+∞
+∞
x(n) = xa (nTs ) 1 jw X (e ) = Ts w 2π ∑ X a j T − T l = −∞ s s
+∞
w = ΩTs 1 Fs = Ts
l
Fs: the sampling frequency, sam/sec
Charpter1-6 exercise(补充内容)
z = a −1
x(n)=(a-n-an)u(-n-1)
Charpter1-6 exercise(补充内容)
(3) 收敛域|a|<|z|<|a-1|
x(n)是双边序列。 根据被积函数F(z)， 按n≥0和n<0两 情况分别求x(n)。 n≥0时， c内极点z=a x(n)=Res［F(z), a］=an n<0时， c内极点有二个， 其中z=0是n阶极点， 改求c外极点留数， c外极点只有z=a-1， 因此 x(n)=-Res［F(z), a-1］=a-n 最后将x(n)表示为 an n≥0 x(n)= x(n)=a|n| a-n n<0
Charpter1-6 exercise(补充内容) 有限长序列： ∞ n1<0， n2≤0时， 0≤z＜∞ 双边Z变换 X ( z ) = ∑ x ( n ) z − n n1<0， n2>0时， 0<z＜∞ n =−∞ n1≥0， n2>0时， 0<z≤∞ ∞ 单边Z变换 X ( z ) = ∑ x ( n ) z − n 右序列： n =0 收敛域为Rx- <|z|<∞
Charpter1-6 exercise(补充内容)
第2章 离散时间信号与系统
时域离散信号 时域离散系统 卷积 差分方程
Charpter1-6 exercise(补充内容) 常用的典型序列: δ(n) ,u(n) , RN(n) , 正弦序列,指数序列 序列的运算:加权、加法、移位、翻转、累加及累乘。 序列的周期性和合成（单位样本、奇偶和几何级数） 序列的相关定义 线性时不变系统 卷积（交换，结合，分配律） 线性时不变系统因果性的充要条件h(n)=0， n<0 系统稳定的充分必要条件是： 差分方程：定义，零输入、零状态； 齐次解、特解；稳态，暂态
c ∞
Rx − < z < Rx + c ∈ ( Rx − , Rx + )
X ( z ) z n −1dz,
１．用留数定理求逆Z变换
1 2π j
∫
c
X ( z ) z n −1dz = ∑ Re s[ X ( z ) z n −1 , zk ]
k
单阶极点
Re s[ X ( z ) z n −1 , zk ] = ( z − zk ) ⋅ X ( z ) z n −1
z = a −1
x(n)=(an-a-n)u(n)。
Charpter1-6 exercise(补充内容)
(2) 收敛域|z|<|a| 原序列是左序列， 无须计算n≥0情况， 当 n≥0时， 围线积分c内没有极点， 因此x(n)=0。 n<0时， c内只有一个极点z=0， 且是n阶极点， 改求c外极点留数之和
−Ω s / 2
e jΩt dΩ
(n －3)T
(n －1)T (n ＋1)T nT (n －2)T (n ＋2)T (n ＋3)T t
Charpter1-6 exercise(补充内容) Exercise3.7
Charpter1-6 exercise(补充内容)
P3.9 X 2 N +1 (e ) =
Charpter1-6 exercise(补充内容)
Reconstruction
x(n)
+∞ n = −∞
Impulse train conversion
Ideal lowpass filter
xa (t )
∑ x(n)δ (t − nTs ) = ⋯ + x(−1)δ (t + Ts ) + x(0)δ (t ) + x(1)δ (t − Ts ) + ⋯
Sampling Principle
A band-limited signal xa(t) with bandwidth F0 ,can be reconstructed from its sample values x(n)=xa(nTs) ,if the sampling frequency Fs=1/Ts is greater than twice the bandwidth F0 of xa(t) . Fs >2 F0. Otherwise aliasing would result in x(n). The sampling rate of 2 F0 for an analog band-limited signal is called the Nyquist rate.
n = −∞
xa (t ) =
∑ x(n)sinc[ Fs (t − nTs )]
∫
Ωs / 2
+∞
Interpolating formula
sin[π (t − nT ) / T ] π (t − nT ) / T
h(t ) =
1 ∞ T H ( jΩ)e jΩt dΩ = 2π ∫−∞ 2π sin(Ω s / 2) sin(πt / T ) = = Ω st / 2 πt / T
Condition: 1. Absolutely summable sequence 2. LTI system
Charpter1-6 exercise(补充内容)
X a ( jΩ) = ∫−∞ xa (t )e − jΩt dt 1 xa (t ) = 2π X a ( jΩ)e jΩt dΩ ∫−∞
jω n =−∞ ∞ 2N
∑
RN (n)e
− jω n
=e
jN ω
∑
n =0
e − jω n
1 − e − jω (2 N +1) e jω /2 (e jω (2 N +1)/2 − e− jω (2 N +1)/2 ) = = − jω 1− e e jω (2 N +1)/2 (e jω /2 − e − jω /2 ) sin[ω (2 N + 1) / 2)] − jN ω sin[(ω 2 N + 1) / 2)] jN ω =e e = sin ω / 2 sin sin ω / 2 ∞ 1 ∞ jω − jω n X (e ) = ∑ cos ω0 nRN (n)e = ∑ (e jω0 n + e − jω0 n )RN (n)e − jω n 2 n =−∞ n =−∞ 1 = [ X N (e j (ω +ω0 ) ) + X N (e j (ω −ω0 ) )] 2
Charpter1-6 exercise(补充内容)
Charpter1-6 exercise(补充内容)
第３章 ＤＴＦＴ
DTDT定义 定义 DTDT性质 性质 频域表示 采样与重构
Charpter1-6 exercise(补充内容)
时间函数 连续和非周期 连续和周期 离散和非周期 散和周期 频率函数 非周期和连续 非周期和离散 周期和连续 周期和离散
n −1
z = zk
N阶极点 Re s[ X ( z ) z
1 d N −1 , zk ] = [( z − zk ) N X ( z ) z n −1 ] ( N − 1)! dz N −1
z = zk
Charpter1-6 exercise(补充内容) 留数辅助定理
F ( z) = X ( z) z
虚部和j <---> 共轭反对称性（实部---奇，虚部----偶） 周期性：2pi为周期
Charpter1-6 exercise(补充内容)
x(n)
X (e )
jw
h(n)
H (e jw ), h(n)
y ( n ) = h ( n) * x ( n )
Y (e jw ) = H (e jw ) X (e jw )
X (e jω ) =
n =−∞
∑
∞
x ( n )e − jω n
成立的充分必要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件
1 x ( n) = 2π
∫π
−
π

X (e jω )e jω m d ω
Charpter1-6 exercise(补充内容)
Charpter1-6 exercise(补充内容) 对称性： 共轭对称序列：xe(n)=x*e(-n) 共轭反对称序列：xe(n)=-x*e(-n) 实部 <---> 共轭对称性（实部---偶，虚部----奇）
1 − a2 , a <1 X ( z) = −1 (1 − az )(1 − az )
Charpter1-6 exercise(补充内容) (1) 收敛域|z|>|a-1| 1 − a2 F ( z) = z n −1 (1 − az )(1 − az −1 ) 1 − a2 = zn − a ( z − a )( z − a −1 )
x ( n ) = Re s[ F ( z ), a ] + Re s[ F ( z ), a −1 ] (1 − a 2 ) z n =− ( z − a) ( z − a )(1 − az ) = an − a −n
z =a
(1 − a 2 ) z n + ( z − a −1 ) − a ( z − a )( z − a −1 )
－τ
o x p(t) x a(t) 1 (a) |X a( jΩ )|