=
0,
ut
(
x,
0
)
=
0
解：根据齐次化原理，可将问题转化为求解问题
⎧⎪htt = a2hxx (−∞ < x < ∞, t > τ )
⎨ ⎪⎩h
(
x,τ
)
=
0,
ut
(
x,τ
)
=
x
+
aτ
由达朗贝尔公式得到
∫ h ( x,t,τ ) =
1
x+a(t −τ )
(ξ + at ) dξ = −aτ 2 + (at − x)τ + +xt.
∂u ∂x
]x=0
=
h(x)(0
≤
t
<
∞)
⎪⎩u ( x,0) = ux ( x,0) = 0
其中h( x)为已知连续可微函数。
解：通过变换µ
(t)
=
t
−a∫ h (τ
0
) dτ
+ϕ
(at ) +
1 a
at
∫φ
0
(ξ
)dξ
=
t
−a∫
0
h (τ
) dτ
将ux (0,t )的问题转化成u (0, t)的问题。
4
3求解无界弦的自由振动，设弦的初始位移为ϕ(x), 初始速度为
−aϕ' (x).
解：初值问题为
⎧⎪utt = a2uxx ( −∞ < x < ∞)
⎨ ⎪⎩u
(
x,
0)
=
ϕ
(
x)，ut
(
x,
0)
=
−aϕ
'
(
x)
根据题意，令u(x,t) = f1 ( x+ at) + f2 ( x−at)
由初始条件得
∂ξ ∂y
∂η ∂y
32 =−
3
A1
=
a11
∂ 2ξ ∂x 2
+
2 a12
∂ 2ξ ∂x∂y
+
a22
∂ 2ξ ∂y 2
+
b1
∂ξ ∂y
=0
B1
=
a11
∂ 2η ∂x 2
+
2 a12
∂ 2η ∂x∂y
+
a22
∂ 2η ∂y 2
+
b1
∂η ∂y
=0
∂ 2U
所以
=0
∂ξ∂η
3
2确定初值问题
⎧⎪utt = a2uxx (−∞ < x < ∞)
⎧
∫ ⎪
于是得到，⎪⎨ ⎪
∫ ⎪
⎩
f1 f2
( (
x) x)
= =
cos 2
cos 2
x x
+ −
1 2a
1 2a
x
x0 x
x0
e−1dξ e−1dξ
+ −
c 2a
c 2a
∫∫ ⇒
⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
f1 f2
( (
x x
+ −
at ) at )
= =
cos ( cos (
x+ 2
x− 2
at at
) )
+ +
1 2a
1 2a
x+at
e−1dξ +
c
x0
2a
x0 e−1dξ − c
( x−at)
2a
⇒ u(x,t) = f1 ( x + at ) + f2 ( x − at )
∫ =
1 2
⎡⎣cos (
x
+
at
)
+
cos (
x
−
at
)⎤⎦
+
1 2a
x+at x −at
e−1dξ
= cos x cos at + t e
此 时 原 方 程 可 以 转 化 为 2A 22
∂2u ∂η 2
+
A
1
∂u ∂ξ
+
∂u B1 ∂η
=
0
其 中 ， A 22
=
a1 1
⎛ ⎜ ⎝
∂η ∂x
2
⎞ ⎟ ⎠
+ 2a12
∂η ∂x
∂η ∂y
⎛ ∂η
+
a22
⎜ ⎝
∂y
2
⎞ ⎟ ⎠
=
y2
A1
=
a1 1
∂ 2ξ ∂x 2
+
2 a12
∂ 2ξ ∂x∂y
所以16 ∂2U + (y+sinx ) ∂U + (y+sinx ) ∂U = 0
∂ξ∂η
∂ξ
∂η
由于y+sinx= ξ +η ，所以上式可以变为关于ξ，η得标准方程 2
∂2u ξ +η ⎛ ∂u ∂u ⎞
+ ∂ξ∂η
32
⎜ ⎝
∂ξ
+
∂η
⎟ ⎠
=
0
1
2） x 2u xx + 2 xyu xy + y 2u yy = 0
=
1 2
⎡⎣ϕ
(
x
+at)
+ϕ(
x
−at
)⎤⎦
+
1 2a
x+at
∫
x−at
φ
(ξ)
dξ
∫ ∫ +
1
t x+a(t−τ)
dτ
f
(ξ,τ ) dξ,该非齐次方程的初值问题可以写成如下的的形式:
2a 0 x−a(t−τ)
∫ ∫ ∫ u(
x,t
)
=
1 2
⎡⎣(
x
+at
)
+(
x
−at
)⎤⎦
+
1 2a
x+at x−at
2a
⇒u(x,t) = f1( x+ at) + f2 ( x−at)
∫ =
1 2
⎡⎣ϕ
(
x
+
at
)
+ϕ
(
x
−
at
)
⎤⎦
−
1 2
x+at x−at
ϕ
'
(ξ
)
dξ
=ϕ( x −at)
5
4求定解问题
⎧⎪utt = a2uxx + x + at (−∞ < x < ∞, t > 0)
⎨ ⎪⎩u
(
x,
0)
+
∂ξ ∂y
∂η ∂x
⎞ ⎟ + a22 ⎠
∂ξ ∂y
∂η ∂y
= −8
A1
=
a11
∂ 2ξ ∂x2
+ 2a12
∂ 2ξ ∂x∂y
+ a22
∂ 2ξ ∂y 2
+ b1
∂ξ ∂y
= − y − sin x
∂ 2η
∂ 2η
∂2η ∂η
B1 = a11 ∂x2 + 2a12 ∂x∂y + a22 ∂y2 + b1 ∂y = − y − sin x
+
该方程的一组特征微分方程为
⎪ ⎨
dx
⎪ dy
⎪ ⎩
dx
=
a12
−
a122 − a11a22 = 2 − cos x a11 a122 − a11a22 = −2 − cos x a11
积分得到特征曲线为
⎧ ⎨
⎩
y1 y2
= =
2x − sin x −2 x − sin
+ c1 x + c2
⇒
⎧c1 ⎨⎩c2
1，指出下列方程的类型并化为标准形式。
( ) 1） uxx − 2 cos xuxy − 3 + sin 2 x uyy − yuy = 0
解：方程的判别式∆ = a122 − a11a22 = ( − cos x)2 + 3 + sin 2 x = 4 > 0.
所以方程为双曲型。
⎧ dy ⎪
=

t
界条件得到，f (−at ) = −a∫ h (τ ) dτ，若令z=-at(z ≤ 0),得到:f ( z ) =
0
z −
a
−a ∫ h(τ ) dτ ,于是得到
0
t− x
u ( x,t ) =
f
( x − at)
=
−a
a
∫
0
h(τ ) dτ
⎛ ⎜
t
⎝
≥
x⎞
a
⎟ ⎠
−z a
当z > 0时定义 − a ∫ h(τ ) dτ = 0，于是所求问题的解为
u(x,0)
=
f1
(
x)
+
f2
(
x)
=ϕ
( x)，ut
(
x,0)
=
af
' 1
(
x)
−
af2'
(
x)
=
−aϕ'
(x)
x
对上式积分得，a⎡⎣ f1 ( x) − f2 ( x)⎤⎦ = −∫ aϕ' (x) dξ + c