武汉大学2009 —2010 学年度第 一 学期
《数学物理方法》试卷（A ）
学院 专业 班 学号 姓名 分数
一．求解下列各题（10分×4=40分）
1．一条弦绳被张紧于点（0，0）与（1，0）两端之间，固定其两端，把它拉成x A πsin 的形状之后，由静止状态被释放而作自由振动。

写出此物理问题的定解问题，并写出本征值和本征函数。

2．写出一维无界波动问题的达朗贝尔公式，利用达朗贝尔公式求解一维无界波动问题
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==>+∞<<-∞=-==x
u x u t x u u t t t xx tt sin cos )0,(0200 并画出t =2时的波形。

3．定解问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+==><<=-====2
,sin 1,)0,0(000202t t t l x x xx tt u x u t u t u t l x u a u ，若要使边界条件齐次化，求其辅助函数，并写出边界条件齐次化后相应的定解问题。

4．计算积分⎰-=1
12)(dx x P x I l 二．（本题15分）用分离变量法求定解问题
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧===><<=-===x l u u u t l x Du u t l x x x x xx t π2cos 0
)0,0(000
三．（本题15分）有一内半径为a ，外半径为2a 的均匀球壳，其内、外表面的温度分 布分别保持为零和θcos ，试求此均匀球壳的稳定温度分布。

四．（本题15分）计算和证明下列各题：
(1) （10分） dx x J x I ⎰=)(03
（将计算结果中的贝塞尔函数化为零阶和一阶的，因为工程上有零阶、一阶贝塞尔函数表可查。

）
(2) （5分）利用递推关系证明：
)(1)()('0''02x J x
x J x J -=
五.（本题15分）设有一长为l 的圆柱，其半径为R 。

若圆柱的侧面及下底面（0=z ）接地，而上底面（l z =）保持电势分布为f (ρ)。

1）写出该圆柱的电势分布的定解问题；2）本征值和本征值函数；3）定解问题的通解。

参考公式
.。