例4．设总体 服从 上的均匀分布，（ ）是来自 的样本，设 ， ，试证：（1） ， 均是 的无偏估计，（2）问 ， 中哪个更有效？
证：（1）由于 的密度为 ，
故 的分布函数为 ，
对应的密度函数为 ，
从而 。
所以， 是 的无偏估计，
类似地， 的密度为 ，
故
，
（ ， ， ， ）
所以， 是 的无偏估计。
（2）为计算 ，先算 。
， ， ，
越小， 越大，故
的分布函数为
的分布函数为
的密度函数为
，故 不是 的无偏估计。取 ，因 ，故 是 的无偏估计。
例6．设总体 的概率分布为
0 1 2 3
其中 是未知参数，利用总体的如下8个样本:3，1，3，0，3，1，2，3，求 的矩估计和最大似然估计值。
解：
，令 ，即 ，
解得 得矩估计值 。
又从题目要求 ，可令 ，得 =15.68，取大于 的最小整数是16。
例8．设总体 ， 已知，问样本容量 为多大时，方能保证 的置信度为0.95下的置信区间长度不超过 ？
解：由于 ， 已知，故用 作统计量即可找到分位数 ，
使 ，即 ，
从而置信区间长为 ，再由题目要求 ，从中解出 ，故 ，其中 表示为小于 的最大整数。
故有 ,
，故 的置信区间为 。
（3）由上题结果 及 的严格递增性，可知：
，
故 的置信度为0.95置信区间为 。
3．假设检验
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第八讲 极大似然估计，无偏性和有效性）
例1．设总体 的概率密度为 ， 是取自总体 的简单随机样本，(1)求 的矩估计量 ；（2）求 的方差 。
解：（1） ， 为样本的一阶矩，
令 ，得 =2 。
（2） ，
，
= 。
注：对任何分布的总体 的样本均值 ，都有 ， 。
例2．设样本（ ）是取自正态总体 的容量为 的样本，试确定常数 ，使得 是 的无偏估计。
例9．假设0.50，1.25，0.80，2.00是取自总体 的简单样本值，已知 = 服从正态分布 ，
（1）求 数学期望 （记 为 ）。
（2）求 的置信度为0.95的双侧置信区间。
（3）利用上述结果求 的置信度为0.95的双侧区间。
解：（1） 的概率密度函数为 ， ，于是（令 ）
。
（2）当置信度 时，标准正态分布的( )分位数为1.96，又 ，
似然函数： ,
，
。
令 ，解得 。因 ，不合题意，所以 的最大似然估计值为 。
2．区间估计
例7．在天平上重复称量一重为 的物品，假设各次称量结果相互独立且服从正态分布 ，若以 表示 次称量结果的算术平均值，则为使 ，则 的最小值应不小于自然数16。
分析：由于 ，由区间估计方法中有关均值的思想： ，
查正态分布的 的分位数 ，即 ，
解：由于 为样本，故 ， ，于是 ， ， ，因此 ，要使 是 的无偏估计，只须 ，故 。
例3．设 是参数 的无偏估计，且有 ，试证 不是 的无偏估计。
证明：（反证法）若 是 的无偏估计，且 也是 的无偏估计，则有 与 矛盾，所以 一定不是 的无偏估计。
同理：若 是 的无偏估计，则 一定不是 的无偏估计。
故 ，另外
，故 ，从而 比 更有效。
例5．设总体 的概率密度为
其中， 是未知参数， 是来自 的一组样本，
（1）求 的矩法估计 ，并考察 是否为 的无偏估计。
（2）求 的极大似然估计 ，并考察 是否为 的无偏估计。若不是，如何修正成 的无偏估计？
解：（1） ，因此
，所以此矩估计 是 的无偏估计。
（2）似然函数 ，