第五章参数估计和假设检验
本章重点
1、抽样误差的概率表述；
2、区间估计的基本原理；
3、小样本下的总体参数估计方法；
4、样本容量的确定方法；
本章难点
1、一般正态分布 标准正态分布；
2、t分布；
3、区间估计的原理；
4、分层抽样、整群抽样中总方差的分解。

统计推断：利用样本统计量对总体某些性质或数量特征进行推断。

两类问题：参数估计和假设检验
基本特点：（1）以随机样本为基础；
（2）以分布理论为依据；
（3）推断的只是一种可能的结果；
（4）是归纳推理和演绎推理的结合。

本章主要内容：阐述常用的几种参数估计方法。

第一节参数估计
一、参数估计的基本原理
两种估计方法
点估计 区间估计 1．点估计：以样本指标直接估计总体参数。

点估计优良性评价准则
（1）无偏性。

估计量 的数学期望等于总体参数，即 ，
该估计量称为无偏估计。

（2）有效性。

当 为 的无偏估计时， 方差 越小， 无偏估计越有效。

（3）一致性。

对于无限总体，如果对任意 ，有 ,则称 是 的一致估计。

（4）充分性。

一个估计量如能完全地包含未知参数信息，即为 充分估计量。

2．点估计的缺点：不能反映估计的误差和精确程度
区间估计：利用样本统计量和抽样分布估计总体参数的可能区间 【例1】CJW 公司是一家专营体育设备和附件的公司，为了监控公司的服务质量， CJW 公司每月都要随即的抽取一个顾客样本进行调查以了解顾客的满意分数。

根据以往的调查，满意分数的标准差稳定在20分左右。

最近一次对100名顾客的抽样显示，满意分数的样本均值为82分，试建立总体满意分数的区间。

抽样误差
抽样误差：一个无偏估计与其对应的总体参数之差的绝对值。

抽样误差 = （实际未知） 要进行区间估计，关键是将抽样误差E 求解。

若 E 已知，则区间可表示为：
区间估计：估计未知参数所在的可能的区间。

区间估计优良性评价要求
θθ
⇒ˆθˆθθ=ˆE θˆ0＞
εθˆ2)ˆ(θθ-E 0)|ˆ(|=≥-∞
→εθθn n P Lim n θˆθθαθθθ-=1)ˆˆ(U
L P ＜＜[]
E x x +-,E
（1）置信度。

随机区间 包含 的概率（即可靠程度）
越大越好。

（2）精确度。

随机区间 的平均长度 （即误差
范围）越小越好。

置信区间频率解释的图解：
区间估计的一般形式：
或：
总体参数 估计值 误差范围 △：一定倍数的抽样误差。

例如
抽样误差 一定时， 越大，概率（可靠性）大；
随之增大，精确度就差。

二、总体均值和成数的置信区间
)ˆ,ˆ(U L θθθ)ˆ,ˆ(U L θθ)ˆ,ˆ(L U E θθ以总体均
值 为中心的样本均值的正态分布
x μμ=)ˆ()ˆ(△＜＜△+-θθθ
△±=θ
θˆn
Z x σ
α2
=△n /σ2
αZ x △
三、分层抽样
在简单随机抽样中，我们计算总方差是采用的公式是
在分层抽样中，我们事先将总体按一定的标志进行分层，所形成
的数据实际等同于组距式数列，在组距式数列中，总方差需要运用方差加法定理来计算。

这就是说，如果要计算总方差，则需分别将组间方差和平均组内
方差先计算出来。

在分层抽样下，是否真的需要由组间方差和平均组内方差相加来计算总方差呢？ 我们来考察一下分层抽样的实施过程：
层间抽样：在每一层抽取 全面调查 层间方差 层内抽样：抽取部分样本单位 抽样调查 层内方差 我们说抽样误差是抽样调查这种调查方式所特有的误差，因此上述两部分误差中只有由于抽样调查所形成的层内方差才
2
2()
x x n σ-=
∑222i σδσ=+方差加法定理：
总方差组间方差平均组内方差
是抽样误差的组成部分，而由于全面调查所形成的层间方差不是抽样误差的组成部分。

因此
四、整群抽样
与分层抽样类似，整群抽样下，总方差的计算仍然需要分解：
同样考察整群抽样的实施过程：
层间抽样：在部分层中抽取 抽样调查 群间方 层内抽样：抽取全部样本单位 全面调查 群内方差 类似的，只有群间方差是抽样误差的组成部分。

222
i σδσ=+方差加法定理：
总方差组间方差平均组内方差22
i σσ=总方差平均组内方差2222
:n :n :i i i i i
i i N s n s N n
σσ∑∑=→=
i N ：总体单位数；N 各层的总体单位数；
样本容量；各层的样本单位数；
当总体方差未知时，用相应的样本方差替代。

2x Z α∆=此时，误差边际。