第一章习题习题1.1在英文字母中E 出现的概率最大，等于0.105,试求其信息量解：E 的信息量： l E =log 21= - log 2 P E —log 2 0.105 =3.25 b习题1.2某信息源由A ，B ，C , D 四个符号组成，设每个符号独立出现，其出现的 概率分别为1/4，1/4, 3/16, 5/16。

试求该信息源中每个符号的信息量。

解：习题1.3某信息源由A ，B ，C ，D 四个符号组成，这些符号分别用二进制码组 00, 01, 10, 11表示。

若每个二进制码元用宽度为 5ms 的脉冲传输，试分别求出在下列条件下 的平均信息速率（1）这四个符号等概率出现； （2）这四个符号出现概率如习题 1.2所示。

解：（1）一个字母对应两个二进制脉冲，属于四进制符号，故一个字母的持续时间为 2>5mso 传送字母的符号速率为等概时的平均信息速率为（2）平均信息量为则平均信息速率为R b. =R B H = 1 00 1.977=1 977 b s习题1.4试问上题中的码元速率是多少？1 1解：R B3- 200 BdT B 5*10习题1.5设一个信息源由64个不同的符号组成，其中16个符号的出现概率均为1/32, 其余48个符号出现的概率为1/96，若此信息源每秒发出1000个独立的符号，试求该信息 源的平均信息速率。

解：该信息源的熵为 =5.79比特/符号因此，该信息源的平均信息速率 R^mH =1000*5.79 =5790 b/s习题1.6设一个信息源输出四进制等概率信号， 其码元宽度为125 us 。

试求码元速率 和信息速率等概时，& =R B log 2M =8000* log 24 =16kb/s习题1.7设一台接收机输入电路的等效电阻为 600欧姆，输入电路的带宽为6 MHZ , 环境温度为23摄氏度，试求该电路产生的热噪声电压的有效值。

解：R B1 _ 1T B 125*10 怡-8000 Bd解：V = 4kTRB 二、..4*1.38*10二3*23*600*6*10 = 4.57*10 J2 V习题1.8设一条无线链路采用视距传输方式通信，其收发天线的架设高度都等于80 m,试求其最远的通信距离。

解：由D2 =8rh，得D =•一8Fh= 8 * 6. 3 76* 1 0 * 80 63849 km习题1.9 设英文字母E出现的概率为0.105, x出现的概率为0.002。

试求E 和x的信息量。

解：习题1.10信息源的符号集由A，B，C，D和E组成，设每一符号独立1/4出现，其出现概率为1/4,1/8,1/8,3/16和5/16。

试求该信息源符号的平均信息量。

解：习题1.11设有四个消息A、B、C、D分别以概率1/4,1/8, 1/8, 1/2传送，每一消息的出现是相互独立的。

试计算其平均信息量。

解：习题1.12 一个由字母A，B，C，D组成的字。

对于传输的每一个字母用二进制脉冲编码，00代替A，01代替B，10代替C，11代替D。

每个脉冲宽度为5ms。

(1)不同的字母是等概率出现时，试计算传输的平均信息速率。

1 1 3P B =— Pc =—P D —(2)若每个字母出现的概率为4, 4, 10,试计算传输的平均信息速率。

解：首先计算平均信息量。

(1)平均信息速率=2 (bit/字母)/(2*5m s/字母)=200bit/s(2)H 二-' P(X i)log2 P(X iH-1log2^1log2^1log27 -logcl 1.985 bit/字母5 5 4 4 4 4 10 10平均信息速率=1.985(bit/ 字母)/(2*5ms/ 字母)=198.5bit/s习题1.13国际莫尔斯电码用点和划的序列发送英文字母，戈加持续3单位的电流脉冲表示，点用持续1单位的电流脉冲表示，且划出现的概率是点出现的概率的1/3。

(1)计算点和划的信息量；(2)计算点和划的平均信息量。

解：令点出现的概率为P A),划出现的频率为P(B)1P(A)+P(B)=1, ^R A)二P(B) = R A) =3 4 R B) = 1 4(1)(2)习题1.14设一信息源的输出由128个不同符号组成。

其中16个出现的概率为1/32, 其余112个出现的概率为1/224。

信息源每秒发出1000个符号，且每个符号彼此独立。

试 计算该信息源的平均信息速率。

1 11解： H -p(X j )log 2 P (xJ =16*() 112*( )log 2 6.4bit / 符号 32 224 224平均信息速率为6.4*1000=6400bit/s 。

习题1.15对于二电平数字信号，每秒钟传输 300个码元，问此传码率R B 等于多少？ 若数字信号0和1出现是独立等概的，那么传信率 R b 等于多少？解：R B =300BR. = 3 0 0)i t / S习题1.16若题1.12中信息源以1000B 速率传送信息，则传送1小时的信息量为多 少？传送1小时可能达到的最大信息量为多少？解：传送1小时的信息量2. 23*1000*=3600M8i0传送1小时可能达到的最大信息量则传送1小时可能达到的最大信息量2. 32*100°y60 0M8iB习题1■仃如果二进独立等概信号，码元宽度为 0.5ms ,求仏和仏；有四进信号，码 元宽度为0.5ms,求传码率和独立等概时的传信率尺o1 R B = =2000B, R. =2000bit /S解：二进独立等概信号：0.5*10 1弘= ------- =2000B,R. =2*2000 =4000bit/s四进独立等概信号： 0.5*10 o小结：记住各个量的单位： 信息量：bit ^^Og2P (X )信源符号的平均信息量(熵):bit/符号 I-」p( x) 1 C2g p (x )平均信息速率：bit / S =(bit /符号)/ (s/符号)传码率：R B (B ) 传信率：R bbit/s第二章习题习题2.1设随机过程X(t)可以表示成：式中，是一个离散随机变量，它具有如下概率分布：PC=0)=0.5, PU =「：/2)=0.5先求出最大的熵:1f 产32bit/符号试求 E[X （t ）]和 R X （0,1）。

TT解：E[X(t)]=PG=0)2cos(2二t)+PG= /2)2cos(2二t _)二cos(2 二t)-sin 2 习题2.2设一个随机过程X(t)可以表示成：判断它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。

解：为功率信号。

习题2.3设有一信号可表示为：试问它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。

解：它是能量信号。

X(t)的傅立叶变换为:习题2.4 乂化)=捲cos2二t -x 2 sin 2二t ，它是一个随机过程,的高斯随机变量，数学期望均为 0,方差均为2。

试求：(1) E[X(t)]，E[X 2(t)] ； (2)X(t)的概率分布密度；(3)Rx(b,t2)解：(1) E 〔X t 1 = E h cos2：t - x 2 si n 2：t 】=cos2二 t E 〔捲 - si n 2二 t E x 2 丨=0P<(f)因为治和X2相互独立，所以E'x1xJ = E'-xJ-E 'x2 l 0又因为 E IxJ - E l-xj - 0，匚2 = E x ； L E 2 % 1,所以 E 〔x ；」-E 殳；I - ；「2。

故 E X 2 t L cos^'t s i n2 ：t ；「2 - ；「2(2) 因为捲和X 2服从高斯分布，X t 是治和X 2的线性组合，所以X t 也服从高斯分布,⑶ R X t 1 ,t 2 二 E X t | X t 2 1 = E 匕 cos2it | - x 2sin 2二tj 捲 cos2二t 2 - x 2sin2t 2 】习题2.5试判断下列函数中哪些满足功率谱密度的条件: (1)、fcos 2 2 二f ;(2)a 丄讥 f 一 a ; (3) exp a - f 2解：根据功率谱密度 P(f)的性质：①P(f)— 0,非负性；②P(-f)=P(f)，偶函数。

可以 判断(1)和(3)满足功率谱密度的条件，(2)不满足。

习题2.6试求X(t)=A cos t 的自相关函数，并根据其自相关函数求出其功率。

解：R(t ，t+ )=E[X(t)X(t+ ■ )] = E lAcos t* Acos( -r )1A功率 P=R(0)= A2习题2.7设X 1 t 和X 2 t 是两个统计独立的平稳随机过程，其自相关函数分别为R X 1和R X 2。

试求其乘积X(t)=X 1(t)X 2(t)的自相关函数。

则能量谱密度G （f ）=X⑴2优|16 1 4二其中为和x 2是相互统计独立其概率分布函数px 二12 二；exp 2 z 2二2解：（t,t+ ）=E[X（t）X（t+ ）]=E[X1（t）X2（t）X1（t ）X2（t ）]试求X(t)的功率谱密度 解：详见例2-12习题2.12已知一信号x(t)的双边功率谱密度为 试求其平均功率。

3=2. 00*10 104 f 2df =2*10习题2.8设随机过程X(t)=m(t)cos ・，t ，其中m(t)是广义平稳随机过程，且其自相关函 数为(1)试画出自相关函数R X ()的曲线；⑵试求出X(t)的功率谱密度P x (f)和功率P 。

1 , |解：⑴ Rx •二 1 - ■I 0,其波形如图2-1所示。

-1 ；：T •；：• 0 0 _ :： 1車 RxW ) 8 2-1信号波形图率谱密度 P xWR x •。

由图2-8可见，R x -的此1 兀 sin二f 试求此信号的自相关函数⑵因为X(t)广义平稳，所以其功 波形可视为一个余弦函数-1习题2.9设信号 解：x(t)的能量谱密度为G(f)=X(f)|2 =其自相关函数R x 〔 7厂;G(f )esin 二 f1 ., 3 df = 1「0,-1 _ • _0 0 _ ：： 1习题2.10已知噪声n t 的自相关函数 出• =ke -k ；，k 为常数。

(1)试求其功率谱密度函数P n f 和功率P ； (2)画出R n 和P n f 的曲线。

k 2~2k (2 二 f)解：(1)巳(f)二._；R n ( )e j d.二. (2) R n ()和P n f 的曲线如图2-2所示。

图2-2一平稳随机过程X(t)的自相关函数是以2为周期的周期性函数:R") = 1 - J — 1W21P x (f)并画出其曲线。