hi(X)， gj(X)—约束函数； m，p —等式约束数和不等式约束数。
同一个优化设计问题可同时含有等式和不等式 约束。
对于不等式约束，≤0型和≥0型可互相转化。方 法是改变约束条件的符号，即令 gj’(X)= -gj(X)
可行域和可行点
约束条件把设计空间划分为两个区域：可行域
和不可行域。
约束条件的类型 • 边界约束 设计变量的变化范围（如板材厚度范围） • 性能约束 由某种性能设计要求导出的约束条
件(如结构设计中，弯曲应力必须小于或等于许用弯曲应力等)
约束条件的类型
• 等式约束 hi(X)=hi(x1, x2, ···, xn)=0 i=1, 2, ···, m, m<n • 不等式约束 gj(X)=gj(x1, x2, ···, xn)≤0 或 ≥0 j=1, 2, ···, p
s.t.—“满足于”或“受约束于”；Rn—n维欧氏空间
优化设计问题的最优解
利用优化方法求解上述数学模型，可得到一组最优设 计参数或一个最优设计方案
设计常量 根据设计要求事先给定
设计参数
的参数（值不变）
设计变量 需要在设计过程中优选
的独立参数
• 设计变量表示方法
设有n个设计变量x1，x2，···，xn，则 X = (x1, x2, ···, xn)T X∈Rn
X—n维列向量，T—转置符，Rn—n维设计空间
• 设计空间及其维数
设计空间：以设计变量为坐标轴所构成的空间 设计空间的维数：即设计变量的个数
标的问题
一般来讲，目标函数越多，设计结果越趋完善， 但优化设计的难度也相应加大。
实际中应尽量控制目标函数的数量，抓住问题 的主要矛盾，保证重点要求的实现，其余要求 可处理成设计约束来加以保证。
(3) 约束条件
约束条件的定义：对设计变量取值的限制条件。
例如：一个结构应满足的强度和刚度等条件。
约束条件的数目 约束条件愈接近实际，则最优解愈接近最优 方案。但约束条件数增加时，可行方案数量将 大大减少，计算工作量也会增大。
第5章 工程设计中的优化方法
内容： 优化设计的基本概念和步骤 优化设计方法的种类和特点 优化设计方法的原理和应用
重点： 优化设计的数学模型和基本步骤 无约束优化方法
5.1 最优化问题概述
0. 工程中的最优化设计问题 • 结构优化 优化结构几何参数，使构件质量
最轻或用料最省 • 材料优化 优化材料配方或成分，使材料的
优化目标函数就是求目标函数的极小值或极大 值，即
min f (X) 或 max f (X)。
• 用效果函数(如性能指标、利润等)作目标函数，则是求极大值； • 用费用函数(如能源、材料、经费等)作目标函数，则求极小值。
单目标和多目标优化问题
• 单目标优化问题：只包含一个优化目标的问题 • 多目标优化问题：存在两个或两个以上优化目
n个设计变量即构成n维设计空间（记为X∈Rn）。
x3
一组设
计变量
P
x1
x2
三维设计空间R3
设计空 间一点
一个设 计方案
设计变量、设计空间和设计方案之间的关系
• 设计变量的数目 设计变量个数应尽量减少。 选定原则：只把与问题本质有关、对结果影响 大的参数定为设计变量。
选择余地或影响不大的参数，根据经验定为常量。
法→求解最优方案
2. 优化设计的数学模型
数学模型是优化设计的基础。要对一个实际设计 问题进行优化，首先必须建立问题的数学模型。 优化设计问题的数学模型，是指用数学符号和公 式描述优化设计问题的一种模型。
该数学模型包含三个要素： • 设计变量 • 目标函数 • 约束条件
(1) 设计变量
一个设计方案可以用一组设计参数来表示。
• 设计变量的类型 连续变量：值能连续变化。 离散变量：值不能连续变化。
对于离散变量的优化设计问题，通常先按连续变量处 理，找到最优解后，再按工艺规范或标准系列调整。
(2)目标函数 在优化设计中，用于评价设计变量好坏的函数， 称为目标函数，记作
f (X)=f (x1, x2, ···, xn) 对目标函数进行优化，就可以得到最优方案。
参数，使设计指标达到最优值 • 在一定约束条件下求多变量函数极值的方法 优化设计是研究和解决在一切可能方案中寻求 最优方案的科学方法。
优化设计的基本思想 • 从研究对象的整体来考察和解决问题，并从
组成整体各个部分的相互联系、相互影响和 相互制约中寻求最优方案。
优化设计主要研究内容 • 建模理论和方法(从实际问题中抽象出最优数学模型)； • 求解最优化问题的理论和方法。 优化设计的基本步骤 • 分析实际问题→建立数学模型→选择优化方
• 可行域 域内设计点（设计 方案）满足所有约束条件。
gu(X)=0
可行域
可行域内的设计பைடு நூலகம்称为可行点。 不可行域
• 不可行域 域内的设计点
设计空间
不满足或不全满足约束条件。不可行域内的设计点
称为不可行点，一般是工程实际不能接受的方案。
约束优化设计中，最优点一般是约束区域的边界点， 即设计点位于某个约束面上： gu(X)=0 (1≤u≤p)
（4）数学模型 建立数学模型是解决优化设计的关键 优化设计的数学模型是实际设计的数学抽象。
任何一个优化设计问题可归结为如下描述：
在给定的约束条件下，选择适当的设计变量X， 使其目标函数 f (X)达到最优值。
其数学表达式(数学模型)为
设计变量
X= (x1, x2, ···, xn)T X∈Rn
在满足约束方程
hi(X)=0, i=1, 2, ···, m gj(X)≤0, j=1, 2, ···, p
的条件下，求目标函数f (X)的最优值。
优化设计数学模型的简化表示
min f (X), X∈Rn s.t. hi(X)=0, i=1, 2, ···, m
gj(X)≤0, j=1, 2, ···, p
性能最佳 • 工艺优化 优化工艺参数，使产品性能最佳 • 配料优化 用成分不同的原料进行配料，设
计成本最低的配料方案
注：所有设计都要在一定的约束条件下进行
1. 优化设计的涵义 一种新的设计方法，应用数学的一个分支。它 能使一项设计在一定技术和物质条件下，获得 一个技术经济指标最佳的设计方案，应用广泛. • 在给定的技术、经济等客观条件下选择设计