一般的模型简化工作包括以下几类： （1）将离散变量转化为连续变量。 （2）将非线性函数线性化。 （3）删除一些非主要约束条件。
建立最优化问题数学模型的三要素：
（1）决策变量和参数。
决策变量是由数学模型的解确定的未知数。参数表示 系统的控制变量，有确定性的也有随机性的。
（2）约束或限制条件。
由于现实系统的客观物质条件限制，模型必须包括把 决策变量限制在它们可行值之内，即约束条件，而这通常 是用约束的数学函数形式来表示的。
y

a1

1
a3
a2 ln 1 exp
x
a4 a5

其中 a1 a2 a3 a4 和 a5待定参数,为确定这些参数,
对x，y测得m个实验点: x1, y1 , x2, y2 , xm, ym .
试将确定参数的问题表示成最优化问题.
解:很显然对参数a1 a2 a3 a4和 a5 任意给定的一组数值,就由上
xi
a4 a5



显然偏差S越小,曲线就拟合得越好,说明参数值就选择得越好，从而 我们的问题就转化为5维无约束最优化问题。即：

2
min
m i 1

yi


a1

1
a4 a5

则得原问题的数学模型：
min 2 rh 2 r2

s.t.
r2h 4 0

3
s.t. Subject to.固定.
利用在高等数学中所学的Lagrange乘子法可求解本问题
L

r,
h,



2
rh

2
r
2



r
2h

4 3

分别对r, h,λ求偏导数,并令其等于零.有:
最优化技术应用范围十分广泛，在我们日常生活中，在工农 业生产、社会经济、国防、航空航天工业中处处可见其用途。
比如我们自己所接触过的课题有：结构最优设计、电子器件最 优设计、光学仪器最优设计、化工工程最优设计、运输方案、机 器最优配备、油田开发、水库调度、饲料最优配方、食品结构优 化等等。
最优化技术工作被分成两个方面，一是由实际产生或科技问 题形成最优化的数学模型，二是对所形成的数学问题进行数学加 工和求解。对于第二方面的工作，目前已有一些较系统成熟的资 料，但对于第一方面工作即如何由实际问题抽象出数学模型，目 前很少有系统的资料，而这一工作在应用最优化技术解决实际问 题时是十分关键的基础，没有这一工作，最优化技术将成为无水 之源，难以健康发展。
因此，我们在学习本科程时要尽可能了解如何由实 际问题形成最优化的数学模型。 为了便于大家今后在处 理实际问题时建立最优化数学模型，下面我们先把有关 数学模型的一些事项作一些说明。
数学模型: 对现实事物或问题的数学抽象或描述。
建立数学模型时要尽可能简单，而且要能完整地描述 所研究的系统，但要注意到过于简单的数学模型所得到的 结果可能不符合实际情况，而过于详细复杂的模型又给分 析计算带来困难。因此，具体建立怎样的数学模型需要丰 富的经验和熟练的技巧。即使在建立了问题的数学模型之 后，通常也必须对模型进行必要的数学简化以便于分析、 计算。
式确定了 y关于x的一个函数关系式,在几何上它对应一条曲线,这条
曲线不一定通过那m个测量点，而要产生“偏差”.
将测量点沿垂线方向到曲线的距离的
y
平方和作为这种“偏差”的度量.即
2



x
S

m i 1

yi


a1

1 a3
a2 ln 1 exp
将达到最优目标的方案称为最优方案或最优决策，搜寻最 优方案的方法称为最优化方法，关于最优化方法的数学理论称 为最优化理论。
最优化问题至少有两要素：一是可能的方案；二是要追求 的目标。后者是前者的函数。如果第一要素与时间无关就称为 静态最优化问题，否则称为动态最优化问题。
本科程专门讲授静态最优化问题。
工程优化
硕士研究生课程
理学院数学系：叶峰 E-mail:yefeng2323@
第一章 基础知识
背景知识 最优化问题举例 优化问题的数学模型及其分类 最优解与极值点
§1 背景知识
最优化技术是一门较新的学科分支。它是在本世纪五十年 代初在电子计算机广泛应用的推动下才得到迅速发展，并成为 一门直到目前仍然十分活跃的新兴学科。最优化所研究的问题 是在一定的限制条件下，在众多的可行方案中怎样选择最合理 的一种方案以达到最优目标。
L

r

2
h

4
r

2rh

0

L 2 r r2 0
h
h 2r

L r2h 4 0

3
2
2
r 3 . h 23
3
3
2
此时圆柱体的表面积为
6 2 3
3
例2. 多参数曲线拟合问题
已知两个物理量x和y之间的依赖关系为:
（3）目标函数。
这是作为系统决策变量的一个数学函数来衡量系统的 效率，即系统追求的目标。
§2 最优化问题举例
最优化在物质运输、自动控制、机械设计、采矿冶金、经 济管理等科学技术各领域中有广泛应用。下面举几个专业性不 强的实例。
例1. 把半径为1的实心金属球熔化后，铸成一个实心圆柱体， 问圆柱体取什么尺寸才能使它的表面积最小？
解：决定圆柱体表面积大小有两个决策变量：圆柱体底面半 径r、高h。
问题的约束条件是所铸圆柱体重量与球重相等。即
r2 h 4 R3
3
为金属比重. 0.R 1
即
r2 h 4
,即
r2h 4 0
3
3
问题追求的目标是圆柱体表面积最小。即
min 2rh 2 r2

例3：旅游售货员问题
旅游线路安排 预定景点走且只走一次 路上时间最短
配送线路—货郎担问题 送货地到达一次 总路程最短

有一旅行团从
已知从vi 到v
jv的0 旅出费发为要c遍ij游，城问市应如v1何, v安2 ,排..行.,程vn使，总
费用最小？
模型：
变量—是否从i第个城市到第j个城市
xij 1, 0;
约束—每个城市只能到达一次、离开一次