通过解题的过程您将有会
lD
C 什么样的收获与启发？
本节将以此题为例探索解决
βB立体中有关角的问题的Fra bibliotek律.5
一、异面直线所成的角 根据异面直线所成角的定义，求异面直线所
成角,就是要将其变换成相交直线所成有角.
求异面直线所成的角常用的方法有：
①向量法:线线角可转化为 cosα = | ABCD |
两直线的方向向量所成的角.
= 2 (sinα + cosα) = 2 ( 1 + 2 ) = 3 2
又MPQP==O0P.s5inEθA= =4a2，a 在Rt2△MPQ中，tan2MQ5P…= M51P2=分22
5 2，
即二面角M-BD-A的余弦值为 1
PQ
… 14分 2
3
解法二: 分别以直线AE，AB，AD为x轴、y轴、z
条异面直线的关系.
6
注:当余弦值为负值时其对应角为钝角，这不符合 定义，故其补角为所求的角.
二、直线和平面所成的角
直线与平面平行或在平面内直线和平面所成的角0º 直线与平面垂直，直线和平面所成的角是90º；
斜线和平面所成的角是：斜线及斜
线在平面上的射影所成的角.关键是
找准斜线段在平面内的射影；
①直接法:通常是从斜线上找特殊点，
轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，设
CB=a，则A(0，0，0)，E(2a，0，0)，B(0， 2a，
0)，C(0，
z D
2a，a)，D(0，0，2a)，所以M(a，a，a2 ) …… 4分
(Ⅰ)证:DM=(a，a，－1.5a)，
M A
EB=(－2a，2a，0)， … 5分
C
DM ·EB =a (－2a) +a ·2a +0=0 B y DM⊥EB，即DM⊥EB
⑤向量法:
面面角等于两平面的法向
AP AC AP
cosα=cosβcosγ
B
③向量法 sinα = | AB n |
| AB | | n |
线面角等于直线的方向向量与平面的法向量所成
角的余角. 线面角或等于直线的方向向量与平面的法向量所
成角的补角的余角.
8
三、平面和平面所成的角:(二面角的平面角) 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面
C 故M，N，A，D四点共面. … 2分
AM
∵DA⊥平面EAB， ∴DA⊥EB.
B
… 3分
E
N
又EA=AB ，∴AN⊥EB
由MN∩AN=N，∴EB⊥平面ANMD
… 4分 … 6分
∴DM⊥EB.也可以直接用“三垂线定理…” 7分 1
解: (Ⅱ)取AC的中点P，连MP，则MP//EA，
∴MP⊥平面ABCD，过P作PQ⊥BD，连QM，则
E
…… 7分
x (Ⅱ)解:设平面MBD的法向量为n=(x，y，z)
DB=(0，2a，－2a)由n⊥DB， n⊥DM得 3
n n
DB = 2ay 2az DM = ax + ay
= 3 2
0 az
=
0
y x
= +
z y
3 2
z
=
0
… 10分
取z=2得平面MBD的一非零法向量为n=(1，2，2)，
作平面的垂线段构作含所求线面角的三角形求之.
②公式法：求斜线与平面所成
的角，还可以利用三面角的余 弦公式：cosα=cosβcosγ
α βγ
7
Aα
β γ
n A
P
在Rt△PAC中，cosβ=
AC AP
B
在Rt△ABC中，cosγ=
C
在Rt△PAB中，cosα=
AB
AC AB
AP
cosβ cos γ AC AB AB cos α
又平面BDA的法向量为 n1=(1，0，0)， … 11分
z D
cos <n，n1>
=
1+ 0 + 0
= 1.
C 12 + 22 + 22 12 + 02 + 02 3
M A
E x
即二面角M-BD-A的余
B y 弦值为 1
… 14分
3
此题用“坐标法”解简单易行4！
由此我们联想[2006广州一模]一道立体几何题
| AB | | CD |
异面直线所成角的范围是: (0，900 ]
②平移法:即根据定义，以“运动”的观点，用
“平移转化”的方法使之成为相交直线所成的角.
选择“特殊点”作异面直线的平行线，构作含异
面直线所成(或其补角)的角的三角形，再求之.
③补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，
如正方体、平行六面体等，其目的在于易于发现两
上分别引垂直于棱的两条射线，这两条射线所成
的角叫做二面角的平面角.二面角范围为[00，1800].
2、二面角的平面角的作法：α
①定义法：点P在棱上
l
根据定义作出来.
P
β
②作垂面：点P在二面角内作与棱垂 O
直的平面与两半平面的交线得到.
l
α
βB P
A
③应用三垂线：
α
A
点A在一个半平面上应用三
垂线定理或其逆定理作出来.
【08深一模】18.(本小题满分14分) 如图所示的几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB，
CB//DA，EA=DA=AB=2CB，EA⊥AB，M是EC的 中点，(Ⅰ) 求证：DM⊥EB； (Ⅱ)求二面角M-BD-A的余弦值.
D
解法一:(Ⅰ)证明:取BE的中点N,
连接MN，AN，则MN//CB//DA，
17.(本小题满分14分)
如图，边长为2的线段AB夹在直二面角α-l-β的 两个半平面内，A∈α，B∈β，且AB与平面α、β所 成的角都是300 ，AC⊥l垂足为C，BD⊥l，垂足为 D. (Ⅰ) 直线AB与CD所成的角； (Ⅱ)求二面角C-AB-D所成平面角的余弦值．
α
A
如何合理的选择正确的方 法解“立几”题？
O l
B
β
9
注意:二面角的平面角必须满足: 1.顶点在棱上；2.两边在两面内；3.两边垂直于棱.
一“作”二“证”三“计算”
ABC的边BC在平面α内，
A
A在平面α内的射影是P，
设ABC的面积为S，它和
P
平面α交成二面角θ(0º< θ<90 º)， 射影PBC的面 α
B
积为S1，
θ D
C
SS求12 ==证SS:SPA1B=BCCS==c12o12sBBθCC. ××PADD，，④SS面APBBC积C 射1212影BBCC法AP:DDS射=APSDD原cocosθs10θ.
QM⊥BD，∴∠MQP是二面角M-BD-A的平面角 9分
D
？
设CB=a，AC与BD的交点为
Q
O，∠AOD=θ∠CAB=α，
PO
C则有 CO = CB = 1，CO = 1 AC，
AO AD 2
3
AM
B
OP
=
(1
1)AC
=
1
a2 + (2a)2 =
5 a，
E
N
∴sinθ=sin(α+450)
23
6
6