自由指标和哑指标
ti ijn j
aij bikckj d eij kk
在方程同一项中重复出现的指标称为哑指标，哑指标在作 求和运算后就消失了，因此改变哑指标的字母不改变表达 式的内容。
在方程同一项中只出现一次的指标称自由指标，在同一 方程的所有项中出现的自由指标必须相同。
为避免混淆，同一项中相同指标出现的次数不能多于2。
散度的性质： diva 0 为无源场，无源场的性质见P14。自己看书。
4.旋度
矢量 a 沿任意曲线L的线积分，即 a 沿任意曲线L的环量：
a • dr axdx aydy azdz
L
L
a • dr
设张于L上的曲面为S，则定义 lim L
为矢量 a
S0 S
的旋度矢量 rota 在法线 n 上的投影，
12月31日,1月8日：粘性不可压缩流体的流动
12月31日（第13周）
N-S方程的精确解
1月8日（第14周）
小雷诺数流动的近似解
1月15日（第15周）
大雷诺数下的边界层理论
绪论
人类生活在流体环境中，人们对一些流体运动 现象却缺乏认识，比如：
1. 高尔夫球 ：表面光滑还是粗糙？ 2. 汽车阻力 ：来自前部还是后部？ 3. 机翼升力 ：来自下部还是上部？
(1) v w； (2) v w； (3) v v；
(4) e1 v； (5) e2 v； (6) r v, r xi yj zk 是位置矢量。
解:
v w vi wi
v1w1 v2 w2
v3w3
1 3 2 1 5 1 4
i jk v w 1 2 5 i (2 1 1 5) j(3 5 11) k (11 2 3)
高等流体力学
态度决定一切 Attitude is everything
哈佛大学的一个研究发现：一个人的成功，85%取 决于他积极的态度，而只有15%取决于他的智力和
所知道的事实与数字。
当我们在工作中没有更多明显优势时，那么积极的 工作态度就是我们最大的资本。
《高等流体力学》课程安排
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课程内容
EXIT
EXIT
流体力学研究方法分三个方面，它们相互配合，互为补 充。
研究方法
理论分析方法 实验方法 数值分析方法
EXIT
理论分析过程一般是：建立力学模型，用物理学基本定律 推导流体力学控制方程，用数学方法求解方程，检验和解 释求解结果。
建立模型
推导方程
求解方程
解释结果
EXIT
实验方法 在相似理论指导下，建立模拟实验装置，用流体 测量技术测量流动参数，处理分析数据可获得反映流动规律 的特定关系，发现新现象，检验理论结果。
则称定义在此空间区域内的函数为场。 (2)分类：标量场和矢量场 （大小和方向） (3)场的几何表示：
标量场：用等位面表示（等压线、等温线）
矢量场：用矢量线表示，既有大小，又有方向，大小为标量， 可用等位面来表示，方向则用矢量线来几何表示，矢量线上每 一点的切线方向与该点的矢量方向重合。
矢量线微分方程：
ห้องสมุดไป่ตู้
i jk r v x y z (5y 2z)i (z 5x) j (2x y)k
1 2 5
（1）指标表示法和符号约定
哈密顿算子
一个具有微分及矢量双重运算的算子,
i
j
k
x y z
利用张量下标表示法哈密顿算子可写为，
ei
xi
（1）指标表示法和符号约定
哈密顿算子
利用哈密顿算子进行运算时，需分别进行微分和矢量两种运算。
1
j
vj
v1
1
e1v i (i 2 j 5k ) 1
（1）指标表示法和符号约定
e1 v e1 viei e1 eivi 1ije jvi
ei e j ijk ek
v i 2j 5
w 3i j k
123v2e3 132v3e2 vyk vz j 2k 5 j e1 v i (i 2 j 5k ) 2i j 5i k 2k 5 j
a11a11 a12a21 a13a31 a21a12 a22a22 a23a32 a31a13 a32a23 a33a33 (2) t1 11n1 12n2 13n3 t2 21n1 22n2 23n3 t3 31n1 32n2 33n3
（1）指标表示法和符号约定
3 1 1
3 i 16 j 7 k
（1）指标表示法和符号约定
e1 e2 e3
a b ijka jbkei a1 a2 a3
v w ijkv j wkei 123v2w3 132v3w2 e1 231v3w1 213v1w3 e2 312v1w2 v 321 2w1 e3
梯度
ei
xi
( )
ei
xi
散度
a
ei
xi
ajej
ei e j
a j xi
ij
a j xi
ai xi
(1).指标表示法和符号约定
（5） u (v w) v(u w) w(u v)
e1 (e2 e3 ) e1 e1 1 123, e1 (e3 e2 ) e1 (e1) 1 132
ijk ei e j ek
（1）指标表示法和符号约定
用指标表示法表示矢量运算
a
b
ai
ei
bjej
aibj ei e j
aibjij aibi
i jk
a • dr
rota lim L S0 S
x
y
a z
ax ay az
i (az ay ) j ( ax az ) k ( ay ax )
y z
z x
x y
故： a • dr rota • ds （斯托克斯公式）
L
S
无旋场和位势场（势流）是等价的
二、张量初步
（1）指标表示法和符号约定
S
若V为曲面S的体积，则定义矢量
矢量 a 的散度为：
a • ndS (ax ay az )dV
diva S
V x y z
ax ay az
V
V
x y z
故矢量的散度为一标量。
散度
令设 V x y z ，则膨胀率：
d
(V
dt
)
x yz
y x z
zx
y
单位体积的膨胀率: 1 d (V ) x y z • diva V dt x y z
0
ijk
1
1
i、j、k 中有两个以上指标相同时
i、j、k 偶排列， 123，231，312 i, j, k 奇排列， 213，321，132
ijk ei • (e j ek )
（1）指标表示法和符号约定
置换符号 ijk ijk 有以下重要性质：
ijk ist js kt jt ks ijk ijt 2 kt
b1 b2 b3
v i 2j 5 w 3i j k
v2w3 v3w2 i v3w1 v1w3 j v1w2 v2w1 k
3 i 16 j 7 k
v v vivi v1v1 v2v2 v3v3 12 22 52 30
e1 v
e1 v j e j
指标表示法
直角坐标的3个方向记做1、2、3，
x、y、z 分别计作 x1、x2、x3， ax、ay、az 分别计作 a1、a2、a3， i , j, k 分别计作 e1, e2 , e3,
a axi ay j azk a1e1 a2e2 a3e3
（1）指标表示法和符号约定
求和约定
在同一项中如有两个指标相同时，就表示对该指标从1到3求和,
ij 与 a j 相乘，相当于把 a j 的下标 j 置换为 i。
（1）指标表示法和符号约定
克罗内克尔(Kronecker)符号
ij 符号具有以下重要性质：
ii 3
ii 11 22 33 3
ij jk ik ij ij ii 3
（1）指标表示法和符号约定
置换符号 ijk
ijk ijt jjkt jtkj 3kt kt 2kt ijk ijk 2 kk 6
ijk ij 0
（1）指标表示法和符号约定
用指标表示法表示矢量运算
ij
ei
ej
e1 e2 e3 123e3,
ei e j ijk ek
e2 e1 e3 e 213 3
9月25日（第3周，第1次） 10月9（第4周，第2次） 10月16(第6周),23日（第7周） 10月30(第8周),11月6日(第9周)
绪论，场论 笛卡尔张量 流体力学基本概念 流体力学基本方程及边界条件
12月11日（第10周）
流体力学几个重要定理
12月18日,12月25日（11-12周） 理想不可压缩流体的流动
相似理论
模型试验
测量
数据分析
EXIT
数值分析方法 随着技算机技术的突飞猛进，过去无法 求解的流体力学偏微分方程可以用计算机数值方法求解。
计算流体力学
有限差分法 有限元法 边界元法 谱分析等
EXIT
EXIT
一、场论
1.场的定义、分类及几何表示：
(1)定义：设在空间中的某个区域内定义标量函数或矢量函数，
a b aiei bje j ei e jaibj ijkaibjek kijaibjek ijka jbkei
e1 e2 e3 a1 a2 a3
b1 b2 b3
ijk a j ak a a 0
两个矢量相乘（点乘或叉乘），它们的下标应取不同的字母。
（1）指标表示法和符号约定
（1）指标表示法和符号约定
克罗内克尔(Kronecker)符号