线性代数机算与应用作业题学号： 姓名： 成绩： 一、机算题1．利用函数rand 和函数round 构造一个5×5的随机正整数矩阵A 和B 。

（1）计算A ＋B ，A －B 和6A （2）计算()TAB ，T T B A 和()100AB（3）计算行列式A ，B 和AB （4）若矩阵A 和B 可逆，计算1A -和1B - （5）计算矩阵A 和矩阵B 的秩。

解 输入：A=round(rand(5)*10)B=round(rand(5)*10) 结果为：A =2 4 1 63 2 2 3 74 4 9 4 25 3 106 1 1 9 4 3 3 3B =8 6 5 4 9 0 2 2 4 8 9 5 5 10 1 7 10 6 0 3 5 5 7 9 3（1）输入：A+B 结果为：ans=10 10 6 10 122 4 5 11 1213 14 9 12 610 20 12 1 414 9 10 12 6输入：A-B结果为：ans =-6 -2 -4 2 -62 0 13 -4-5 4 -1 -8 4-4 0 0 1 -24 -1 -4 -6 0输入：6*A结果为：ans =12 24 6 36 1812 12 18 42 2424 54 24 12 3018 60 36 6 654 24 18 18 18 （2）输入：(A*B)'结果为：ans =82 112 107 90 135100 121 107 83 12280 99 105 78 10761 82 137 121 10978 70 133 119 134输入：B'*A'结果为：ans =82 112 107 90 135100 121 107 83 12280 99 105 78 10761 82 137 121 10978 70 133 119 134输入：(A*B)^100结果为：ans =1.0e+270 *1.6293 1.6526 1.4494 1.5620 1.63991.9374 1.9651 1.7234 1.8573 1.94992.4156 2.4501 2.1488 2.3158 2.43132.0137 2.0425 1.7913 1.9305 2.02682.4655 2.5008 2.1932 2.3636 2.4815 （3）输入：D=det(A)结果为：D =5121输入：D=det(B)结果为：D =-9688输入：D=det(A*B)结果为：D =-49612248（4）输入：inv(A)结果为：ans =0.0217 -0.0662 -0.0445 -0.0135 0.14530.1845 -0.1582 0.0264 0.0475 -0.0334-0.3199 0.2742 -0.0457 0.1178 -0.00880.1707 0.0283 -0.1343 0.0471 -0.0002-0.1619 0.1070 0.2785 -0.1877 -0.0490 输入：inv(B)结果为：ans =0.1726 -0.1560 0.0357 -0.0667 -0.0471-0.2642 0.2693 0.1786 0.2157 -0.20070.1982 -0.2957 -0.3214 -0.0993 0.4005-0.1305 0.1478 0.1429 0.0050 -0.05530.0818 0.0577 -0.0357 -0.0316 -0.0223 （5）输入：rank(A)结果为：ans =5输入：rank(B)结果为：ans =5 2．求解下列方程组（1）求非齐次线性方程组12341234123412342245 14171278776652921710x x x xx x x xx x x xx x x x+++=⎧⎪-+-+=⎪⎨+++=⎪⎪--+-=⎩的唯一解。

（2）求非齐次线性方程组12345123451234512345597284 4228252398881266977x x x x xx x x x xx x x x xx x x x x++++=⎧⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩的通解。

解（1）输入：A=[2,1,2,4;-14,17,-12,7;7,7,6,6;-2,-9,21,-7];b=[5;8;5;10];x=A\b结果为：x =-0.8341-0.25250.74171.3593（2）输入：A=[5,9,7,2,8;4,22,8,25,23;1,8,1,8,8;2,6,6,9,7];b=[4;9;1;7];[R,s]=rref([A,b]);[m,n]=size(A);x0=zeros(n,1);r=length(s);x0(s,:)=R(1:r,end);x0x=null(A,'r')结果为：x0 =-1.66350.13461.5865x =4.1827 0.8558-1.3269 -1.0577-1.5673 -0.39421.0000 00 1.0000所以方程组的通解为x=k1[4.1827,-1.3269,-1.5673,1.0000,0]’+k2[0.8558,-1.0577,-0.3942,0,1.0000]’+[ -1.6635,0.1346,1.5862,0,0]3．已知向量组13 4 0 8 3α⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，21122α⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=16323α，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=212394α，5822110α⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求出它的最大无关组，并用该最大无关组来线性表示其它向量。

解输入：a1=[3;4;0;8;3];a2=[1;1;0;2;2];a3=[2;3;0;6;1];a4=[9;3;2;1;2];a5=[0;8;-2;21;10];A=[a1,a2,a3,a4,a5];rref(A)结果为：ans =1 0 1 0 20 1 -1 0 30 0 0 1 -10 0 0 0 00 0 0 0 0即最大无关组为a1、a2、a4a3=a1-a2a5=2a1+3a2-a34．求下列矩阵的特征值和特征向量，并判断其正定性。

（1）1232563625A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（2）203131061622B-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦解（1）输入：A=[1,2,3;2,5,6;3,6,25];[V,D]=eig(A)结果为：V =0.9357 0.3279 0.1303-0.3518 0.8961 0.2706-0.0280 -0.2990 0.9538D =0.1582 0 00 3.7297 00 0 27.1121输入：lamda_A=eig(A)结果为：lamda_A =0.1582 3.729727.1121 即矩阵A 正定（2）输入：B=[-20,3,1;3,-10,-6;1,-6,-22];[V ,D]=eig(B) 结果为： V =-0.3810 0.9059 0.1850 0.4005 -0.0186 0.91610.8334 0.4231 -0.3557 D =-25.3404 0 00 -19.5947 0 0 0 -7.0649 输入： lamda_B=eig(B)结果为： lamda_B =-25.3404 -19.5947 -7.0649 即矩阵B 负定5. 用正交变换法将下列二次型化为标准形。

()222123123112213323,,23f x x x x x x k x x k x x k x x =+++++其中“123k k k ”为自己学号的后三位。

解 输入：A=[1,0,2;0,2,1.5;2,1.5,3]; [V,a]=eig(A) 结果为： V =0.7488 0.5139 0.4186 0.3389 -0.8396 0.4246 -0.5696 0.1761 0.8028a =-0.5214 0 0 0 1.6854 0 0 0 4.8361即标准型为f=-0.5214y1^2+1.6854y2^2+4.8361y3^2二、应用题1．在某网格图中，每一个节点的值与其相邻的上、下、左、右四个节点的值有如下关系：T k T k T k T k T =+++下下左左右右上上，其中系数0.3k 上＝；0.2k 下＝；0.4k 左＝；0.3k 右＝。

如图所示，如：13040T k k T k k T =⨯++⨯+下32左右上。

请计算该网格节点1，2，3，4的值（计算结果按四舍五入保留小数点后1位）。

2030404020C CC CC C解 输入：A=[1,-0.3,-0.2,0;-0.4,1,0,-0.2;-0.3,0,1,-0.3;0,-0.3,-0.4,1];b=[25;15;18;8]; U=rref([A,b]) 结果为：U =1.0000 0 0 0 45.84520 1.0000 0 0 40.82670 0 1.0000 0 42.98630 0 0 1.0000 37.4426即T1=45.8℃，T2=40.8℃，T3=43.0℃，T4=37.4℃2．假设一个城市的总人口数固定不变，但人口的分布情况变化如下：每年都有12%的市区居民搬到郊区；而有10%的郊区居民搬到市区。

若开始有800000人口居住在市区，200000人口居住在郊区。

那么，20年后市区和郊区的人口数各是多少？解输入：A=[0.88,0.1;0.12,0.9];X0=[800000;200000];X20=A^20*X0结果为：X20 =1.0e+005 *4.56955.4305即20年后市区和郊区人口数约为456950和543050.3.一个混凝土生产企业可以生产出三种不同型号的混凝土，它们的具体配方比例如表1所示。

表1混凝土的配方现在有一个用户要求混凝土中含水、水泥、砂、石子及灰的比例分别为：24，52，73，133，12。

那么，能否用这三种型号混凝土配出满足用户要求的混凝土？如果需要这种混凝土520吨，问三种混凝土各需要多少？解输入：u1=[10;22;32;53;0];u2=[10;26;31;64;5];u3=[10;18;29;50;8];v=[24;52;73;133;12];U=[u1,u2,u3,v];[U0,r]=rref(U)结果为：U0 =1.0000 0 0 0.60000 1.0000 0 0.80000 0 1.0000 1.00000 0 0 00 0 0 0r =1 2 3即能用这三种型号混凝土配出满足用户要求的混凝土。