0 1

2
4
0 0 = 0 1 3 +1
1

2
0 1 4 1 1 +4 （ -1） +1 0
0 1

0 0 4 + 3 +2 2 +3 +4. 1
14、设袋中有红、白、黑球各 1 个，从中有放回的取球，每次取 1 个，直到三种颜色的球都取到为止，则 取球次数恰为 4 的概率为
2 2 2 2 2
2 2 2 DX ( EX ) DY ( EY ) ( EXEY ) 14
二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸 指定位置上. ．．．
3
(9)已知函数 f ( x ) 满足 lim
x0
1 f ( x ) sin 2 x 1 2 ，则 lim f ( x ) ____ x0 e3x 1
0 1 1 其矩阵为 1 0 1 ，由此计算出特征值为 2, 1, 1 ，满足题目已知条件，故 a 0 成立，因此（C）为 1 1 0
正确选项。 7、设 A, B 为随机事件， 0 P ( A) 1, 0 P ( B ) 1, 若 P( A B) 1 则下面正确的是（ （A） P ( B A ) 1 （B） P ( A B ) 0 （C） P ( A B ) 1 （D） P( B A) 1 【答案】 （A） 【解析】根据条件得 P ( AB ) P ( B ) ）
e x ( x y 1)
x y
Di
2
f 'y
ex
x y
2
，所以 f 'x f ' y f
（
3
）
设
Ti 3 x ydxdy (i 1, 2, 3)
，
其
中
D1 ( x , y ) 0 x 1, 0 y 1
，
D2 ( x , y ) 0 x 1, 0 y
2
t 2 dt x 2

4 3 1 x x2 3 3
1 3
2 1 x 3 4 x 3 x 2 1 3 3 则 f x 4 x3 x 2 1 3 3 1 x2 3
2 x 2 4 x 2 x f ' x 2 4 x 2 x 2 x
P ( B A)
P( AB ) P( A B) 1 P( A B) 1 P ( A) 1 P( A) 1 P( A)
8、设随机变量 X , Y 独立，且 X N (1, 2), Y (1, 4) ，则 D ( XY ) 为 （A）6 （B）8 （C）14 （D）15 【答案】 （C） 【解析】因为 X , Y 独立， 则 D ( XY ) E ( XY ) ( EXY ) EX EY ( EXEY )
【答案】6
1 f ( x ) sin 2 x 1 f ( x ) sin 2 x 1 f ( x) x f ( x) 2 lim lim lim 2 【解析】因为 lim 3 x x0 x0 x0 x0 e 1 3x 3x 3
所以 lim f ( x ) 6
x0
2 2
2 z ( x 1) z x 2 xf ( x z , y ) x f1 ( x z , y )(1 z x )
( x 1) z y 2 y x 2 ( f1 ( x z , y )( z y ) f 2 ( x z , y ))
dz
0 ,1
，
将
x 0, y 1, z 1
代
入
得
，
dx 2dy
(12)
1 0 0 1 （13）行列式 0 0
4
4 3
3
2
2
0 0 ____________. 1 1
【答案】 2 3 4

【解析】 0 0
1

0 3
(10)极限 lim
1 1 2 n sin 2 sin n sin ____ ． 2 x0 n n n n
【答案】 sin 1 cos 1 【解析】 lim
1 1 1 2 n 1 n i i sin 2 sin n sin lim sin x sin xdx sin 1 cos 1 2 0 x0 n n n n x 0 n i 1 n n
x 0 1 1
【解析】 lim cos 2 x 2 x sin x x4
x 0
cos 2 x 2 x sin x 1
lim e
x 0
x4
1
lim e
x 0
x3 4 x 2 24 x 4 4 2 x x 3! 1o ( x ) 2 4! x4
2 2 2
1
T
T
（
2
） 2
更多干货，内容请关注凯程官网和凯程手机站。 （ A） a 1 （B） a 2 （C） 2 a 1 （ D） a 1 或 a 2 【答案】 （C） 【解析】考虑特殊值法，当 a 0 时， f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x1 x2 2 x2 x3 2 x1 x3 ，
e
1 3
16、 （本题满分 10 分） 设某商品的最大需求量为 1200 件，该商品的需求函数 Q Q( p ) ，需求弹性 价（万元） (1)求需求函数的表达式 (2)求 p 100 万元时的边际收益，并说明其经济意义。 【解析】 （1）由弹性的计算公式得
p ( 0) ， p 为单 120 p

1
0
t 2 x 2 dt x 0 , 求 f ' x ，并求 f x 的最小值。
【解析】当 1 x 1 时， f x 当 x 1 时， f x
x
x 0
2
t 2 dt t 2 x 2 dt
x

1


x
1 0
1 1 （K 为常数） sin(n k ) ， n n1 n 1

（A）绝对收敛 （B）条件收敛 （C）发散 （D）收敛性与 K 有关 【答案】A 【解析】由题目可得，
1 n1 n sin(n k ) 1 sin( n k ) sin( n k ) n n1 n n1 n n 1( n 1 n ) n 1 n 1 n 1
此外，在（C）中，对于 P ( A A ) P P AP P A P ，若 P AP =B ，则 P A ( P )
T T T T 1 1 1 1 T 1
BT ，
而 P A P 未必等于 B ，故（C）符合题意。综上可知， （C）为正确选项。 （ 6 ） 设 二 次 型 f ( x1 , x2 , x3 ) a ( x1 x2 x3 ) 2 x1 x2 2 x2 x3 2 x1 x3 的 正 负 惯 性 指 数 分 别 为 1, 2 ， 则
【解析】 【解析】由图像易知选 B 2、已知函数 f ( x, y )
ex ，则 x y
（C） f 'x f ' y f （D） f 'x f ' y f
（A） f 'x f ' y 0 （B） f 'x f ' y 0 【答案】 （D） 【解析】 f 'x
T T 1 1 T T
）
（D） A A 与 B B 相似 【答案】 （C） 【解析】此题是找错误的选项。由 A 与 B 相似可知，存在可逆矩阵 P, 使得 P AP B ，则
1
1
1
(1) ( P 1 AP )T BT PT AT ( PT ) 1 BT AT ~ BT , 故（A）不选； (2) ( P 1 AP ) 1 B 1 P 1 A1 P B 1 A1 ~ B 1，故（B）不选； (3) P 1 ( A A1 ) P P 1 AP P 1 A1 P B B 1 A A1 ~ B B 1 , 故（D）不选；
4
4
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2 9
2 【解析】 P ( A) C3
2 1 1 11 2 C3 3 9 3 3
2
三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸 指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或 ．．． 演算步骤. 15 （本题满分 10 分）求极限 lim cos 2 x 2 x sin x x4

p dQ p dQ p 可知 Q dp Q dp 120 p
dQ dp Q p 120
分离变量可知
两边同时积分可得 ln Q ln( p 120) C 解得 Q C ( p 120) 由最大需求量为 1200 可知
Q(0) 1200 ，解得 C 10
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2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 的，请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上. ．．． （1）设函数 y f ( x ) 在 ( , ) 内连续，其导数如图所示，则（ ） （A）函数有 2 个极值点，曲线 y f ( x ) 有 2 个拐点 （B）函数有 2 个极值点，曲线 y f ( x ) 有 3 个拐点 （C）函数有 3 个极值点，曲线 y f ( x ) 有 1 个拐点 （D）函数有 3 个极值点，曲线 y f ( x ) 有 2 个拐点 【答案】 （B）