种基本方法：(1) 理论分析法；(2) 数 值计算法；(3) 实验法
第四章 导热问题的数值解法
12
1、泰勒级数展开法
1）根据泰勒级数展开式，用节点(i,j）温度ti,j 来表示节点(i+1,j)，的温度ti+1,j时，展开式为
ti1, j
ti, j
t x
i, j
x
2t x2
i, j
x2 2!
3t x3
i, j
x3 3!
4t x4
i, j
x4 4!
(1)
2）移项整理并归并可得（一阶截差公式） 截断误差
一、区域和时间的离散化
1、描述：二维导热，矩形域内稳态无内热源，常 物性的导热问题
(i,j+1) (i-1,j)
(i,j) (i,j-1)
网格线：沿x和y方向分别按间距Δx和
Δy，用一系列与坐标轴平行的
网格线，把求解区域分割成许多
(i+1,j)
小的矩形网络，称为子区域。
节点：网格线的交点；
步长：相邻两节点的距离；
i, j
x3 3!
4t x4
i, j
x4 4!
(2)
4）移项整理并归并可得（一阶截差公式） 一阶导数向后 差分表达式
t ti1, j ti, j 0(x)
x i, j
x
(4 1)
t ti, j ti1, j 0(x)
x i, j
x
(4 2)
将式4-1 减去式42：
t ti1, j ti1, j o(x2 )
测试计算的方法。
3 三种方法的特点 (1)理论分析法
a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算 提供比较依据；(什么意思???)
b 局限性很大，对复杂的问题无法求解； c 分析解具有普遍性，各种因素的影响清晰可见
第四章 导热问题的数值解法
7
(2) 数值法：在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性 强，特别对于复杂问题更显其优越性；与实 验法相比成本低(航天飞机)
第四章 导热问题的数值解法
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7）举例
常物性，无内热源，二维稳态导热问题
A:首先写出通用微分表达式：
化
c t
(
x
t ) x
(
y
t ) y
(
z
t z ) qv
(1 19)
简
( t ) ( t ) 0
x x y y
2t 2t 0 x2 y2
ti1, j
2ti, j x2
ti1, j
离散点上的值的集合来代替，把原来在空间和时间上连续的物理量的
场转变为有限个离散的网格单元节点上的物理量的集合，通过求解按
一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，从而获得离散点上被求
物理量的值，称之为数值解；
6
(3) 实验法-- 就是在传热学基本理论的指导下，采用对所 研究对象的传热过程利用相似理论搭建试验台，进行
x i, j
2x
一阶导数中心 差分表达式
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5）若将式1和式2相加移项整理即得二阶导数的中心差分：
2t x2
ti1, j
2ti, j x2
ti1, j
o(x2 )
i, j
6）同样可得：
2t y2
ti, j1
2ti, j y2
ti, j1
o(y2 )
i, j
截断误差
未明确写出的级数余项
中的ΔX 的最低阶数为2
图4－导热问题数值求解示例
第四章 导热问题的数值解法
10
4) 划分单元网格后，物体内温度由原来连续函数成为 有限个离散数值，温度曲线成为阶梯状变化。
5) 列节点代数方程，求解有限个离散温度值
Δx=Δy时 i,j节点:
ti,j
1 4 (ti1, j
ti1, j
ti, j1
ti, j1 )
第四章 导热问题的数值解法