x/kg
01 2
3 45
y/cm 3 3.5 4 4.5 5 5.5
(2)你能写出y与x之间的关系吗？ y=3+0.5x
情景二：某辆汽车油箱中原有油60 L,汽车每行驶50 km耗油6 L. (1) 完成下表：
汽车行使路程 0
50 100 150 200 300
x/km
油箱剩余油量
y/L
60 54 48
典例精析
例1：写出下列各题中y与 x之间的关系式，并判断： y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ （1）汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程为 y(km)与行驶时间x(h)之间的关系;
解：由路程=速度×时间，得y=60x ,y是x的 一 次函数,也是x的正比例函数.
（2）圆的面积y (cm2 )与它的半径x (cm)之间的关系.
解: y=0.03×(x-3500) (3500<x<5000)
(2)某人月收入为4160元，他应缴所得税多少元？ 解:当x=4160时，y=0.03×(4160-3500)=19.8（元）. (3)如果某人本月应缴所得税19.2元，那么此人本月 工资是多少元？
解:设此人本月工资是x元，则 19.2=0.03×(x-3500), x=4140. 答:此人本月工资是4140元.
当b=0时，y=kx，称y是x的正比例函数.
练一练
下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
(1)y＝－x－4; (2)y＝5x2－6； (3)y＝2πx;
(4) y x ; 2
(5) y 2 ; x
(6)y＝8x2＋x(1－8x)
解：(1)是一次函数，不是正比例函数；
(2)不是一次函数，也不是正比例函数；
42 36 30
(2) 你能写出y与x的关系吗? y=60－0.12x
上面的两个函数关系式: (1)y=3+0.5x (2) y=60－0.12x
大家讨论一下,这 两个函数关系式 有什么关系?
若两个变量 x、y之间的关系可以表示成
y=kx+b(k,b为常数，k不等于0）的形式，则称 y是x 的一次函数.（x为自变量，y为因变量.）
(3)由x=0.4x+12知,当x<20时，零星租书方式合算；当x=20 时，两种租书方式一样；当x>20时,会员卡租书方式合算.
6．为了增强居民的节约用水意识，某市制定了新的水费标 准：每户每月用水量不超过5 t的部分，自来水公司按每吨2 元收费；超过5 t的部分，按每吨2.6元收费.设某用户月用水 量x吨，自来水公司应收的水费为y元. （1）试写出y（元）与x（t）之间的函数关系式.
解：(1) ∵ y (m 5)xm224 m 1是一次函数， ∴ m2－24＝1且m－5≠0， ∴ m＝±5且m≠5， ∴ m＝－5. ∴当m＝－5时，函数 y (m 5)xm224 m 1 是一次函数．
(2)若它是正比例函数，求 m 的值． 解：(2)∵ y (m 5)xm224 m 1 是一次函数， ∴ m2－24＝1且m－5≠0且m＋1＝0. ∴ m＝±5且m≠5且m＝－1， 则这样的m不存在， ∴函数 y (m 5)xm224 m 1 不可能为 正比例函数．
解：由圆的面积公式，得y=πx2, y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数.
（3）某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速 度为5m3/h，x h后这个水池有水y m3.
解：这个水池每时增加5m3水，x h增加5x m3水， 因而 y=15+5x, y是x的一次函数，但不是x的正比例函数.
例2：已知函数y (m 5)xm224 m 1. (1)若它是一次函数，求m的值； (2)若它是正比例函数，求m的值．
y=x y=2x
y=4x
讲授新课
一 一次函数与正比例函数
在现实生活当中有许多问题都可以归结 为函数问题,大家能不能举一些例子?
情景一：某弹簧的自然长度为3 cm，在弹性限度内，所 挂物体的质量x每增加1千克，弹簧长度y增加0.5 cm.
(1) 计算所挂物体的质量分别为 1 kg, 2 kg, 3 kg, 4 kg， 5 kg 时的长度，并填入下表：
解:（1）当x≤5时，y＝2x；
当x>5时，y＝10＋（x－5）×2.6＝2.6x－3. （2）该户今年5月份的用水量为8 t，自来水公司应收水费 多少元？
（2）∵x＝8>5,∴y＝2.6×8－3=17.8（元）.
能力提升
如图，△ABC是边长为x的等边三角形.
（1）求BC边上的高h与x之间的函数解析式.h是x的
是x的一次函数吗？
解（: 2）当h= 3 时，有 3 3 x .
2
解得x=2.
（3）∵ S 1 AD BC 1 3 x x 3 x2,
2

22
4
即 S 3 x2, ∴S不是x的一次函数.
4
课堂小结
一次函数的概念
一次 函数
正比例函数的概念
函数关系式的确定
【方法总结】函数是一次函数，则k≠0，且自变 量的次数为1.当b＝0时，一次函数为正比例函数．
例3：我国现行个人工资、薪金所得税征收办法规定： 月收入低于3500元的部分不收税；月收入超过3500 元但低于5000元的部分征收3%的所得税……如某人 月收入3860元,他应缴个人工资、薪金所得税为: （3860-3500）×3%=10.8元. (1)当月收入大于3500元而又小于5000元时,写出应 缴所得税y(元)与收入x(元)之间的关系式.
当堂练习
1.判断: (1)y=2.2x，y是x的一次函数，也是x的正比例 函数. （ √ ） (2)y=80x+100 ，y是x的一次函数. （ √ ）
2.在函数y=(m-2)x+(m2-4)中，当m ≠2 时， y是x的一次函数；当m =-2 时，y时x的正 比例函数.
3.已知函数y=(m-1)x｜m︱+1是一次函数，求m值； 解：根据题意，得∣m∣=1, 解得m=±1， 但m-1≠0,即m≠1, ∴m=-1. 4.若函数y=(m-3)x+m2-9是正比例函数，求m的值； 解：根据题意，得m2-9=0, 解得m=±3， 但m-3≠0,即m≠3, ∴m=-3.
第4章
八年级数学下（XJ） 教学课件
一次函数
4.2 一次函数
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.掌握一次函数、正比例函数的概念.（重点） 2.能根据条件求出一次函数的关系式．（难点）
导入新课
情景引入
如果设蛤蟆的数量为x，y分别表示蛤蟆嘴的数量， 眼睛的数量，腿的数量，扑通声，你能列出相应的 函数解析式吗？
5. 某书店开设两种租书方式：一种是零星租书，每本收费1元， 另一种是会员卡收费，卡费每月12元，租书每本0.4元，小彬 经常来该店租书，若每月租书数量为x本. (1)写出零星租书方式应付金额y1（元）与租书数量x（本）之 间的函数关系式. 解:(1)y1 =x. (2)写出会员卡租书方式应付金额y2（元）与租书数量x（本） 之间的函数关系式. (2)y2=0.4x+12. (3)小彬选择哪种租书方式更合算？为什么?
一次函数吗？如果是，请指出相应的k与b的值.
解: (1)∵BC边上的高AD也是BC
A
边上的中线，
∴由勾股定理，得
B
D
C
h AD AB2 BD2 x2 1 x2 3 x, 即 h 3 x.
4
2
2
∴h是x的一次函数，且 k 3 ,b 0.
2
（2）当h= 3 时，求x的值. （3）求△ABC的面积S与x的函数解析式.S
(3)是一次函数，也是正比例函数；
(4)是一次函数，也是正比例函数；
(5)不是一次函数，也不是正比例函数；
(6)是一次函数，也是正比例函数．
方法总结
1.判断一个函数是一次函数的条件： 自变量是一次整式，一次项系数不为零； 2.判断一个函数是正比例函数的条件： 自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项 为零．