习题1.11、（1）否（2）否（3）是，真值为0（4）否（5）是，真值为12、（1）P：天下雨 Q：我去教室┐P → Q（2）P：你去教室 Q：我去图书馆 P → Q（3）P，Q同（2） Q → P（4）P：2是质数 Q：2是偶数 P∧Q3、（1）0（2）0（3）14、（1）如果明天是晴天，那么我去教室或图书馆。

（2）如果我去教室，那么明天不是晴天，我也不去图书馆。

（3）明天是晴天，并且我不去教室，当且仅当我去图书馆。

习题1.21、（1）是（2）是（3）否（4）是（5）是（6）否2、（1）(P → Q) →R，P → Q，R，P，Q（2）(┐P∨Q) ∨（R∧P），┐P ∨ Q，R∧P，┐P，Q，R，P（3）((P → Q) ∧ (Q → P)) ∨┐(P → Q))，(P → Q) ∧(Q → P)，┐(P → Q)，P →Q，(Q → P)，P → Q，P，Q，Q，P，P，Q3、（1）((P → Q) → (Q → P)) → (P → Q)（2）((P → Q) ∨ ((P → Q) → R))→ ((P → Q) ∧ ((P → Q) → R))（3）(Q → P∧┐P) → (P∧┐P → Q)4、(P → Q) ∨ ((P∧Q) ∨ (┐P∧┐Q)) ∧ (┐P∨Q)习题1.31、（1）I(P∨(Q∧R)) = I(P)∨(I(Q)∧I(R)) = 1∨(1∧0) = 1（2）I((P∧Q∧R)∨(┐(P∨Q)∧┐(R∨S))) = (1∧1∧0)∨(┐(1∨1)∧┐(0∨1)) = 0∨(0∧0) = 0（3）I((P←→R)∧(┐Q→S)) = (1←→0)∧(┐1→1) = 0∧1 = 0（4）I((P∨(Q→R∧┐P))←→(Q∨┐S)) = (1∨(1→(0∧┐1)))←→(1∨┐1) = 1←→1 =（5）I(┐(P∧Q)∨┐R∨((Q←→┐P)→R∨┐S)) = ┐(1∧1)∨┐0∨((1←→┐1)→(0∨┐1)) = 0∨1∨1 = 12、（1）P Q P→Q Q∧(P→Q) Q∧(P→Q)→P0 0 1 0 10 1 1 1 01 0 0 0 11 1 1 1 1（2）P Q R Q∧R ┐(P∨(Q∧R)) P∨Q P∨R (P∨Q)∧(P∨R) 原式0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 1 0 1 0 1 0 00 1 0 0 1 1 0 0 00 1 1 1 0 1 1 1 01 0 0 0 0 1 1 1 01 0 1 0 0 1 1 1 01 1 0 0 0 1 1 1 01 1 1 1 0 1 1 1 0（3）P Q R P∨Q Q∧P P∨Q→Q∧P P∧┐R 原式0 0 0 0 0 1 0 00 0 1 0 0 1 0 00 1 0 1 0 0 0 10 1 1 1 0 0 0 11 0 0 1 0 0 1 11 0 1 1 0 0 0 11 1 0 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 0 03、（1）原式 <=> F→Q <=> T 原式为永真式（2）原式 <=> ┐T∨(┐(┐P∨Q)∨(┐┐Q∨┐P)) <=> (P∧┐Q)∨(Q∨┐P)<=> (P∧┐Q)∨┐(P∧┐Q) <=> T 原式为永真式（3）原式 <=> ┐(P∧Q) ←→┐(P∧Q) <=> T 原式为永真式（4）原式 <=> P∧(Q∨R) ←→ P∧(Q∨R) <=> T 原式为永真式（5）原式 <=> ┐(P∨┐Q)∨Q <=> (┐P∧Q)∨Q <=> Q 原式为可满足式（6）原式 <=> ┐(P∧Q)∨P <=> ┐P∨┐Q∨P <=> T∨┐Q <=> T 原式为永真式（7）原式 <=> (┐P∨P∨Q)∧┐P <=> (T∨Q)∧┐P<=> T∧┐P <=> ┐P 原式为可满足式（8）原式 <=> ┐((P∨Q) ∧(┐Q∨R))∨(┐P∨R) <=> (P∧┐Q)∨(Q∧┐R)∨(┐P∨R) <=> ((P∧┐Q)∨┐P)∨((Q∧┐R)∨R)<=>(( P∨┐P)∧(┐Q∨┐P))∨(( Q∨R)∧(┐R∨R))<=> (┐Q∧┐P)∨( Q∨R) <=> T 原式为永真式4、（1）左 <=> ┐P∨┐Q∨P <=> ┐┐P∨(┐P∨┐Q) <=> 右（2）左 <=> ┐(┐P∨Q) <=> 右（3）左 <=> ┐(P∧Q)∨P <=> ┐P∨┐Q∨P <=> T∨┐Q <=> 右（4）左 <=> ┐(P→Q)∨┐(Q→P) <=> (P∧┐Q)∨(Q∧┐P) <=> 中<=> ((P∧┐Q)∨Q)∧((P∧┐Q)∨┐P)<=> (P∨Q)∧(┐Q∨Q)∧(P∨┐P)∧(┐Q∨┐P)<=> (P∨Q)∧┐(P∧Q) <=> 右(5)左 ( P Q) ( R Q) (P Q) Q 右5.(1)左 Q P Q 右(2)(P (Q R)) ((P Q) (P R))( P Q R) ( P Q) ( P R)(P Q R) (P Q) P R(P Q R) ((P P) ( Q P)) R(P Q R) ( Q P R)(P Q R) (P Q R)T故P (Q R) (P Q) (P R)(3).(P Q) (P P Q)( P Q) P (P Q)( P Q) ( P P) ( P Q)( P Q) ( P Q)T故P Q P P Q(4).((P Q) Q) P Q( ( P Q) Q) P Q(( P Q) Q) P Q( P Q) (Q Q) P Q(P Q) (P Q)T故(P Q) Q P Q(5).((P P) Q) ((P P) R) (Q R)(( T Q) ( T R)) Q R(Q R) Q RQ R Q RQ TT故((P P) Q) ((P P) R) Q R(6)左 (Q F) (R F)( Q F) ( R F)Q RRR Q 右6.(1)原式 ( P Q R)(2)原式 P Q P (P Q P)(3)原式 P (Q R P) P Q R ( P Q R)7.(1)原式 ( P Q P)(2)原式 ( P Q R) P Q ( ( P Q R) P Q)(3)原式 P Q (R P) (P Q (R P))8. (1) (P Q) (( P ( P Q)) R) P(2)(P Q R) ( P R)(3)(P F) (Q T)习题1.41.(1)原式 ( P Q) (( P Q) (Q P))( P Q) (Q P)(P Q) Q PQ P,既是析取范式又是合取范式(2)原式 (( P Q) ( P Q)) ( ( P Q) ( P Q))(P Q) (P Q) 析取范式P (Q Q)合取范式(3)原式 P Q S ( P Q)析取范式( P ( P Q)) Q SP Q S合取范式(4)原式 P P Q Q R既是析取范式又是合取范式2.(1)原式 P Q R为真的解释是：000，001，011，100，101，110，111故原式的主析取范式为:( P Q R) ( P Q R) ( P Q R) (P Q R) (P QR) (P Q R) (P Q R)(2)原式 (P Q) R(P Q (R R)) ((P P) R)(P Q R) (P Q R) (P Q) ( P R)(P Q R) (P Q R) (P (Q Q) R) ( P (Q Q) R)(P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) ( P Q R) ( P Q R)(P Q R) (P Q R) (P Q R) ( P Q R) ( P Q R)为真的解释是101，100，111，011，001(3)原式 ( P (Q R)) (P ( Q R))(( P (Q R)) P) (( P (Q R)) ( Q R))( P P) (Q P R) ( P Q R) (Q R Q R)(P Q R) ( P Q R)为真的解释是：000,111(4)原式 P P Q Q R P Q R为真的解释是：001，010，011，100，101，110，111故原式的主析取范式为：( P Q R) ( P Q R) ( P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R)3.(1)原式 P Q P Q T主合取范式，无为假的解释。

(2)原式 (P Q R) ( P Q R) ( P Q R) ( P Q R)为真的解释为：111，011，001，000，故为假的解释为：010，100，101，110原式的主合取范式为：(P Q R) ( P Q R) ( P Q R) ( P Q R)(3)由 2.(2)知，原式为真的解释是：101，100，111，011，001，故为假的解释是：000，010，110.故原式的主合取范式为：(P Q R) (P Q R) ( P Q R)(4)由2.(4)知，原式为假的解释是：000，故原式的主合取范式为：P QR4.(1)左式 ( P Q) ( P R)( P Q (R R)) ( P (Q Q) R)( P Q R) ( P Q R) ( P Q R)右式 P (Q R) ( P Q) ( P R)( P Q R) ( P Q R) ( P Q R)故原式成立。

(2)左式（P∧┐Q）∨（P∧Q），右式（P∨P）∧(┐Q∨P) P∧（P∨┐Q） P （P∧┐Q）∨（P∧Q），故原式成立(3)左式（P∧Q）∧┐（P∧Q） F，主析取范式右式┐（P∨Q）∧（P∨Q） F，故原式成立(4)左式 T∨（P∧Q） T，主合取范式右式┐（P∧Q）∨（P∧Q） T，故原式成立习题1.51.（1）①P∧Q 前提②P ①，化简③P→(Q→R) 前提④Q→R ②，③，MP⑤Q ①，化简⑥R ④，⑤，MP（2）①R 前提②┐（Q∧R）前提③┐Q∨┐R ②，E11④┐Q ①，③，析取三段论⑤┐P∨Q 前提⑥┐P ④，⑤，析取三段论（3）①┐S 假设前提②S∨P 前提③P ①，②，析取三段论④（P→Q）∧（P→R）前提⑤P→Q ④，化简⑥P→R ⑤，化简⑦Q ③，⑤，MP⑧R ③，⑥，MP⑨Q∧R ⑦，⑧，合取引入⑩┐（Q∧R）前提⑪（Q∧R）∧┐（Q∧R）⑨，⑩，合取引入⑫F ⑪，E21故原推理成立（4）①┐R 假设前提②（P→Q）→R 前提③┐（P→Q）①，②，拒取式④P∧┐Q ③，E14，E10⑤Q∧T 前提⑥P∧┐Q∧Q∧T ④，⑤，合取引入⑦F ⑥，E21，E17故原推理成立2.（1）①P 附加前提②┐P∨Q 前提③Q ①，②，析取三段论④┐Q∨R 前提⑤R ③，④，析取三段论⑥R→S 前提⑦S ⑤，⑥，MP⑧P→S CP（2）①P 附加前提②P→Q 前提③Q ①，②，MP④P∧Q ①，③，合取引入⑤P→P∧Q CP（3）①P∧Q 附加前提②P ①，化简③P∨Q ②，附加规则④P∨Q→R 前提⑤R ③，④，MP⑥P∧Q→R CP（4）①P 附加前提②Q 附加前提③P→（Q→R）前提④Q→R ①，③，MP⑤R ②，④，MP⑥Q→（R→S）前提⑦R→S ②，⑥，MP⑧S ⑤，⑦，MP⑨P→Q→R CP3.（1）①┐（┐P）假设前提②P ①，E1③P→┐Q 前提④┐Q ②，③，MP⑤Q∨┐R 前提⑥┐R ④，⑤，析取三段论⑦R∧┐S 前提⑧┐R∧R∧┐S ⑥，⑦，合取引入⑨F ⑧，E21，E17故原推理成立（2）①┐（R∨S）假设前提②┐R∧┐S ①，E10③┐R ②，化简④┐S ②，化简⑤P→R 前提⑥Q→S 前提⑦┐P ③，⑤，拒取式⑧┐Q ④，⑥，拒取式⑨┐P∧┐Q ⑦，⑧，合取引入⑩┐（P∨Q）⑨，E10⑪P∨Q 前提⑫┐（P∨Q）∧（P∨Q）⑩，⑪，合取引入⑬F ⑫，E21故原推理成立（3）1.┐(┐S) 假设前提2.S 1,E13.S→┐Q 前提4.┐Q 2, 3,MP5.┐R Q 前提6.(┐R→Q) ∧(R→┐Q) 5,E157.┐R→Q 6,化简8.R 4, 7,拒取式9.┐R 前提10.R∧┐R 8,9,合取引入11.F 10,E21故反推原理正确(4) 1.┐(P Q) 假设前提2.┐（P→Q）∨┐(Q→P) 1,E15,E113.┐(P→Q) →┐(R∨S) 前提4. (Q→P) ∨┐R 前提5.┐(Q→P) →┐R 4,E146.┐(R∨S) ∨┐R 2，3，5构造二难性7.┐((R∨S) ∧R) 6，E118.┐R 7，E139.R 前提10.┐R∧R 8，9合取引入11.F 10，E21故反推原理正确4 （1）先证├┐┐A→A①┐┐A 附加前提②┐┐A→(┐A→┐┐┐A) P31例1.5.7中用┐A置换用┐┐┐A置换A③(┐A→┐┐┐A) ①，②，MP④(┐A→┐┐┐A) →(┐┐A→A) L3中用┐┐A置换B⑤┐┐A→A ③，④，MP⑥A ①，⑤，MP⑦┐┐A→A 演绎定理再证├A→┐┐A①┐┐┐A→┐A 上述结论中用┐A置换A②(┐┐┐A→┐A) →(A→┐┐A) L3中用┐┐A置换A，用A置换B③A→┐┐A ①，②，MP最后证├((B→A) →(┐A→┐┐B))①B→A 附加前提②┐┐B→B 上述结论③┐┐B→A ①，②，HS④A→┐┐A 上述结论⑤┐┐B→┐┐A ③，④，HS⑥(┐┐B→┐┐A) →(┐A→┐B) L3中用┐B置换A，用┐A 置换B⑦┐A→┐B ⑤，⑥，MP⑧(B→A) →(┐A→┐B) 演绎定理(2)先证├┐(A→B) →A①┐(A→B) 附加前提②┐A→(A→B) P31,例1.5.7③(┐A→(A→B)) →(┐(A→B) →┐┐A) （1）④┐(A→B) →┐┐A ②，③，MP⑤┐┐A ①，④，MP⑥┐┐A→┐A 上述结论⑦A ⑤，⑥，MP⑧┐(A→B) →A 演绎定理再证├┐(A→B) →(B→A)①┐(A→B) →A 上述结论②A→(B→A) L1③┐(A→B) →(B→A) ①，②，HS习题1.61. P→Q┐P∨Q(P↓P) ∨Q┐((P↓P) ↓Q) ((P↓P) ↓Q)↓((P↓P) ↓Q)(P∨Q) ∧R┐(┐(P∨Q) ∨┐R) ┐((P↓Q) ∨(R↓R))(P↓Q) ↓(R↓R)2. P∧(Q→R) P∧(┐Q∨R) Û(P∧┐Q) ∨(P∧R) Û┐(P↑┐Q) ∨┐(P↑R) Û┐((P↑(Q↑Q)) ∧(P↑R)) Û(P↑(Q↑Q)) ↑(P↑R)3.(1)左式ÛP∧QÛ┐(┐P∨┐Q) Û右式(2)左式ÛP∨QÛ┐(┐P∧┐Q) Û右式4．（1）否，见P33，例1.6.1（2）否，见P33，例1.6.1（3）是，P→Q Û┐(P Q),P∧QÛ┐(┐P∨┐Q) Û┐(P→┐Q) ÛP ┐Q, P∨QÛ┐P→QÛ┐(┐P Q),P QÛ(P→Q) ∧(Q→P) Û┐(┐(P→Q) ∨┐(Q→P)) Û┐((P→Q) →┐(Q→P)) Û(P→Q) ┐(Q→P) Û┐(P Q) (Q P){┐， }中去掉┐，无法表示否定，去掉，无法表示二元运算(4 ) 否。