成都市2015级高中毕业班第二次诊断性检测数学（文科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|11}P x x =-<，{|12}Q x x =-<<，则P Q =I （ ）A ．1(1,)2- B ．(1,2)- C ．(1,2) D ．(0,2)2.已知向量(2,1)a =r ，(3,4)b =r ，(,2)c k =r .若(3)//a b c -r r r，则实数的值为（ ）A ．8-B ．6-C ．1-D ． 3.若复数满足3(1)12i z i +=-，则z 等于（ ）A 10B ．32C 2．124.设等差数列{}n a 的前项和为n S .若420S =，510a =，则16a =（ ） A ．32- B ．12 C ．16 D ．325.已知m ，是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若m α⊂，则m β⊥B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊄，m β⊥，则//m αD ．若m αβ=I，n m ⊥，则n α⊥6.在平面直角坐标系中，经过点(22,2)P 3的双曲线的标准方程为（ ）A ．22142x y -=B ．221714x y -=C ．22136x y -=D ．221147y x -=7.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,)2A πωϕ>><的部分图象如图所示.现将函数()f x 图象上的所有点向右平移4π个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（ ） A ．()2sin(2)4g x x π=+B ．3()2sin(2)4g x x π=+C ．()2cos 2g x x =D ．()2sin(2)4g x x π=-8.若为实数，则“2222x ≤≤”是“22223x x+≤≤”成 立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ） A ．863π B ．86π C ．6π D ．24π10.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为56，则判断框中的条件可以是（ ） A ．7?n ≤ B ．7?n > C ．6?n ≤ D ．6?n >11.已知数列{}n a 满足：当2n ≥且*n N ∈时，有1(1)3n n n a a -+=-⨯.则数列{}n a 的前200项的和为（ ）A ．300B ．200C ．100D ．0 12.已知函数()1ln mf x n x x=--(0,0)m n e >≤≤在区间[1,]e 内有唯一零点，则21n m ++的取值范围为（ ） A ．22[,1]12e e e e ++++ B ．2[,1]12e e ++ C ．2[,1]1e + D ．[1,1]2e+第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13.已知132a =，231()2b =，则2log ()ab = ．14.如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢篮球运动的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢该项运动的频率.已知该年级男生女生各500名（假设所有学生都 参加了调查），现从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式 抽取32人，则抽取的男生人数为 ．15.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，准线与轴的交点为A ，P 是抛物线C 上的点，且PF x ⊥轴.若以AF 为直径的圆截直线AP 所得的弦长为，则实数p 的值为 ．16.已知函数21()cos 2f x x x =--，则不等式(1)(13)0f x f x +--≥的解集为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()3sincos 22x x f x =21cos 22x -+. （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为，，，1()2f A =，3a =，sin 2sin B C =，求.C18.近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方APP 中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出200条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的22⨯列联表如下：对优惠活动好评对优惠活动不满意合计对车辆状况好评 100 30 130 对车辆状况不满意40 30 70 合计14060200（1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？ （2）为了回馈用户，公司通过APP 向用户随机派送骑行券.用户可以将骑行券用于骑行付费，也可以通过APP 转赠给好友.某用户共获得了张骑行券，其中只有张是一元券.现该用户从这张骑行券中随机选取张转赠给好友，求选取的张中至少有张是一元券的概率. 参考数据：2()P K k ≥0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.19.如图，D 是AC 的中点，四边形BDEF 是菱形，平面BDEF ⊥平面ABC ，60FBD ∠=o，AB BC ⊥，AB BC ==（1）若点M 是线段BF 的中点，证明：BF ⊥平面AMC ； （2）求六面体ABCEF 的体积.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，左顶点为A ，上顶点为(0,1)B ，1ABF ∆的面积为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线：(1)y k x =+与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，P 是线段MN 的中点.若经过点2F 的直线m 与直线垂直于点Q ，求1PQ FQ ⋅的取值范围.21.已知函数()ln 1f x x x ax =++，a R ∈.（1）当时0x >，若关于的不等式()0f x ≥恒成立，求的取值范围；（2）当(1,)x ∈+∞时，证明：(1)ln xe x x e-<2x x <-.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。

22.选修4-4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，其中α为参数，(0,)απ∈.在以坐标原点O 为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P 的极坐标为)4π，直线的极坐标方程为sin()04πρθ-+=.（1）求直线的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（2）若Q 是曲线C 上的动点，M 为线段PQ 的中点.求点M 到直线的距离的最大值.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()211f x x x =++-. （1）解不等式()3f x ≥；（2）记函数()f x 的最小值为m ，若，，均为正实数，且122a b c m ++=，求222a b c ++的最小值.成都市2015级高中毕业班第二次诊断性检测数学（文科）参考答案一、选择题1-5: DBADC 6-10: BDBCD 11、12：AA二、填空题13. 13-14. 24 15. 16. (,0][1,)-∞+∞U三、解答题17.解：（1）1()cos 2f x x x =-sin()6x π=-. 由226k x πππ+≤-322k ππ≤+，k Z ∈， 得223k x ππ+≤523k ππ≤+，k Z ∈. ∴函数()f x 的单调递减区间为25[2,2]33k k ππππ++，k Z ∈.（2）∵1()sin()62f A A π=-=，(0,)A π∈，∴3A π=. ∵sin 2sinBC =，∴由正弦定理sin sin b cB C=，得2b c =.又由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，a =得22213442c c c =+-⨯. 解得1c =.18.解：（1）由22⨯列联表的数据，有2()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++2200(30001200)1406070130-=⨯⨯⨯220018146713⨯=⨯⨯⨯54008.4810.828637=≈<. 因此，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系. （2）把张一元券分别记作A ，B ，其余张券分别记作，，.则从张骑行券中随机选取张的所有情况为：{,}A a ，{,}A b ，{,}A c ，{,}B a ，{,}B b ，{,}B c ，{,}A B ，{,}a b ，{,}a c ，{,}b c .共10种.记“选取的张中至少有张是一元券”为事件M ，则事件M 包含的基本事件个数为. ∴7()10P M =. 所以从张骑行券中随机选取张转赠给好友，选取的张中至少有张是一元券的概率为710.19.解：（1）连接MD ，FD .∵四边形BDEF 为菱形，且60FBD ∠=o，∴DBF ∆为等边三角形. ∵M 为BF 的中点， ∴DM BF ⊥.∵AB BC ⊥，2AB BC ==，又D 是AC 的中点，∴BD AC ⊥.∵平面BDEF I 平面ABC BD =，平面ABC ⊥平面BDEF ，AC ⊂平面ABC ， ∴AC ⊥平面BDEF .又BF ⊂平面BDEF ，∴AC BF ⊥.由DM BF ⊥，AC BF ⊥，DM AC D =I ， ∴BF ⊥平面AMC . （2）132sin 6022BDEF S BD BF =⋅⋅⋅⋅=o 菱形. 已证AC ⊥平面BDEF ， 则C BDEF V -四棱锥13BDEF S CD =⋅菱形13313=⨯⨯=.∴32ABCEF C BDEF V V -==六面体四棱锥.20.解：（1）由已知，有1b =. 又1121()22ABF S a c b ∆-=-=，∴21a c -=-. ∵222a b c =+， ∴2a =.∴椭圆C 的方程为2212x y +=. （2）①当0k =时，点P 即为坐标原点O ，点Q 即为点2F ，则1PQ =，12FQ =.∴12PQ FQ ⋅=. ②当0k ≠时，直线的方程为(1)y k x =+.则直线m 的方程为1(1)y x k=--，即10x ky +-=. 设11(,)M x y ，22(,)N x y .联立方程22(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得222(12)4k x k x ++2220k +-=. 此时28(1)0k ∆=+>.∴2122412k x x k -+=+，1212(2)y y k x x +=++2212k k=+. ∴2222(,)1212k k P k k -++. ∵PQ 即点P 到直线m 的距离，∴PQ =2=又1FQ 即点1F 到直线m的距离，∴1F Q =.∴21222(13)(12)(1)k PQ F Q k k +⋅=++. 令213(1)k t t +=>，则213t k -=. ∴118(12)(2)tPQ FQ t t ⋅=++1812()5t t=++182225<=⨯+.即0k ≠时，有102PQ FQ <⋅<.综上，可知1PQ FQ ⋅的取值范围为(0,2].21.解：（1）由()0f x ≥，得ln 10x x ax ++≥(0)x >. 整理，得1ln a x x -≤+恒成立，即min 1(ln )a x x-≤+. 令1()ln F x x x =+.则22111'()x F x x x x-=-=. ∴函数()F x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增. ∴函数1()ln F x x x=+的最小值为(1)1F =. ∴1a -≤，即1a ≥-.∴的取值范围是[1,)-+∞.（2）由（1），当1a =-时，有ln 1x x x ≥-，即1ln x x x-≥. 要证(1)ln x e x x e -<，可证(1)1x e x x e x--<，1x >， 即证1x e e x<，1x >. 构造函数()(1)x G x e ex x =-≥.则'()x G x e e =-.∵当1x >时，'()0G x >.∴()G x 在[1,)+∞上单调递增.∴()(1)0G x G >=在(1,)+∞上成立，即x e ex >，证得1x e e x<. ∴当(1,)x ∈+∞时，(1)ln x e x x e-<成立.构造函数2()ln (1)H x x x x x =-+≥. 则1'()21H x x x =-+2(21)x x x ---=(21)(1)x x x-+-=. ∵当1x >时，'()0H x <，∴()H x 在[1,)+∞上单调递减.∴()(1)0H x H <=，即2ln 0(1)x x x x -+<>.∴当(1,)x ∈+∞时，2ln x x x <-成立.综上，当(1,)x ∈+∞时，有2(1)ln x e x x x x e -<<-.22.解：（1）∵直线的极坐标方程为sin()04πρθ-+=，即sin cos 100ρθρθ-+=.由cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得直线的直角坐标方程为100x y --=.将曲线C的参数方程2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩消去参数α， 得曲线C 的普通方程为221(0)124x y y +=>. （2）设,2sin )Q αα(0)απ<<.点P的极坐标)4π化为直角坐标为(4,4).则2,sin 2)M αα++.∴点M到直线的距离d==≤. 当sin()13πα-=，即56πα=时，等号成立.∴点M到直线的距离的最大值为23.解：（1）()211f x x x =++-13,212,123,1x x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪≥⎪⎪⎩. ∴()3f x ≥等价于1233x x ⎧≤-⎪⎨⎪-≥⎩或11223x x ⎧-<<⎪⎨⎪+≥⎩或133x x ≥⎧⎨≥⎩. 解得1x ≤-或1x ≥.∴原不等式的解集为(,1][1,)-∞-+∞U .（2）由（1），可知当12x =-时，()f x 取最小值32，即32m =. ∴13222a b c ++=. 由柯西不等式，有2222221()[()12]2a b c ++++21(2)2a b c ≥++. ∴22237a b c ++≥. 当且仅当22c a b ==，即17a =，27b =，47c =时，等号成立. ∴222a b c ++的最小值为37.。