松江区2019学年度第一学期期末质量监控试卷初三数学（满分150分，完卷时间100分钟）2020.01考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一 律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位 置上.】21．已知二次函数yaxbxc的图像如图所示，那么下列判断正确的（▲）y （A ）a ＞0，b ＞0，c ＞0；（B ）a ＜0，b ＜0，c ＜0；（C ）a ＜0，b ＞0，c ＞0；（D ）a ＜0，b ＜0，c ＞0．O x 2．如果点A （1，3）、B （m ，3）是抛物线（第1题图）2ya(x2)h 上两个不同的点，那么m 的值为（▲）（A ）2;（B ）3;（C ）4;（D ）5.3．在以O 为坐标原点的直角坐标平面内,有一点A （3，4），射线OA 与x 轴正半轴的夹角为，那么cos α的值为（▲）（A ） 3 5;（B ）4 3;（C ） 4 5;（D ） 3 4. 4．下列两个三角形不一定相似的是（▲）（A ）两条直角边的比都是2:3的两个直角三角形; （B ）腰与底的比都是2:3的两个等腰三角形; （C ）有一个内角为50°的两个直角三角形； （D ）有一个内角是50°的两个等腰三角形. 5．如果abc ，ab3c ，且，下列结论正确的是(▲)（A ）a=b ；（B ）a+2b0； （C ）a与b 方向相同；（D ）a与b 方向相反．初三数学第1页共10页6．如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角为锐角，它们重叠部 分（图中阴影部分）的面积是1.5,那么sin 的值为（▲）（A ） 3 4 ;（B ） 1 2 ;（C ） 2 3 ;（D ） 3 2.(第6题图)二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．已知： x y 2 3 ，那么2xy xy=▲．8．已知线段a 是线段b 、c 的比例中项，如果a=2，b=3，那么c=▲． 9．如果两个相似三角形的面积比为3∶4，那么它们的相似比为▲． 10．已知点P 是线段A B 的黄金分割点（AP>BP ），若AP=2，则BP=▲． 11．已知Rt △ABC 中，若∠C=90°，AC=3，BC=2，则∠A 的余切值为▲． 12．已知二次函数12fxxbxc 图像的对称轴为直线x=4，则f1▲f3.（填2“>”或“<”）13．在直角坐标平面中，将抛物线2 y2(x1)先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，那么平移后的抛物线表达式是▲.14．如图，已知D 是△ABC 的边AC 上一点，且AD2DC.如果ABa ，ACb ，那么向量BD 关于a 、b 的分解式是▲.15．如图,在正方形网格中，点A,B,C 是小正方形的顶点，那么tan ∠BAC 的值为▲. 16．如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米,宽度为30厘米.那么斜面AB 的坡度为▲.17．以一个等腰直角三角形的腰为边分别向形外作等边三角形，我们把这两个等边三角形重心之间的距离称作这个等腰直角三角形的“肩心距”.如果一个等腰直角三角形的腰长 为2，那么它的“肩心距”为▲．18．如图，矩形ABCD 中，AD=1,AB=k.将矩形ABCD 绕着点B 顺时针旋转90°得到矩形A ′BC ′D ′.联结A D ′,分别交边CD,A ′B 于E 、F.如果AE2D'F,那么k=▲.ACA20A ′D ′ F30E DDACB(第14题图)CBB(第15题图)(第16题图)ABC ′(第18题图)初三数学第2页共10页三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：2 3(2cos45)3tan3022sin60cos60cot3020．（本题满分10分,第（1）小题4分，第（2）小题6分）已知二次函数241yxx. （1）将函数2241yxx的解析式化为yaxmk 的形式，并指出该函数图像顶点B坐标.241（2）在平面直角坐标系xOy中，设抛物线yxx与y轴交点为C，抛物线的对称轴y 与x轴交点为A.求四边形OABC的面积.Ox(第20题图) 21．（本题满分10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,∠C=90°,AD=AB=13,BD=24.求边DC的长.ADBC(第21题图) 22．（本题满分10分）如图，小岛A在港口P的南偏西45°方向上，一艘船从港口P，沿着正南方向，以每小时12海里的速度航行，1小时30分钟后到达B处，在B处测得小岛A在它的南偏西60°的方向上.小岛A离港口P有多少海里?北P东45°B60°A(第22题图)初三数学第3页共10页23．（本题满分12分,第（1）小题5分，第（2）小题7分）2 已知：如图，点D、F在△ABC边AC上，点E在边BC上，且DE∥AB，CDCFCA.C （1）求证：EF∥BD；（2）如果ACCFBCCE，求证：2BDDEBA.FDEAB(第23题图)24．（本题满分12分,第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A(3,0)，点B（0,3）.点M（m，0）在线段OA 上（与点A，O不重合），过点M作x轴的垂线与线段AB交于点P，与抛物线交于点Q，联结BQ．（1）求抛物线表达式；（2）联结OP，当∠BOP=∠PBQ时，求PQ的长度；（3）当△PBQ为等腰三角形时，求m的值.y yQBBPAAOMxOx（第24题图）（第24题备用图）25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）已知tan∠MON=2，矩形ABCD的边AB在射线OM上，AD=2，AB=m，CF⊥ON，垂足为点F.（1）如图（1），作AE⊥ON，垂足为点E.当m=2时,求线段EF的长度；（2）如图（2），联结OC，当m=2,且CD平分∠FCO时，求∠COF的正弦值；（3）如图（3），当△AFD与△CDF相似时，求m的值.NNNFFFDCDCCD EOMAB O MAB OMAB第25题图（1）第25题图（2）第25题图（3）初三数学第4页共10页2019学年第一学期松江区初三数学期末质量监控试卷参考答案一、选择题：1.C;2.B;3.A;4.D;5.D;6.C.二、填空题：7.15;8.43;9.32;10.51;11.32;12.>;13.2y2x+1;14.2ab;15.2;16.31:3217.2+63;18.21.三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.解：原式=23（2）+331223（）22⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）= 3-2+331--322⋯⋯（2分）=1+31-3⋯⋯（1分）=-2-3⋯⋯（2分）20．解:(1) 241(2)25yxxx⋯⋯⋯⋯⋯（3分）顶点坐标为B(2,-5)⋯⋯⋯⋯⋯（1分）(2)点A（2，0）、点B（2，-5），点C（0，-1）⋯⋯⋯⋯⋯（2分）1S(15)26⋯⋯⋯⋯⋯（4分）OABC221.解：作AE⊥BD，垂足为E⋯⋯⋯⋯⋯（1分）∵AD=AB∴BE=DE∵BD=24AD∴DE=12⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1分）E∴AE=5⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1分）B初三数学第5页共10页(第21题图)C∴sin5ADB⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分）13∵AD∥BC∴ADBCBD⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1分）∴sin5CBD⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1分）13∴sinCBDC DCD5BD2413⋯⋯（2分）∴120CD⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1分）132.解:作AC⊥PB，垂足为C⋯⋯⋯⋯⋯（1分）PB121.518⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1分）令BC=x⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1分）北在Rt△ABC中，∵∠ABC=60°P 东∴AC3x⋯⋯⋯⋯（1分）45°B 60°在Rt△APC中，C ∵∠APC=45°A∴ACPC3x⋯⋯⋯⋯（1分）∴3x18x⋯⋯⋯⋯（1分）解得x939⋯⋯⋯⋯（1分）∴PC=9327⋯⋯⋯⋯（1分）∴AP2PC96272⋯⋯⋯⋯（1分）答:小岛A离港口P有96272海里.⋯⋯⋯（1分）23．证明：（1）∵DE∥AB∴C DCECACB⋯⋯⋯（1分）CF初三数学第6页共10页DEAB图)(第23题∵ 2CDCFCA∴C DCFCACD⋯⋯⋯（1分）∴C ECFCBCD⋯⋯⋯（2分）∴EF∥BD⋯⋯⋯（1分）(2)∵ACCFBCCE∴C ACECBCF∵∠C=∠C∴△CAB∽△CEF⋯⋯⋯（1分）∴∠CAB=∠CEF⋯⋯⋯（1分）∵EF∥BDC∴∠CBD=∠CEF⋯⋯⋯（1分）F∴∠CBD=∠CAB⋯⋯⋯（1分）DE∵DE∥AB，A∴∠BDE=∠DBA⋯⋯⋯（1分）B(第23题图)∴△BDE∽△ABD⋯⋯⋯（1分）∴B DABDEBDyQB ∴ 2BDDEBA⋯⋯⋯（1分）2+bx+c经过点A(3,0)，点B（0,3）.3.解：（1）∵抛物线y＝﹣x Pc3,A∴⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1分）93b c0.OMx∴b=2，c=3⋯⋯⋯（1分）（第24题图）∴抛物线表达式为y＝﹣x2+2x+3⋯⋯⋯（1分）（2）∵PM⊥x轴∴PM∥y轴∴∠OBP=∠BPQ初三数学第7页共10页∵∠BOP=∠PBQ∴△OBP∽△BPQ⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1分）OBBP∴BPPQ∴BP2OBPQ⋯⋯⋯（1分）∴(2m)23(m22m+3+m3)即22 2m-3m9m解得9m(m=0舍去)⋯⋯⋯（1分）554PQ⋯⋯⋯（1分）25(3)当QP=QP时点Q(2,3)此时m=2⋯⋯⋯（1分）当BQ=BP时，点Q（1,4）此时m=1⋯⋯⋯（2分）当PB=PQ时22mm2m33mm⋯⋯⋯（2分）3225．解：（1）过点D作DP⊥CF于点P，交AE于点Q 则∠PDC=∠DAQ=∠MON⋯⋯（1分）∵在Rt△CDP中NDC=2,tan∠PDC=2F 可得25PD,⋯⋯（1分）5 EQDPC在RtADQ△中OMAB AD=2,tan∠DAQ=2第25题图（1）初三数学第8页共10页可得45QD,⋯⋯（1分）5N∴65QP⋯⋯（1分）5FDC∴65EF⋯⋯（1分）5 O MAB第25题图（2）(2)∵CD平分∠FCO时∴∠FOD=∠OCD∵CD∥OM∴∠COM=∠OCD∴tanCOM C B212OBOB⋯⋯（1分）∴OB=4⋯⋯（1分）∴OC25⋯⋯（1分）延长C D交ON于K,过点K作KQ⊥OM，垂足为Q KQ=2,OQ=1,CK=365CF⋯⋯（1分）5sin3 COF⋯⋯（1分）5(3)由题意可知∠CDF=∠ADF=135°⋯⋯（1分）N当∠FCD=∠FAD时△FCD≌△FADFCD=AD=2,即m=2⋯⋯（1分）C 当∠FCD=∠AFDDH∵△CD FF DA ∽△∴DCDFDFDAOMAB第253题图（）∴2DFDCDA⋯⋯（1分）初三数学第9页共10页令HF=t,则D H=t tanFCD tt1 +m2 t=m DF2t2m∴2 (2m)2m ⋯⋯（1分） ∴m=1(m=0舍去)⋯⋯（1分）初三数学第10页共10页。