数值计算方法试题一一、 填空题1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（10）次。

2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（)0,22(-)22,0(）。

3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =(3)，b =（3），c =（1）。

4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l)((1)，∑==nk k jk x lx 0)((j x )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k nk k (324++x x )。

5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 6和=∆07f 25.236494526!77==⨯。

6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为9，5个节点的求积公式最高代数精度为9。

7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ0。

8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足1<a ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。

9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是2阶方法。

10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111a aa a A ，当∈a （22,22-）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（0>ii l ）条件时，这种分解是唯一的。

二、选择题1、解方程组b Ax =的简单迭代格式g Bx xk k +=+)()1(收敛的充要条件是（2）。

（1）1)(<A ρ, (2) 1)(<B ρ, (3) 1)(>A ρ, (4) 1)(>B ρ2、在牛顿-柯特斯求积公式：⎰∑=-≈ba ni i n i x f C a b dx x f 0)()()()(中，当系数)(n iC 是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（1）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。

（1）8≥n ， （2）7≥n ， （3）10≥n ， （4）6≥n ，（1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次4、若用二阶中点公式)),(4,2(1n n n n n n y x f hy h x hf y y +++=+求解初值问题1)0(,2=-='y y y ，试问为保证该公式绝对稳定，步长h 的取值范围为（3）。

(1)20≤<h , (2)20≤≤h , (3)20<<h , (4)20<≤h三、12bx a y +=解：},1{x span =Φ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2222383125191111TA []3.730.493.320.19=Ty 解方程组y A AC A T T = 其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3529603339133914A A T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=7.1799806.173y A T 解得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0501025.09255577.0C 所以 9255577.0=a ， 0501025.0=b 2、用8=n 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算dxe x ⎰-10时，(1)试用余项估计其误差。

（2）用8=n 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算出该积分的近似值。

解：001302.0768181121)(12][022==⨯⨯≤''--=e f h a b f R T η])()(2)([2)8(71∑=++=k k b f x f a f hT ]36787947.0)41686207.047236655.05352614.060653066.07788008.08824969.0(21[161++++++⨯+=6329434.0=四、1、方程013=--x x 在5.1=x 附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）31+=x x 对应迭代格式311+=+n n x x ；(2)xx 11+=对应迭代格式nn x x 111+=+；（3）13-=x x 对应迭代格式131-=+n n x x 。

判断迭代格式在5.10=x 的收敛性，选一种收敛格式计算5.1=x 附近的根，精确到小数点后第三位。

选一种迭代格式建立Steffensen 迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。

解：（1）321(31)(-+='）x x ϕ，118.05.1<='）（ϕ，故收敛； （2）xx x 1121)(2+-='ϕ，117.05.1<='）（ϕ，故收敛； （3）23)(x x ='ϕ，15.135.12>⨯='）（ϕ，故发散。

选择（1）：5.10=x ，3572.11=x ，3309.12=x ，3259.13=x ，3249.14=x ，32476.15=x ，32472.16=x Steffensen 迭代：k k k k k k k x x x x x x x +---=+)(2))(())((21ϕϕϕϕ11211)1(33323++-++-+-=k k k k k x x x x x计算结果：5.10=x ，324899.11=x ，324718.12=x 有加速效果。

2、已知方程组f AX =，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=4114334A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=243024f（1） 列出Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。

(2）求出Jacobi 迭代矩阵的谱半径，写出SOR 迭代法。

解：Jacobi迭代法：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=+-=-=+++ ,3,2,1,0)24(41)330(41)324(41)(2)1(3)(3)(1)1(2)(2)1(1k x x x x x x x k k k k k k kGauss-Seidel迭代法：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=+-=-=+++++ ,3,2,1,0)24(41)330(41)324(41)1(2)1(3)(3)1(1)1(2)(2)1(1k x x x x x x x k k k k k k k⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=+-=-0430430430430)(1U L D B J ，790569.0)410(85)(==或J B ρSOR迭代法：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-+-=-+-=+++++ ,3,2,1,0)24(4)1()330(4)1()324(4)1()1(2)(3)1(3)(3)1(1)(2)1(2)(2)(1)1(1k x x x x x x x x x x k k k k k k k k k k ωωωωωω五、1、取步长1.0=h ，求解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+-=1)0(1y y dxdy用改进的欧拉法求)1.0(y 的值；用经典的四阶龙格—库塔法求)1.0(y 的值。

解：改进的欧拉法：⎪⎩⎪⎨⎧+=++=+=+=++++095.0905.0)],(),([21.09.0),()0(111)0(1n n n n n n n n n n n n y y x f y x f h y y y y x hf y y所以1)1.0(1==y y ；经典的四阶龙格—库塔法：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++==++++=+),()2,2()2,2(),(]22[6342312143211hk y h x f k k hy h x f k k hy h x f k y x f k k k k k hy y n n n n n n n n n n 04321====k k k k ，所以1)1.0(1==y y 。

2、求一次数不高于4次的多项式)(x p 使它满足)()(00x f x p =,)()(11x f x p =,)()(00x f x p '=',)()(11x f x p '=',)()(22x f x p =解：设)(3x H 为满足条件⎩⎨⎧='='=1,0)()()()(33i x f x H x f x H i i i i 的Hermite 插值多项式，则 21203)()()()(x x x x k x H x p --+= 代入条件)()(22x f x p =得：212202232)()()()(x x x x x H x f k ---=六、（下列2题任选一题，4分） 1、数值积分公式形如⎰'+'++=≈1)1()0()1()0()()(f D f C Bf Af x S dx x xf 1,试确定参数D C B A ,,,使公式代数精度尽量高；2,设]1,0[)(4C x f ∈，推导余项公式⎰-=1)()()(x S dx x xf x R ，并估计误差。

解：将32,,,1)(x x x x f =分布代入公式得：201,301,207,203-====D B B A构造Hermite 插值多项式)(3x H 满足⎩⎨⎧='='=1,0)()()()(33i x f x H x f x H i i i i 其中1,010==x x则有：⎰=103)()(x S dx x xH ， 22)4(3)1(!4)()()(-=-x x f x H x f ξdx x x f dx x S x f x x R 213)4(10)1(!4)(])()([)(-=-=⎰⎰ξ1440)(60!4)()1(!4)()4()4(1023)4(ηηηf f dx x x f=⨯=-=⎰2、 用二步法)],()1(),([111101---+-+++=n n n n n n n y x f y x f h y y y θθαα求解常微分方程的初值问题⎩⎨⎧=='00)(),(y x y y x f y 时，如何选择参数θαα,,10使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。