普通高等教育“十一五”国家级规划教材经济管理数学基础系列线性代数标准化作业(C)吉林大学数学中心2012年9月学院班级姓名学号第一章作业（行列式）1、计算下列各行列式的值：（1）2116415012051422D--=----；（2）1111222111122211112221111222D=；（3）112233100110011011b b b D b b b --=----；（4）222b c c a a bD a b c a b c +++=；（5）3333333333333333aa Db b+-=+-；（6）11()11nDαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+++=≠++；（7）102201202013 D=.2、设4阶行列式的第2列元素依次为2、m、k、1，第2列元素的余子式依次为1、-1、1、-1，第4列元素的代数余子式依次为3、1、4、5，且行列式的值为2，求m、k的值.3、设a ,b ,c ,d 是不全为零的实数,证明线性方程组12341234123412340,0,0,0ax bx cx dx bx ax dx cx cx dx ax bx dx cx bx ax +++=⎧⎪-+-=⎪⎨--+=⎪⎪+--=⎩仅有零解.4、已知齐次线性方程组123123123230,220,50x x x x x x x x x λ++=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩有非零解，求λ的值.学院 班级 姓名 学号第 二 章 作 业（矩阵）1、是非题（设A 、B 、C 均为n 阶的方阵）（1）（A +B ）（A -B ）=A 2-B 2； （ ） （2）若AX =AY ，则X =Y ，其中X 、Y 都是n ×m 矩阵； （ ） （3）若A 2=O ，则A =O ； （ ） （4）若AB =O ，则A =O 或B =O ； （ ） （5）(ABC )T = C T B T A T ； （ ） （6）(A+B )1- =A 1-+ B 1-。

（ ） 2、填空题（1）设3阶方阵Ｂ≠0，A =13524353t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且AB =O ，则t ＝ ；（2）设A ＝100220345⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，A *为A 的伴随矩阵，则(A *)1-= ；（3）设A 为4阶标量矩阵，且|A |=16，则A ＝ ，A 1-＝ ， A *＝ ；（4）设A , B 均为n 阶方阵,且2+=()A B E ，其中A 为对称矩阵且可逆，求1T 1()--+-()A B E B A E ＝ ；（5）设A＝5200210000120011⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，则│A│＝，A1-＝；（6）设实矩阵A33⨯＝≠)(ija O，0ij ija A+=（ijA为ija的代数余子式），则│A│＝；（7）设A为4阶可逆方阵，且│A1-│＝2，则│3(A*)1-－2A│＝；（8）设A为2阶方阵，B为3阶方阵，且│A│＝1B＝21，则1(2)--O BA O＝；（9）设A＝111222333⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则A100＝；（10）设A为5阶方阵，且A2 = O，则R(A*)＝__________.3、选择题（1）若A，B为同阶方阵，且满足AB＝O，则有（）.（A）A＝O或B＝O；（B）|A|＝0或|B|＝0；（C）(A＋B)2＝A2＋B2；（D）A与B均可逆.（2）若由AB = AC（A，B，C为同阶方阵）能推出B=C，则A满足（）. （A）A≠O；（B）A＝O；（C）|A|≠0；（D）|AB|≠0.（3）若A，B为同阶方阵，则有（）.（A）(AB)k＝A k B k；（B）|－AB|＝－|AB|；（C ）E 2－(AB )2＝（E －AB ）（E ＋AB ）； （D ）|A ＋B |＝|A |＋|B |.（4）已知A 为任意n 阶方阵，若有n 阶方阵B 使AB ＝BA ＝A ，则（ ）. （A ）B 为单位矩阵；（B ）B 为零方阵；（C ）B 1-＝A ；（D ）不一定.（5）若A ，B ，(B 1-+A 1-)为同阶可逆方阵，则(B 1-+A 1-)1-＝（ ）. （A ）B 1-+A 1-； （B ）B ＋A ； （C ）(B +A )1-； （D ）B (B +A )1-A . （6）设A 为3阶方阵，且|A |＝3，*A 为A 的伴随矩阵，若交换A 的2，3两行得到矩阵B ，则||*BA ＝（ ）.（A ）27； （B ）－27； （C ）3； （D ）－3. 4、计算题:（1）431112315701⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦; （2）()31,2,321⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦;（3）()211,2,13⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦; （4）111213112312222321323333(, , )a a a x x x x a a a x a a a x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦;（5）12101031 01010121 00210023 00030003⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦.5、计算下列方阵的幂:（1）已知α=（1，2，3），β=（1，－1，2），A=αTβ，求A4 .（2）已知024003000A=轾犏犏犏犏臌，求A n.(3) 已知112224112-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A=，求A n .6、设3阶矩阵1122,2,3⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A=B=αβγγγγ，其中α， β， γ1， γ2均为3维行向量，且|A |=18，|B |=2，求|A -B |.7、设121132a b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A=,B=,若矩阵A 与B 可交换，求a 、b 的值.8、求下列矩阵的逆矩阵:（1）A＝1234 1134 1344 0101⎡⎤⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（2）A＝500000 000021 000053 010000 011000 011100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.9、已知A＝210121012⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，B＝1223⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C＝123421⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求解下列矩阵方程：（1）AX=X+C ;(2)AXB=C．10、设矩阵300050,003⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦A=且满足ABA*+BA*+180E=O，求矩阵B.11、设A为n阶可逆矩阵，将A的第i行和第j行对换后得矩阵B，试证：（1）B可逆；（2）求AB-1。

12、设A为n阶可逆对称阵，B为n阶对称阵，当E+AB可逆时，试证(E+AB)-1A 为对称矩阵。

13、把下列矩阵化为行最简形矩阵:（1）3102 1121 1344;轾犏犏--犏犏-臌（2）21837 23075 32580 10320⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦.14、把下列矩阵化为标准形矩阵（1）32131 21313 70518---⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；（2）11343 33541 22320 33421--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦.15、利用初等矩阵计算:（1）1111100111100010111010011222011---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦；（2）已知AX =B ，其中111213111213122122232122232231323331323332a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A=,B=, 求X .16、求下列矩阵的秩:（1）11221021512031311041⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦A=；（2）11221511061aa-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A=.17、设A 为n (2)n ≥阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，证明: （1）当R()n =A 时，R()n =*A ; （2）当R()1n =-A 时，R()1=*A ; （3）当R()1n <-A 时，R()0=*A .学院 班级 姓名 学号第 三 章 作 业（向量组的线性相关性）1、填空题（1）设β=（3，- 4）， α1=（1，2）， α2=（-1，3），则β表成α1，α2的线性组合为 ；（2）设向量组α1=（1，1，0），α2=（1，3，-1），α3=（5，3，t ）线性相关，则t = ；（3）设向量组α1=（1，1，0），α2=（1，3，-1），α3=（5，3，t ）的秩为3，则参数t 应满足的条件是 ；（4）设向量组T 1(1,2,1,0)=-α，T 2(1,1,0,2)=α，T 3(2,1,1,)a =α，若由123,,ααα形成的向量空间的维数为2，则参数a = ；（5）已知向量T 1(1,2,1)=α, T 2(2,3,)a =α, T 3(1,2,2)a =+-α, T 1(1,3,4)=β,T 2(1,1,)a =-β, 且1β可由123,,ααα线性表示, 2β不能由123,,ααα线性表示，则参数a = .2、选择题（1）设β，α1，α2线性相关，β，α2，α3线性无关，则正确的结论是（ ）. （A ）α1，α2，α3线性相关； （B ）α1，α2，α3线性无关； （C ）α1可由β，α2，α3线性表示； （D ）β可由α1，α2线性表示.（2）设α1100c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，α2201c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，α3311c ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，α4411c -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中c 1，c 2，c 3，c 4为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ）.（A ）α1，α2，α3 ； （B ）α1，α2，α4； （C ）α1，α3，α4； （D ）α2，α3，α4. （3）下列说法中正确的是（ ）. （A ）向量组12,,,m ααα线性无关，则1α不能由23,,,m ααα线性表示;（B ）向量组12,,,m ααα线性相关，则1α能由23,,,m ααα线性表示;（C ）向量组12,,,m ααα线性无关，则减少分量后所得的向量组也线性无关;（D ）含有零向量的向量组必线性相关，而不含零向量的向量组必线性无关. （4）设12,,,s ααα和12,,,t βββ为两个n 维向量组，且12R(,,,)s =ααα12R(,,,)t r =βββ，则（ ）.（A ）两向量组等价; （B ）1212R(,,,,,,,)s t r =αααβββ;（C ）当s t =时，两向量组等价; （D ）当12,,,s ααα能被12,,,t βββ线性表示时，12,,,t βββ也能被12,,,sααα线性表示.（5）已知1234,,,αααα是3维非零向量，则下列说法中错误的是（ ）. （A ）如果4α不能由123,,ααα线性表出，则123,,ααα线性相关;（B ）如果123,,ααα线性相关，234,,ααα线性相关，那么124,,ααα也线性相关;（C ）如果3α不能由12,αα线性表出，4α不能由23,αα线性表出，则1α可以由234,,ααα线性表出;（D ）如果11223414243R (,,)R (,,,)++=+++αααααααααααα，则4α可以由123,,ααα线性表出. 3、求向量组123452313712024,,,,3283023743--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ααααα的秩，并求出它的一个极大无关组。