第3章有限元分析的力学基础由固体材料组成的具有一定形状的物体在一定约束边界下（外力、温度、位移约束等）将产生变形(deformation)，该物体中任意一个位置的材料都处于复杂的受力状态之中，本章将定义用于刻画任意形状弹性变形体的力学变量和表达这些变量之间的关系。

具体地，将在五个简化条件下，定义有关位移、变形、力的三大类变量，推导这些变量之间的三大类方程，给出典型的两类边界条件，本章的主要内容就是弹性力学中的基础部分。

3.1 变形体的描述、变量定义、分量表达3.1.1 变形体在外力的作用下，若物体内任意两点之间发生相对移动，这样的物体叫做变形体(deformed body)，它与材料的物理性质密切相关。

如果从几何形状的复杂程度来考虑，变形体又可分为简单形状变形体和任意形状变形体。

简单变形体如杆、梁、柱等，材料力学和结构力学研究的主要对象就是简单变形体，而弹性力学则处理任意形状变形体。

有限元方法所处理的对象为任意形状变形体，因而，弹性力学中有关变量和方程的描述将是有限元方法的重要基础。

3.1.2 基本变量当一个变形体受到外界的作用(如外力或约束的作用)时，如何来描述它？首先，我们可以观察到物体在受力后产生了内部和外部位置的变化，因此，物体各点的位移应该是最直接的变量，它将受到物体的形状、组成物体的材质以及外力的影响，变形体的完整描述如图3.1所示。

图3.1 变形体的描述描述位移是最直接的，因为可以直接观测，描述力和材料特性是间接的，需要我们去定义新的变量，如图3.2所示，可以看出应包括位移、变形程度、受力状态这三个方面的变量，当然，还应有材料参数来描述物体的材料特性。

图3.2 变形体的描述及所需要的变量总之，在材料确定的情况下，基本的力学变量应该有：·位移(displacement) (描述物体变形后的位置)·应变(strain) (描述物体的变形程度)·应力(stress) (描述物体的受力状态)对于任意形状的变形体，我们希望建立的方程具有普遍性和通用性，因此，采用微小体元(representative volume) dxdydz的分析方法来定义位移、应变、应力这三类变量。

3.1.3基本方程受外部作用的任意形状变形体，在其微小体元dxdydz中，基于位移、应变、应力这三大类变量，可以建立以下三大类方程：·受力状况的描述：平衡方程(equilibrium equation)·变形程度的描述：几何方程(strain-displacement relationship)·材料的描述：物理方程(应力应变关系或本构方程) (stress-strain relationship or constitutive equation)3.2 弹性体的基本假设为突出所处理问题的实质，并使问题有得以简单化和抽象化，在弹性力学中，提出以下五个基本假定。

(1) 物体内的物质连续性(continuity)假定，即认为物质中无空隙，因此可采用连续函数来描述对象。

(2) 物体内的物质均匀性(homogeneity)假定，即认为物体内各个位置的物质具有相同特性，因此，各个位置材料的描述是相同的。

(3) 物体内的物质(力学)特性各向同性(isotropy)假定，即认为物体内同一位置的物质在各个方向上具有相同特性，因此，同一位置材料在各个方向上的描述是相同的。

(4) 线弹性(linear elasticity)假定，即物体变形与外力作用的关系是线性的，外力去除后，物体可恢复原状，因此，描述材料性质的方程是线性方程。

(5)小变形(small )假定，即物体变形远小于物体的几何尺寸，因此在建立方程时，可以忽略高阶小量 (二阶以上)。

以上基本假定和真实情况虽然有一定的差别，但从宏观尺度上来看，特别是对于工程问题，大多数情况下还是比较接近实际的。

以上几个假定的最大作用就是可以对复杂的对象进行简化处理，以抓住问题的实质。

3.3 平面问题的基本力学方程平面问题 (2-dimensional problem)，简称2D 问题。

对于一个待分析的对象，包括复杂的几何形状、给定的材料类型、指定的边界条件(受力和约束状况)。

如前所述，描述这样的对象需要三大类变量、三大类方程和边界条件。

三大类方程为·力的平衡方程(变形体的内部) ·几何变形方程(变形体的内部)·材料的物理方程(变形体的内部、边界)边界条件为·位移方面(变形体的边界) ·外力方面(变形体的边界)3.3.1 三大类方程之一：力的平衡方程1. 微小体元上的平面应力分量平面问题实际上是空间问题的一种特殊情况，即物体在厚度方向(z)上较薄，因此，认为在沿厚度方向上各种应力很小(或为零)，可以忽略。

设在变形体上的任意一点a (x ，y )取一个微小体元dxdy _ t (注意t 为厚度)，如图3.4所示，每一个侧面上的任意力(单位面积上的)都可以分解为沿x 方向和沿y 方向的力，对于垂直于侧面上的力(即沿着所在平面的法线方向)叫做正应力(normal stress)，而位于侧面内的力(即沿着所在平面的切线方向)叫做剪应力(shear stress)。

对于图3.4所示的几何体，bc 边与厚度t 组成的侧面我们记作bc _t ，它与ad _t 侧面在x 方向上相差dx 的距离，而cd _t 侧面与ab _t 侧面在y 方向上相差dy 的距离。

下面给出各个侧面上的应力定义：yxA yx A P y ∆∆=→∆0limσ(3.1)其中∆A y 表示法线方向沿y 轴的平面，∆P x 为作用在∆A y 面上合力沿着x 方向的分量，若用指标符号来表示σyx ，可写成σ21。

若改变(3.1)式中的下标，可以得到各个侧面上沿各个方向的应力。

应力符号有两个下标，第一个下标表示受力面的法线方向，第二个下标表示力的方向，如图3.3所示。

对于图3.4所示的微小体元dxdy _t ，其各个受力面上的所有应力都标注在该图中。

图中的x b 和y b 分别为作用在物体上沿着x 方向和y 方向的单位体积力(body force)。

σxy受力面的法线方向力的方向图3.3 应力符号的含义图3.4 空间坐标系中的平面问题 (z 方向无任何力，其等厚度为t )在推导平衡方程之前，做好以下准备。

准备1：应力的增量计算在推导平衡方程时，需要计算不同位置截面上的应力，不同截面的几何位置将有一个dx 或dy 的差别，以σxx 为例，由高等数学中的Taylor 级数展开，有+∂∂+∂∂+=+222)(2),(),(),(),(dx xy x dx x y x y x y dx x xx xx xx xx σσσσ (3.2)略去二阶以上微量，有dx xy x y x y dx x xx xx xx ∂∂+=+),(),(),(σσσ (3.3)对应于bc_t侧面上的正应力 对应于ad_t侧面上的正应力准备2：应考虑各个方向合力的平衡在表达各个面上的合力时应注意以下几点：① 有四个侧面，在平衡方程中，应考虑所有合力的平衡；② 应力在经过dx 或dy 变化后的位置上有增量表达；③ 约定：正应力沿外法线方向为正，剪应力的正方向如图3.4所示； ④ 应力在各个侧面上为均匀分布。

2. 微小体元的几个平衡关系对如图3.4所示的微小体元dxdy _t (平面问题)，应考虑以下平衡关系：① 沿x 方向所有合力的平衡；② 沿y 方向所有合力的平衡；③ 所有合力关于任一点的力矩平衡。

就平衡关系①，有0=∑x F(3.4)具体地，有),(),(),(),(=⋅⋅+⋅⋅-⋅⋅++⋅⋅-⋅⋅+t dxdy b t dx y x t dx dy y x t dy y x t dy y dx x x yx yx xx xx ττσσ其中x b 和y b 分别为沿x 方向和y 方向的单位体积力。

利用(3.3)式，上式化为=⋅+⋅-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂++⋅-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+t dxdy b t dx t dx dy y t dy t dy dx x x yx yx yx xx xx xx τττσσσ(3.5)进一步化简后，有0=+∂∂+∂∂x yxxx b yx τσ (3.6)同理，就平衡关系②，由0=∑y F ，有0=+∂∂+∂∂y xy yy b xyτσ(3.7)就平衡关系③(力矩平衡)，对微小体元dxdy_t 的中心点求力矩，由0=∑Mo ，得02222=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+-⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+dx t dy dx t dy dx x dy t dx dy t dx dy y xy xyxy yx yx yx ττττττ(3.8)略去高次项后，有yx xy ττ=(3.9)这就是剪应力互等定理(reciprocal theorem of shear stress)。

因此，以后可以将这一关系直接引用到方程中去。

3．微小体元的平衡方程归纳以上的推导，平面问题的平衡方程为⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫==+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂yx xy y xy yy x yxxx b xy b y x τττστσ00(3.10)如果代换其中的第三式，则(3.10)式可写为两个方程，即⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00y xyyy x yxxx b x y b yx τστσ (3.11)3.3.2 三大类方程之二：变形的几何方程设一个变形体微小体元的平面直角在变形前为APB ，而变形后为A 'P 'B '，P 点变形到P '点的x方向位移为u ，y 方向位移为v ，如图3.5所示。

图3.5 平面问题中的变形表达1. 平面变形量 (应变)的定义从图3.5可以看出，平面物体在受力后，其几何形状的改变主要在两个方向：沿各个方向上的长度变化以及夹角的变化，下面给出具体的描述。

(1) 定义x 方向的相对伸长量为xu dx dxx u PA PA A P xx∂∂=∂∂=-''=ε(3.13)(2) 定义y 方向的相对伸长量为y vdy dyy v PB PB B P yy ∂∂=∂∂=-''=ε (3.14)(3) 定义夹角的变化P 'A '线与P A 线的夹角为xv dx v dx x v v ∂∂=-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=α (3.15)P 'B '线与PB 线的夹角为yu dy u dy y u u ∂∂=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=β(3.16)则定义夹角的总变化为xvy u xy ∂∂+∂∂=+=βαγ (3.17)平面变形体的几何方程归纳以上方程，则平面问题中定义应变的几何方程为⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂+∂∂=∂∂=∂∂=x v y u y vx uxyyy xx γεε (3.18)写成指标形式()i j j i ij u u ,,21+=ε(3.19) 由几何方程可以看出，就平面问题，如果已知2个位移分量u 和v ，可以通过(3.18)式惟一求出3个应变分量。