第7.1节 拟一维喷管流动的三个物理问题 换成无量纲量 A 0 At V a0 0 AAt t t0 xL 0 AAt V a0 AAt 0 V a0 0 xL xL
参考量都是常数 化简为
A V A A V A V 0 t x x x
与有量纲形式完全相同 进一步化简为
V ln A V V t x x x 同理可得动量方程和能量方程的无量纲形式。
第7.1节 拟一维喷管流动的三个物理问题 非守恒形式控制方程组
A V A A VA V 0 t x x x
双 曲 型 方 程 组
V V T V R T t x x x

e e V ln A V p pV t x x x
e T
0 1 A J p x 0
守恒变量U与原始变量关系
p T

U 1 A
V
U 2 U 1
U 3 2 T 1 V U 1 2
第7章 拟一维喷管流动的数值模拟
第7.1节 拟一维喷管流动的三个物理问题 为简便计，去掉“ ′ ”，仍用原符号表示，只要记住它们都是 无量纲量即可。则适合时间推进求解的无量纲形式的控制方 程组
V ln A V V t x x x
V V 1 T T V t x x x
第7.1节 拟一维喷管流动的三个物理问题 将守恒形式控制方程组写成矩阵形式 U F J t x AV A 1 2 F AV pA U AV e e 2 2 V VA pAV V A 1 2 1 2
第7章 拟一维喷管流动的数值模拟 本章以拟一维喷管流动为例，讨论CFD方法的具体应用； 通过实际编写拟一维喷管流动数值模拟程序，掌握程序的调 试手段与技巧，包括错误排除等，体会CFD求解问题的基本 过程和步骤，加深对CFD方法的理解。为进一步学习和运用 计算流体力学，自行开发流体力学数值程序或使用商业软件 奠定必要的基础；
A At
已知p0、T0和A*，对给定截面A，由(7-6)式解出Ma，收敛段 取Ma <1，扩张段取Ma >1 ；用(7-7) ~ (7-9a)式求出p、ρ、T 和V——流动参数分布完全取决于面积分布；
第7.2节 亚声速—超声速喷管等熵流动的CFD解法（1）
第7.2节 亚声速—超声速喷管等熵流动的CFD解法（1）
② 已知总温、总压和待求截面的压强——由(7-7)式解出待 求截面的马赫数Ma，再用(7-7)式~ (7-9a)式求出其它参数；
③ 已知总温、总压和某截面的马赫数——由(7-6)式解出临 界截面积A*，再用(7-6)式解出待求截面的马赫数Ma，用 (7-7)式~ (7-9a)式求出其它参数。
第7.1节 拟一维喷管流动的三个物理问题
p RT
h c pT
第7.1节 拟一维喷管流动的三个物理问题 等熵流动的解析解
1 2 1 A 2 Ma 1 2 Ma 1 2 A
p 1 2 1 Ma p0 2

2
1 1
Computational Fluid Dynamics The Basics with Applications
2013年6月
第7.1节 拟一维喷管流动的三个物理问题
第7.2节 亚声速—超声速喷管等熵流动的CFD解法（1） 第7.3节 亚声速—超声速喷管等熵流动的CFD解法（2） 第7.4节 全亚声速喷管等熵流动的CFD解法 第7.5节 含激波喷管流动的CFD解法
第7.1节 拟一维喷管流动的三个物理问题 全亚声速等熵流动——pa比p0小得不多，喷管内部流动由 进口p0和出口反压pa的差值及面积变化决定，称为过度膨 胀状态：收敛段为Ma<1膨胀流动；喉道Ma<1；扩张段为 Ma<1压缩流动； 含激波喷管流动——pa比p0小一 些，扩张段出现激波，流动由进 口p0和出口反压pa的差值及面积 变化决定，也是过度膨胀状态： 收敛段为Ma<1膨胀流；喉道处为 Ma=1临界流，V*=a*；扩张段激 波前为Ma>1膨胀流，激波后为 Ma<1压缩流；反压变化影响激波 位置；激波前后各为熵值不同的 等熵流动。
三、拟一维无黏流动的控制方程组
守恒形式控制方程组
A VA 0 t x
双 曲 型 方 程 组
VA V 2 A p A t x x


V2 V2 e 2 A e 2 VA pAV t x x
(7-6) 面积比公式
1 1
1
(7-7)
1 2 1 Ma 0 2
(7-8)
T 1 2 1 Ma T0 2
1
(7-9)
V Ma RT (7-10a)
第7.1节 拟一维喷管流动的三个物理问题 等熵流动三类问题 ① 已知总温、总压和临界截面积A*——由(7-6)式解出待求 截面的马赫数Ma，再用(7-7)式~(7-9a)式求出其它参数；
第7.2节 亚声速—超声速喷管等熵流动的CFD解法（1） 2. 物理条件 气体为标准空气，γ=1.4； 进口给定总温和总压，无量纲值：p0=1，T0=1，ρ0=1 对出口达超声速的情况，环境反压必须很低。本计算不需要 反压的具体值，它不会影响喷管内部的流动。 3. 精确解 亚声速—超声速喷管等熵流动为定常流动； 临界状态出现在喉道截面，喉道截面积就是临界面积
第7.2节 亚声速—超声速喷管等熵流动的CFD解法（1）
二、网格生成
对一维问题，网格生成非常简单，只需代数方法即可； 有限差分方法使用均匀网格，取网格点数为
第7.2节 亚声速—超声速喷管等熵流动的 CFD解法（1）
本节使用MacCormack两步显式方法求解非守恒形式控制方 程组。
一、问题的提法
1. 喷管的形状 沿x轴喷管的面积分布是二次函数
A 1 2.2x 1.5
2
0 x3
喉道位于x=1.5处；
截面积是以喉道面积为参考值的无量纲面积； 轴向坐标x以喉道距进口距离(而不是喷管全长)为参考值。
T T ln A V V 1T V t x x x
第7.1节 拟一维喷管流动的三个物理问题 2. 守恒形式控制方程组的无量纲化 采用与非守恒控制方程组无量纲化相同的方法，可得无量纲 形式的守恒控制方程组，仍用原符号表示
A VA 0 t x
时间：t0=L/a0
面积：喉道面积At
第7.1节 拟一维喷管流动的三个物理问题 1. 非守恒形式控制方程组的无量纲化 以连续方程（7-42）为例推导无量纲形式。 将连续方程按以下方式改写
V A a0 0 A At a A t 0 A 0 0 t 0 At x t L t t0 L 0 A 0 At V A 0 V At 0 a A a a 0 A t 0 a 0 x x 0 t L 0 0 L L L
1 2 AV pA VA 1 p A t x x e e 2 2 1 2 V A 1 2 V VA pAV 0 t x
温度：滞止温度T0 密度：滞止密度ρ0 内能：滞止内能e0= cvT0 长度：喷管全长L 速度：滞止声速a0
无量纲温度：T′=T/T0
无量纲密度：ρ′=ρ/ρ0 无量纲内能：e′=e/e0 无量纲长度：x′=x/L 无量纲速度：V′=V/a0 无量纲时间：t′=t/t0 无量纲面积：A′=A/At
a0 RT0
第7.1节 拟一维喷管流动的三个物理问题 喷管内部流动完全由进口总压p0和出口反压pa的差值决定。 设喷管任意截面流动参数均匀，流动仅随x变化——拟一维 定常流动；不考虑流体黏性——等熵流动。 对于本章研究的三个问题，喷管内的流动状态分别为： 亚声速—超声速等熵流动——pa远小于p0，内部流动由进 口p0和面积决定，称为欠膨胀状态：收敛段为Ma<1膨胀 流；喉道(最小截面)处为Ma=1临界流，V*=a*；扩张段为 Ma>1膨胀流；反压变化不影响内部流动，也不影响Mae1 和pe→只改变出口外的膨胀；
量热状态方程 e=cvT，cv=Const
T T ln A V cv Vc v RT V t x x x 第7.1节 拟一维喷管流动 Nhomakorabea三个物理问题
四、控制方程组的无量纲化
无量纲化更容易观察流动，并可把流动规律推广到同类问题。 合理使用无量纲量，使参与计算的各量具有差不多的量级， 还可避免在计算中出现大小相差悬殊的数值； 使用无量纲控制方程组计算完毕后，根据需要可将无量纲量 重新化为有量纲量。 选择如下参考量：
本章对三个拟一维喷管定常流动问题，使用MacCormack两 步显式方法计算：
亚声速—超声速喷管等熵流动的CFD解法； 全亚声速喷管等熵流动的CFD解法； 用激波捕捉法求解含激波的喷管流动。
第7章 拟一维喷管流动的数值模拟
第7.1节 拟一维喷管流动的三个物理问题
一、流动模型
拉瓦尔喷管横截面积A是轴向距离x的函数： 喷管入口接驻室，其截面积足够大(理论上无穷大)，驻室 内流速V≈0→驻室内压强和温度p0、T0为总压和总温； 喷管出口处流体参数 为：pe、Te、Ve、Mae 等； 喷管出口外环境压强 （反压）为pa。